二次函数中考大题总结附答案详解

二次函数中考大题总结附答案详解

一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎2．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ ‎3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．‎ ‎（1）求二次函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．‎ ‎4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．‎ ‎5．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：‎ ‎ 月份x（月）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ 输送的污水量y1（吨）‎ ‎ 12000‎ ‎ 6000‎ ‎ 4000‎ ‎ 3000‎ ‎ 2400‎ ‎2000 ‎ ‎（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；‎ ‎（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）‎ ‎6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．‎ ‎（1）求证：n+4m=0；‎ ‎（2）求m、n的值；‎ ‎（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．‎ ‎7．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．‎ ‎（1）分别求出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的解析式；‎ ‎（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；‎ ‎（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？‎ ‎9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；‎ ‎（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．‎ ‎（1）求C1和C2的解析式；‎ ‎（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；‎ ‎（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．‎ ‎（1）求原抛物线的解析式；‎ ‎（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）‎ ‎12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．‎ ‎（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；‎ ‎（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？‎ ‎13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．‎ ‎（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；‎ ‎（2）当点C与点A重合时，求a的值；‎ ‎（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？‎ ‎14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．‎ ‎（1）求抛物线顶点A的坐标；‎ ‎（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；‎ ‎（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎15．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．（2012•盐城）知识迁移 ‎ 当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．‎ ‎ 记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．‎ 直接应用 ‎ 已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=　_________　时，y1+y2取得最小值为　_________　．‎ 变形应用 ‎ 已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．‎ 实际应用 ‎ 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？‎ ‎17．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．‎ ‎①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．‎ ‎②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．‎ ‎18．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ ‎19．（2012•孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；‎ ‎（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为　_________　时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为　_________　时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．‎ ‎20．（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．‎ ‎（1）求AD的长及抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？‎ ‎（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎22．（2012•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？‎ ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ ‎23．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ ‎24．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；‎ ‎（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ ‎25．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．‎ ‎（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？‎ ‎26．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．‎ ‎（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？‎ ‎（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎27．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：‎ ‎ 旋钮角度（度）‎ ‎20 ‎ ‎50 ‎ ‎70 ‎ ‎80 ‎ ‎90 ‎ ‎ 所用燃气量（升）‎ ‎ 73‎ ‎ 67‎ ‎ 83‎ ‎ 97‎ ‎115 ‎ ‎（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？‎ ‎（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．‎ ‎28．（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．‎ ‎（1）求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；‎ ‎（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线 段MN的长．‎ ‎29．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎30．（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线解析式及点D坐标；‎ ‎（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；‎ ‎（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 答案与评分标准 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．‎ ‎（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；‎ ‎（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），‎ 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故函数解析式为：y=x2﹣x，‎ 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；‎ ‎（2）∵S△POA=2S△AOB，‎ ‎∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，‎ 代入函数解析式得：2=x2﹣x，‎ 解得：x1=3+3，x2=3﹣3，‎ 即满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3，2），P2（3﹣3，2）．‎ ‎（3）存在．‎ 过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==，‎ 故可得∠BOA=30°，‎ 设Q1坐标为（x，x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴，‎ ‎∵△OAB∽△OQ1A，‎ ‎∴∠Q1OA=30°，‎ 故可得OF=Q1F，即x=（x2﹣x），‎ 解得：x=9或x=0（舍去），‎ 经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．‎ 即可得Q1坐标为（9，3），‎ 根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）．‎ ‎∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（9，3）或（﹣3，3）．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．‎ ‎2．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；‎ ‎（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；‎ ‎（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）‎ ‎∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上，‎ ‎∴﹣2+3=m﹣1，‎ 得m=2；‎ ‎（2）∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N的纵坐标为：a2+a+2，‎ 即点N（a，a2+a+2）‎ 过点F作FC⊥NB于点C，‎ 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4，‎ 而NB2=（a2+a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4‎ ‎∴NF2=NB2，‎ NF=NB；‎ ‎（3）连接AF、BF，‎ 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，‎ ‎∴∠MAF=∠MFA，‎ ‎∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，‎ ‎∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°，‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°，‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，‎ 又∵∠FPA=∠BPF，‎ ‎∴△PFA∽△PBF，‎ ‎∴=，PF2=PA×PB=，‎ 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，‎ PG==，‎ ‎∴PO=PG+GO=，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，‎ 解得k=，b=，‎ ‎∴直线PF：y=x+，‎ 解方程x2+x+2=x+，‎ 得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），‎ 当x=﹣3时，y=，‎ ‎∴M（﹣3，）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．‎ ‎3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．‎ ‎（1）求二次函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数与不等式（组）。菁优网版权所有 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；‎ ‎（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，‎ ‎（1﹣2）2+m=0，‎ ‎1+m=0，‎ m=﹣1，则二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．‎ 当x=0时，y=4﹣1=3，‎ 故C点坐标为（0，3），‎ 由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），‎ 令y=3，有（x﹣2）2﹣1=3，‎ 解得x=4或x=0．‎ 则B点坐标为（4，3）．‎ 设一次函数解析式为y=kx+b，‎ 将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，‎ ‎，‎ 解得，则一次函数解析式为y=x﹣1；‎ ‎（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），‎ ‎∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．‎ ‎4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；‎ ‎（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，‎ ‎∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分）‎ 将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2…（2分）‎ 将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2…（3分）‎ ‎（2）如答图1，设MN交x轴于点E，‎ 则E（t，0），BE=4﹣t．‎ ‎∵tan∠ABO===，‎ ‎∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．‎ 又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，‎ ‎∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t…（5分）‎ ‎∴当t=2时，MN有最大值4…（6分）‎ ‎（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．‎ 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…（7分）‎ ‎（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）‎ 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，‎ 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）…（8分）‎ ‎（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，‎ 易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，‎ 由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）‎ 故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）…（10分）‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．‎ ‎5．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000‎ 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：‎ ‎ 月份x（月）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ 输送的污水量y1（吨）‎ ‎ 12000‎ ‎ 6000‎ ‎ 4000‎ ‎ 3000‎ ‎ 2400‎ ‎2000 ‎ ‎（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；‎ ‎（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；‎ ‎（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；‎ ‎（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：‎ y1=，将（1，12000）代入得：‎ k=1×12000=12000，‎ 故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；‎ 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，‎ 代入得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；‎ ‎（2）当1≤x≤6，且x取整数时：‎ W=y1•z1+（12000﹣y1）•z2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），‎ ‎=﹣1000x2+10000x﹣3000，‎ ‎∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，‎ ‎∴当x=5时，W最大=22000（元），‎ 当7≤x≤12时，且x取整数时，‎ W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），‎ ‎=﹣x2+1900，‎ ‎∵a=﹣＜0，x=﹣=0，‎ 当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=7时，W最大=18975.5（元），‎ ‎∵22000＞18975.5，‎ ‎∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；‎ ‎（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，‎ 设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，‎ 解得：t=，‎ ‎∵≈28.4，‎ ‎∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），‎ ‎∴a≈57，‎ 答：a的值是57．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．‎ ‎6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．‎ ‎（1）求证：n+4m=0；‎ ‎（2）求m、n的值；‎ ‎（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=，易证n+4m=0；‎ ‎（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；‎ ‎（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=2，‎ 即=2，‎ 化简得：n+4m=0．‎ ‎（2）解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，‎ ‎∴OA=﹣x1，OB=x2；x1+x2=，x1•x2=；‎ 令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．‎ 由三角函数定义得：tan∠CAO===，tan∠CBO==．‎ ‎∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1，即﹣=1，‎ 化简得：，‎ 将x1+x2=，x1•x2=代入得：，‎ 化简得：n==±1．‎ 由（1）知n+4m=0，‎ ‎∴当n=1时，m=；当n=﹣1时，m=．‎ ‎∴m、n的值为：m=，n=﹣1（此时抛物线开口向上）或m=，n=1（此时抛物线开口向下）．‎ ‎（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m=，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=x2+x+p．‎ 联立抛物线y=x2+x+p与直线y=x+3解析式得到：x2+x+p=x+3，‎ 化简得：x2﹣4（p﹣3）=0 ①．‎ ‎∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，‎ ‎∴一元二次方程①的判别式等于0，即△=02+16（p﹣3）=0，解得p=3．‎ ‎∴抛物线解析式为：y=x2+x+p=y=x2+x+3=（x﹣2）2+4，‎ 当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4．‎ ‎∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4．‎ 点评：‎ 本题要求同学们熟练掌握二次函数的性质，包括抛物线的解析式、对称轴公式、抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系、二次函数的最值等重要知识点．作为中考压轴题，本题难度适中，相信多数同学能够顺利解决；难点在于由于题中未明确抛物线的开口方向，导致部分同学感觉难以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一组解（第2问），从而导致失分．‎ ‎7．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．‎ ‎（1）分别求出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的解析式；‎ ‎（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；‎ ‎（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型。‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．‎ ‎（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．‎ ‎（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．‎ ‎（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得 x1=﹣，x2=2．‎ ‎∴C（﹣，0）、A（2，0）．‎ 令x=0，即y=2，‎ ‎∴B（0，2）．‎ 综上，A（2，0）、B（0，2）．‎ ‎（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，‎ ‎∴0=k1•2+2‎ ‎∴k1=﹣‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．‎ ‎（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；‎ OD与O点关于AB对称 ‎∴OD=OA=2‎ ‎∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．‎ 因为y=过点D，‎ ‎∴3=，∴k=3．‎ ‎（4）AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；‎ ‎∴S△OPQ=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；‎ 依题意，得0＜t≤4‎ ‎∴当t=2时，S有最大值为．‎ 点评：‎ 该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．‎ ‎8．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）根据A、B的坐标，可得到OA=6、OB=8、AB=10；当t=3时，AN=6，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA﹣OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．‎ ‎（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；‎ 当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点；‎ ‎∴N（3，4）．‎ 设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则：‎ ‎4=3a（3﹣6），a=﹣；‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣x（x﹣6）=﹣x2+x．‎ ‎（2）过点N作NC⊥OA于C；‎ 由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NA•sin∠BAO=t•=t；‎ 则：S△MNA=AM•NC=×（6﹣t）×t=﹣（t﹣3）2+6．‎ ‎∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．‎ ‎（3）Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=t，AC=AN•cos∠BAO=t；‎ ‎∴OC=OA﹣AC=6﹣t，∴N（6﹣t，t）．‎ ‎∴NM==；‎ 又：AM=6﹣t，AN=t（0＜t＜6）；‎ ‎①当MN=AN时，=t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；‎ ‎②当MN=MA时，=6﹣t，即：t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2=；‎ ‎③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=；‎ 综上，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形．‎ 点评：‎ 该动点函数综合题涉及了二次函数的性质、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．应注意的是，当等腰三角形的腰和底不明确时，要分情况进行讨论，以免漏解．‎ ‎9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；‎ ‎（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；‎ ‎（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系．‎ 解答：‎ 解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2． ‎ ‎（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，‎ ‎∴P（6，0），A（0，2），‎ ‎∴OP=6，OA=2．‎ ‎∵AC⊥AB，OA⊥OP，‎ ‎∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，‎ ‎∴OC=，‎ 又C点在x轴负半轴上，‎ ‎∴点C的坐标为C（，0）．‎ ‎（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，‎ 令x2+x+2=x+2，‎ 解得x1=0，x2=，‎ ‎∴B（，）．‎ 如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，‎ 则D（，0），BD=，DP=6﹣=．‎ 点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：‎ ‎①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．‎ 设M（m，0），则MD=﹣m．‎ ‎∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，‎ 即，‎ 解得m=，‎ ‎∴此时M点坐标为（，0）；‎ ‎②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．‎ 设M（m，0），则MD=﹣m．‎ ‎∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，‎ ‎∴，即，‎ 化简得：m2﹣m+=0，‎ 解得：x1=，x2=，‎ ‎∴此时M点坐标为（，0），（，0）；‎ ‎（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）‎ ‎③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．‎ 此时M点坐标为（0，）；‎ ‎④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．‎ 设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．‎ 易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，‎ ‎∴，即，‎ 解得m=，‎ ‎∴此时M点坐标为（0，）．‎ 综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．‎ 符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点．难点在于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏．‎ ‎10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．‎ ‎（1）求C1和C2的解析式；‎ ‎（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；‎ ‎（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式．‎ ‎（2）根据直线BE：y=x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO=∠CBO，若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标．‎ ‎（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）；‎ 抛物线C1还经过D（0，﹣3），则有：‎ ‎﹣3=a（0﹣3）（0+3），a=‎ 即：抛物线C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）；‎ 抛物线C2还经过A（0，1），则有：‎ ‎1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣‎ 即：抛物线C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．‎ ‎（2）由于直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；‎ 由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；‎ 若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：‎ ‎①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC，即：‎ ‎3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=；‎ ‎∴P1（，0）；‎ ‎②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：‎ ‎：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=；‎ ‎∴P2（﹣，0）．‎ 综上，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（﹣，0）．‎ ‎（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b；‎ ‎①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：‎ x+b=x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）=0‎ ‎∴该交点Q2（，﹣）；‎ Q2到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：==；‎ ‎②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：‎ x+b=﹣x2+1，即：x2+3x+9b﹣9=0‎ ‎∴该交点Q1（﹣，）；‎ Q1到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：=；‎ ‎∴符合条件的Q点为Q1（﹣，）；‎ ‎△EBQ的最大面积：Smax=×BE×=．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题．该题的难度和计算量都比较大，涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识；解答（2）题时，应注意分不同的对应边来进行讨论，以免漏解．（3）的难度较大，点到直线的距离公式【点（x0，y0）到直线（Ax+By+C=0）的距离为：d=】是需要记住的内容．另外，题目在设计时结合了一定的生活元素，形式较为新颖．‎ ‎11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．‎ ‎（1）求原抛物线的解析式；‎ ‎（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．‎ 解答：‎ 解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，‎ ‎∴P点坐标为（1，﹣3）； …（2分）‎ ‎∵抛物线y=a（x﹣1）2+c过点A（，0），顶点是P（1，﹣3），‎ ‎∴；…（3分）‎ 解得；…（4分）‎ 则抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，…（5分）‎ 即y=x2﹣2x﹣2．‎ ‎（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，‎ ‎∴C、D两点纵坐标为3； …（6分）‎ 由（x﹣1）2﹣3=3，‎ 解得：，，…（7分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别为（，3），（，3）‎ ‎∴CD=…（8分）‎ ‎∴“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）…（10分）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键．‎ ‎12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．‎ ‎（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；‎ ‎（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；‎ ‎（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；‎ ‎（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．‎ 另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．‎ 解答：‎ 解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；‎ ‎∵6=3k，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴y=2x．（2分）‎ OA=．…（3分）‎ ‎（2）是一个定值，理由如下：‎ 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．‎ ‎①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，‎ 此时；‎ ‎②当QH与QM不重合时，‎ ‎∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，‎ ‎∴∠MQH=∠GQN，‎ 又∵∠QHM=∠QGN=90°‎ ‎∴△QHM∽△QGN…（5分），‎ ‎∴，‎ 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①①‎ ‎（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ‎∵∠AOD=∠BAE，‎ ‎∴AF=OF，‎ ‎∴OC=AC=OA=‎ ‎∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，‎ ‎∴△AOR∽△FOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴OF=，‎ ‎∴点F（，0），‎ 设点B（x，），‎ 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得x1=6，x2=3（舍去），‎ ‎∴点B（6，2），‎ ‎∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，‎ ‎∴AB=5 …（8分）；‎ ‎（求AB也可采用下面的方法）‎ 设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得 k=，b=10，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），，‎ ‎∴B（6，2），‎ ‎∴AB=5…（8分）‎ ‎（其它方法求出AB的长酌情给分）‎ 在△ABE与△OED中 ‎∵∠BAE=∠BED，‎ ‎∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，‎ ‎∴∠ABE=∠DEO，‎ ‎∵∠BAE=∠EOD，‎ ‎∴△ABE∽△OED．…（9分）‎ 设OE=x，则AE=﹣x （），‎ 由△ABE∽△OED得，‎ ‎∴‎ ‎∴（）…（10分）‎ ‎∴顶点为（，）‎ 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；‎ 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．‎ ‎∴当时，E点只有1个…（11分）‎ 当时，E点有2个…（12分）．‎ 点评：‎ 本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3‎ ‎）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．‎ ‎13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．‎ ‎（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；‎ ‎（2）当点C与点A重合时，求a的值；‎ ‎（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．‎ ‎（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．‎ ‎（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，‎ ‎∴OA=1，OB=，∴A的坐标是（0，1）‎ ‎∠ABO=30°．‎ ‎（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴，‎ ‎∴D的坐标是（﹣，0），‎ E的坐标是（，0），‎ 把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n，‎ 解得：a=﹣3．‎ ‎（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．‎ ‎∵△CDE是等边△，∠ABO=30°‎ ‎∴∠BCE=90°，∠ECN=90°‎ ‎∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN ‎∴四边形MPCN为正方形…6分 ‎∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）．‎ ‎∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ．‎ ‎∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°‎ ‎∴∠EMQ，=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a ‎∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a ‎∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a，‎ ‎∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣‎ ‎∴E（﹣4a﹣，0）‎ ‎∴C（﹣3a﹣，﹣3a）‎ 设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a ‎∵E在该抛物线上 ‎∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0‎ 得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1‎ ‎∵a＜0，∴a=﹣1‎ ‎∴AF=2，CF=2，∴AC=4‎ ‎∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．‎ 点评：‎ 这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．‎ ‎14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．‎ ‎（1）求抛物线顶点A的坐标；‎ ‎（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；‎ ‎（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l 的解析式中即可求出点A的坐标．‎ ‎（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．‎ ‎（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①ADPB、②ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，‎ ‎∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，‎ ‎∴A（1，﹣4）．‎ ‎（2）△ABD是直角三角形．‎ 将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）‎ 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3‎ ‎∴C（﹣1，0），D（3，0），‎ BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，‎ BD2+AB2=AD2，‎ ‎∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．‎ ‎（3）存在．‎ 由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点A（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）‎ ‎∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3‎ ‎∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ‎∴BD∥l，即PA∥BD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，‎ 过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）‎ 则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|‎ PA=BD=3‎ 由勾股定理得：‎ ‎（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2，4‎ ‎∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）‎ 存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．‎ 点评：‎ 题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解．‎ ‎15．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．‎ ‎（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．‎ ‎（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；‎ 当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．‎ ‎（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：‎ MA2=m2+4，MC2=m2﹣6m+10，AC2=10；‎ ‎①若MA=MC，则MA2=MC2，得：‎ m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；‎ ‎②若MA=AC，则MA2=AC2，得：‎ m2+4=10，得：m=±；‎ ‎③若MC=AC，则MC2=AC2，得：‎ m2﹣6m+10=10，得：m=0，m=6；‎ 当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；‎ 综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．‎ 点评：‎ 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．‎ ‎16．（2012•盐城）知识迁移 ‎ 当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．‎ ‎ 记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．‎ 直接应用 ‎ 已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=　1　时，y1+y2取得最小值为　2　．‎ 变形应用 ‎ 已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．‎ 实际应用 ‎ 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；几何不等式。菁优网版权所有 专题：‎ 阅读型。‎ 分析：‎ 直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．‎ 变形运用：先得出的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．‎ 实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：直接应用：‎ ‎∵函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．‎ ‎∴函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．‎ 变形应用 已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），‎ 则==（x+1）+的最小值为：2=4，‎ ‎∵当（x+1）+=4时，‎ 整理得出：x2﹣2x+1=0，‎ 解得：x1=x2=1，‎ 检验：x=1时，x+1=2≠0，‎ 故x=1是原方程的解，‎ 故的最小值为4，相应的x的值为1；‎ 实际应用 设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x2，‎ 故平均每千米的运输成本为：=0.001x++1.6=0.001x++1.6，‎ 由题意可得：当0.001x=时，取得最小，此时x=60km，‎ 此时≥2+1.6=2.8，‎ 即当一次运输的路程为60千米时，运输费用最低，最低费用为：2.8元．‎ 答：汽车一次运输的路程为60千米，平均每千米的运输成本最低，最低是多少元2.8元．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的应用及几何不等式的知识，题目出的比较新颖，解答本题的关键是仔细审题，理解题意所给的结论，达到学以致用的目的．‎ ‎17．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．‎ ‎①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．‎ ‎②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型。‎ 分析：‎ ‎（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．‎ ‎（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l 的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．‎ ‎②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．‎ 在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）将点A（2，0）和点B（1，﹣）分别代入y=x2+mx+n中，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式：入y=x2﹣1；‎ ‎（2）①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：‎ x2﹣1=﹣+2t，x=，‎ ‎∴P（，﹣+2t），‎ ‎∴圆心C（，﹣+t），‎ ‎∴点C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1）=t+；‎ 而OP2=8t+1+（﹣+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；‎ ‎∴直线l与⊙C相切．‎ ‎②Ⅰ、当圆心C在直线l上时，﹣+t=﹣1+3t，t=；‎ 此时直线l与⊙C相交；‎ ‎ 当0＜t≤时，C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1+3t）=﹣2t＜t+，‎ ‎∴直线l与⊙C相交；‎ ‎ 当t＞时，C到直线l的距离：﹣1+3t﹣（﹣+t）=2t﹣，‎ 若直线l与⊙C相交，则：2t﹣＜t+，t＜；‎ ‎ 综上，当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；‎ Ⅱ、若a2最大，则a为⊙C的直径，此时点C在直线l上，由Ⅰ知：此时t=，‎ 半径OC=t+=，直径a=，‎ ‎∵0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣|，又半径为r=t+，‎ ‎∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+）2﹣|2t﹣t2|]=﹣t2+15t，‎ ‎∴t=时，a的平方取得最大值为．‎ 点评：‎ 该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解．‎ ‎18．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；‎ ‎（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；‎ ‎（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．‎ 解答：‎ 解：（1）A（1，4）．…（1分）‎ 由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4‎ ‎∵抛物线过点C（3，0），‎ ‎∴0=a（3﹣1）2+4，‎ 解得，a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）‎ ‎（2）∵A（1，4），C（3，0），‎ ‎∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎∵点P（1，4﹣t）．…（3分） ‎∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）‎ ‎∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．‎ ‎∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分）‎ 又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，‎ 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）‎ ‎=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）‎ 当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）‎ ‎（3）t=或t=20﹣8．…（12分）‎ ‎（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法．‎ ‎19．（2012•孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；‎ ‎（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为　（2，3）　时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为　（，）　时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出D点坐标；‎ ‎（2）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式，这个表达式是关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值，并求出P点坐标；‎ ‎（3）四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时，需要结合几何图形的性质求出P点坐标：‎ ‎①当四边形PQAC为平行四边形时，如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标；‎ ‎②当四边形PQAC为平行四边形时，如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系，求出P点坐标．注意三角函数关系部分，也可以用相似三角形解决．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）‎ ‎∴当x=0时，c=3．‎ 又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）‎ ‎∴，解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3‎ 又∵y=﹣x2+2x+3，y=﹣（x﹣1）2+4‎ ‎∴顶点D的坐标是（1，4）．‎ ‎（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）‎ ‎∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）‎ ‎∴，解得 ‎∴直线BD的解析式：y=﹣2x+6‎ ‎∵P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，﹣2m+6）‎ 又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=﹣2m+6，OM=m 又∵A（﹣1，0），C（3，0）∴OA=1，OC=3‎ 设四边形PMAC面积为S，则 S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×（﹣2m+6+3）•m ‎=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+‎ ‎∵13‎ ‎∴当m=时，四边形PMAC面积的最大值为 此时，P点坐标是（，）．‎ ‎（3）答案：（2，3）；（，）．‎ ‎******注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求******‎ ‎①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，∴yP=PE=CO=3．‎ 又CP∥x轴，则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，∴xP=2．‎ ‎∴P（2，3）．‎ ‎②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．‎ 设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=﹣m2+2m+3．‎ 过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．‎ 在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC=，tan∠CAO=3，cos∠CAO=；‎ ‎∵PQ∥CA，∴tan∠PQE==tan∠CAO=3，‎ ‎∴QE=n，PQ==n．‎ 过点Q作QM∥PC，交AC于点M，则四边形PCMQ为平行四边形，△QAM为等腰三角形．再过点Q作QN⊥AC于点N．‎ 则有：CM=PQ=n，AN=AM=（AC﹣CM）=（1﹣n），‎ AQ==5（1﹣n）．‎ 又AQ=AO+OQ=1+（m﹣n），‎ ‎∴5（1﹣n）=1+（m﹣n），化简得：n=3﹣m；‎ 又P点在抛物线上，有n=﹣m2+2m+3，‎ ‎∴﹣m2+2m+3=3﹣m，化简得：m2﹣m=0，解得m1=0（舍去），m2=‎ ‎∴m=，n=3﹣m=，‎ ‎∴P（，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了诸多重要的知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数（或相似三角形）等，涉及考点众多，有一定的难度．本题难点在于第（3）问等腰梯形的情形，注意该种情形下求点的坐标的方法．‎ ‎20．（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．‎ ‎（1）求AD的长及抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？‎ ‎（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；数形结合；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．‎ ‎（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：‎ ‎①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；‎ ‎②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，‎ ‎∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．‎ 由题意，△BDC≌△EDC．‎ ‎∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．‎ 由勾股定理易得EO=6．‎ ‎∴AE=10﹣6=4，‎ 设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，‎ 解得，x=3，∴AD=3．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），‎ ‎∴，‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．‎ ‎（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，‎ ‎∴∠DEA=∠OCE，‎ 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．‎ 而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．‎ 当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得t=．‎ 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得t=．‎ ‎∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．‎ ‎（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：‎ ‎①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；‎ 则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；‎ ‎②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；‎ 将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；‎ 将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；‎ 综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：‎ ‎①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）‎ ‎②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）‎ ‎③M3（4，），N3（4，﹣）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．‎ ‎21．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 转化思想。‎ 分析：‎ ‎（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．‎ ‎（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．‎ 解答：‎ 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎0=16a﹣×4﹣2，即：a=；‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4，‎ 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，‎ ‎∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；‎ 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：‎ x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；‎ ‎∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；‎ ‎∴直线l：y=x﹣4．‎ 由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，‎ 解得：‎ 即 M（2，﹣3）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．‎ ‎22．（2012•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？‎ ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型。‎ 分析：‎ ‎（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．‎ ‎（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．‎ ‎（3）首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠CAO=∠ABE．‎ ‎∴Rt△CAO∽Rt△ABE．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴t=8．‎ ‎（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=，AE=2．‎ 当0＜t＜8时，S=CD•BD=（2+t）（4﹣）=．‎ ‎∴t1=t2=3．‎ 当t＞8时，S=CD•BD=（2+t）（﹣4）=．‎ ‎∴t1=3+5，t2=3﹣5（为负数，舍去）．‎ 当t=3或3+5时，S=．‎ ‎（3）过M作MN⊥x轴于N，则MN=CO=2．‎ 当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4．‎ 抛物线y=ax2﹣10ax的顶点坐标为（5，﹣25a）．‎ 它的顶点在直线x=5上移动．‎ 直线x=5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．‎ ‎∴1＜﹣25a＜2．‎ ‎∴﹣＜a＜﹣．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．‎ ‎23．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；‎ ‎（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），‎ ‎∴64a+11=8，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2+11；‎ ‎（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，‎ ‎∴6=﹣（t﹣19）2+8，‎ 解得t1=35，t2=3，‎ ‎∴35﹣3=32（小时）．‎ 答：需32小时禁止船只通行．‎ 点评：‎ 考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．‎ ‎24．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；‎ ‎（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线C1的解析式，易得顶点A的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，联立抛物线C1的解析式后可求得C点坐标．‎ ‎（2）将x=3代入直线AB、抛物线C1的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值．‎ ‎（3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线C2的解析式和顶点P的坐标，联立直线AB的解析式可得到点N的坐标．结合N、Q、M三点坐标，易发现△MNQ是等腰直角三角形，过N作NH⊥y轴于H，设MN交y轴于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的长；NP是∠MNQ的角平分线，且NQ∥y轴，能证得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P点的坐标，结合抛物线C2的解析式，即可确定m的值．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则：‎ ‎，解得 ‎∴直线AB解析式为y=2x﹣2．‎ ‎∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴点C的坐标为（4，6）．‎ ‎（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点．‎ ‎∴yD=4，yE=，∴DE=．‎ ‎∵FG=DE=4：3，∴FG=2．‎ ‎∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．‎ ‎∴yF=2a﹣2，yG=a2﹣2‎ ‎∴FG=|2a﹣a2|=2，‎ 解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．‎ ‎（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；‎ 设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；‎ ‎∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．‎ ‎∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．‎ ‎∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴N（2﹣t，2﹣2t）．‎ NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，‎ ‎∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．‎ ‎∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，‎ ‎∴MO=OT，HT=HN ‎∴OT=﹣t，NT=（2﹣t），PT=﹣t+t2．‎ ‎∵PN平分∠MNQ，‎ ‎∴PT=NT，‎ ‎∴﹣t+t2=（2﹣t），‎ ‎∴t1=﹣2，t2=2（舍）‎ ‎﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．‎ 点评：‎ 该二次函数综合题涉及到函数图象交点坐标的求法、等腰三角形的判定与性质等知识．（3）题的难度较大，找到特殊角是解题的关键．‎ ‎25．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．‎ ‎（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF==2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF==2x，‎ ‎∴x+2x+x=24，‎ 解得：x=6，‎ 则 a=6，‎ V=a3==432（cm3）；‎ ‎（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=，h=，‎ ‎∴S=4ah+a2=4x（12﹣x）+=﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，‎ ‎∵0＜x＜12，‎ ‎∴当x=8时，S取得最大值384cm2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键．‎ ‎26．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．‎ ‎（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？‎ ‎（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；‎ ‎（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；‎ ‎（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x 令y=0得﹣x2+6x=0‎ ‎∴x1=0，x2=6，‎ ‎∴A（6，0）‎ 当x=1时，y=5‎ ‎∴B（1，5）‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3‎ 又∵B，C关于对称轴对称 ‎∴BC=4．‎ ‎（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）‎ 由已知得∠ACP=∠BCH=90°‎ ‎∴∠ACH=∠PCB 又∵∠AHC=∠PBC=90°‎ ‎∴△AGH∽△PCB，‎ ‎∴，‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，‎ 又∵B，C关于对称轴对称，‎ ‎∴BC=2（m﹣1），‎ ‎∵B（1，2m﹣1），P（1，m），‎ ‎∴BP=m﹣1，‎ 又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），‎ ‎∴H（2m﹣1，0），‎ ‎∴AH=1，CH=2m﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=．‎ ‎（3）∵B，C不重合，∴m≠1，‎ ‎（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，‎ ‎（i）若点E在x轴上（如图1），‎ ‎∵∠CPE=90°，‎ ‎∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，‎ ‎∴△BPC≌△MEP，‎ ‎∴BC=PM，‎ ‎∴2（m﹣1）=m，‎ ‎∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；‎ ‎（ii）若点E在y轴上（如图2），‎ 过点P作PN⊥y轴于点N，‎ 易证△BPC≌△NPE，‎ ‎∴BP=NP=OM=1，‎ ‎∴m﹣1=1，‎ ‎∴m=2，‎ 此时点E的坐标是（0，4）；‎ ‎（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，‎ ‎（i）若点E在x轴上（如图3），‎ 易证△BPC≌△MEP，‎ ‎∴BC=PM，‎ ‎∴2（1﹣m）=m，‎ ‎∴m=，此时点E的坐标是（，0）；‎ ‎（ii）若点E在y轴上（如图4），‎ 过点P作PN⊥y轴于点N，‎ 易证△BPC≌△NPE，‎ ‎∴BP=NP=OM=1，‎ ‎∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），‎ 综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），‎ 当m=时，点E的坐标是（，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及全等三角形的性质和全等三角形的判定、需注意的是（3）题在不确E点的情况下需要分类讨论，以免漏解．题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．‎ ‎27．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：‎ ‎ 旋钮角度（度）‎ ‎20 ‎ ‎50 ‎ ‎70 ‎ ‎80 ‎ ‎90 ‎ ‎ 所用燃气量（升）‎ ‎ 73‎ ‎ 67‎ ‎ 83‎ ‎ 97‎ ‎115 ‎ ‎（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？‎ ‎（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．‎ 考点：‎ 二次函数的图象。菁优网版权所有 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）先假设函数为一次函数，任选两点求出函数解析式，再将各点代入验证；再假设函数为二次函数，任选三求出函数解析式，再将各点代入验证 ‎（2）将（1）所求二次函数解析式，化为顶点式，转化为二次函数最值的问题，即可解答．‎ ‎（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115﹣65=50，再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，据此解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）若设y=kx+b（k≠0），‎ 由，‎ 解得，‎ 所以y=﹣x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；‎ 若设y=（k≠0），由73=，解得k=1460，‎ 所以y=，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；‎ 若设y=ax2+bx+c，‎ 则由，‎ 解得，‎ 所以y=x2﹣x+97（18≤x≤90），‎ 把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．‎ 所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；‎ ‎（2）由（1）得：y=x2﹣x+97=（x﹣40）2+65，‎ 所以当x=40时，y取得最小值65．‎ 即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；‎ ‎（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115﹣65=50（升）‎ 设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：‎ a=10，‎ 解得a=23（立方米），‎ 即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数求最值等问题，综合性较强，需要有较高的思维能力，关键是探索出函数的解析式．‎ ‎28．（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．‎ ‎（1）求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；‎ ‎（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线 段MN的长．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），然后代入抛物线方程，用含y2的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；‎ ‎（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN2，结合直线方程将MN2化简，求出MN，然后延长NP交l2于点Q，过点M作MS丄l2交l2于点S，则MS+NQ=y1+2+y2+2=﹣1+﹣1+4=（）+2，利用根与系数的关系，求出，并代入，从而可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由函数经过（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点可得：，‎ 解得 所以y=x2﹣1．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上，‎ 所以 y1=﹣1，y2=﹣1，所以=4（y2+1）；‎ 又ON2=x22+y22=4（y2+1）+y22=（y2+4）2，所以ON=|2+y2|，又因为y2为正，所以ON=2+y2，‎ 设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，‎ 则EF=，‎ 所以ON=2EF 即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，‎ 所以以ON为直径的圆与l1相切．‎ ‎（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，则MN2=MH2+NH2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2，‎ 又y1=kx1，y2=kx2，所以（y2﹣y1）2=k2（x2﹣x1）2所以MN2=（1+k2）（x2﹣x1）2；‎ 又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，‎ 所以kx=x2﹣1，即x2﹣4kx﹣4=0，‎ 所以x=‎ 所以（x2﹣x1）2=16（1+k2）‎ 所以MN2=16（1+k2）2，MN=4（1+k2），‎ 延长NP交l2于点Q，过点M作MS丄l2交l2于点S，‎ 则MS+NQ=y1+2+y2+2=﹣1+﹣1+4=（）+2‎ 又=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，‎ 所以MS+NQ=4k2+2+2=4（1+k2）=MN，‎ 即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系，梯形的中位线定理，综合性较强，关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通．‎ ‎29．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；‎ ‎（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，‎ ‎∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，‎ 得方程组…3分 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分 ‎（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，‎ 若△ABO∽△AP1D，则 ‎∴DP1=AD=4，‎ ‎∴P1（﹣1，4）…7分 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，‎ ‎∵△ABO为等腰三角形，‎ ‎∴△ADP2是等腰三角形，‎ 由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，‎ ‎∴P2（1，2）…10分 ‎（3）如答图2，设点E（x，y），则 ‎ S△ADE=‎ ‎①当P1（﹣1，4）时，‎ S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分 ‎∴2|y|=4+|y|，‎ ‎∴|y|=4‎ ‎∵点E在x轴下方，‎ ‎∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，‎ ‎∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0‎ ‎∴此方程无解…12分 ‎②当P2（1，2）时，‎ S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，‎ ‎∴2|y|=2+|y|，‎ ‎∴|y|=2‎ ‎∵点E在x轴下方，‎ ‎∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，‎ ‎∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0‎ ‎∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分 点评：‎ 本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元二次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分类讨论计算，避免漏解；（3）问中是否存在点E的问题，转化为一元二次方程实数根个数的问题，需要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．‎ ‎30．（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线解析式及点D坐标；‎ ‎（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；‎ ‎（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；‎ ‎（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．‎ ‎（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ ‎∴y=﹣x2+x+2；‎ 当y=2时，﹣x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），‎ 即：点D坐标为（3，2）．‎ ‎（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：‎ ‎①当AE为一边时，AE∥PD，‎ ‎∴P1（0，2），‎ ‎②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，‎ 可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，‎ ‎∴P点的纵坐标为﹣2，‎ 代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2=﹣2‎ 解得：x1=，x2=，‎ ‎∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）‎ 综上所述：p1（0，2）；p2（，﹣2）；p3（，﹣2）．‎ ‎（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），‎ ‎①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，‎ PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，‎ 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，‎ ‎∴∠FQ′P=∠OCQ′，‎ ‎∴△COQ′～△Q′FP，，，‎ ‎∴Q′F=a﹣3，‎ ‎∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，‎ 此时a=，点P的坐标为（，），‎ ‎②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣a2+a+2＜0，CQ=﹣a，‎ PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，‎ 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，‎ ‎∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，‎ ‎∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，‎ ‎∴OQ′=3，‎ CQ=CQ′=，‎ 此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）．‎ 综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．‎ 本资料仅限下载者本人学习或教研之用，未经菁优网授权，不得以任何方式传播或用于商业用途。‎