历年中考数学压轴题

历年中考数学压轴题

‎2、（上海卷）已知点在线段上，点在线段延长线上．以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点．‎ ‎（1）如图，如果，．求证：；‎ ‎（2）如果（是常数，且），，是，的比例中项．当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围．‎ ‎[解] （1）证明：，．‎ ‎． ‎ ‎， ‎ ‎．，． ‎ ‎（2）解：设，则，，是，的比例中项，‎ ‎， ‎ 得，即． ‎ ‎． ‎ 是，的比例中项，即，‎ ‎，． ‎ 设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，‎ ‎，． ‎ ‎． ‎ ‎；当点与点或点重合时，可得，‎ 当点在圆上运动时，； ‎ ‎（3）解：由（2）得，，且，‎ ‎，圆和圆的圆心距，‎ 显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含．‎ 当圆与圆相交时，，得，‎ ‎，； ‎ 当圆与圆内切时，，得； ‎ 当圆与圆内含时，，得． ‎ ‎[点评]今年的上海市数学压轴题难度与去年相差不大，是比较传统的压轴题，应该说比较容易上手，考查的知识点较多，综合性较强，第2小题考到了方程思想，第3小题又运用到了分类讨论思想，在解决这种题时应在比较牢固掌握基础知识的同时培养自己运用各种数学思想方法的能力，本题是一道好题，符合上海市二期课改的理念。‎ ‎3、（福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点 的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．‎ ‎（1）确定的值：；‎ ‎（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：‎ ‎；‎ ‎（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解] （1）　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　 （2）　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　（3）存在的值，有以下三种情况 ‎　　　　①当时 ‎　　　　　，则 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　②当时 ‎　　　　　得 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　③当时，如图 ‎　　　　　解法一：过作，又 ‎　　　　　　　　　则 ‎　　　　　　　　　又 ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　解法二：作斜边中线 ‎　　　　　　　　　　则，‎ ‎　　　　　　　　　　此时 ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　解法三：在中有 ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　（舍去）‎ ‎　　　　　　　　　　又 ‎　　　　　　　　　　当或或时，为等腰三角形．‎ ‎[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去 ‎4、（福建厦门课改A卷）已知P（，）是抛物线上的点，且点P在第一象限.‎ ‎（1）求的值 ‎（2）直线过点P，交轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M.‎ ‎①当时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；‎ O P A M ‎②当时，记△MOA的面积为S，求的最大值.‎ ‎[解] （1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）①b=‎2a，‎ ‎ P在直线上，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A（2，0）‎ ‎ ‎ ‎ M（-1，a）‎ ‎ ∠OPA=90°‎ ‎ 即，‎ ‎ ，‎ ‎ P（1，1）‎ ‎ 故存在这样的点P ‎ ②‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ∴S=‎ ‎ ‎ ‎ ∴当时，‎ ‎[点评]2006年是厦门市课改第二年，其压轴题的难度走势相对平缓，难点是如何在第3小题中求最值，这是比较常规的一类最值问题，经过探索可以得出与a之间的函数关系式，并且是二次函数，则可以用顶点式求得答案，试题的坡度设置较好，能使各能力层次的学生都有所收获。‎ ‎5、（福建漳州卷）如图，已知矩形，在上取两点（在左边），以为边作等边三角形，使顶点在上，分别交于点．‎ ‎（1）求的边长；‎ ‎（2）在不添加辅助线的情况下，当与不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；‎ ‎（第27题）‎ ‎（3）若的边在线段上移动．试猜想：与有何数量关系？并证明你猜想的结论．‎ ‎[解] （1）过作于　　‎ 矩形 ‎，即，又 ‎　　‎ 是等边三角形 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 在中 的边长为．　　‎ ‎（2）正确找出一对相似三角形　　‎ 正确说明理由　　‎ 方法一：　　‎ 理由：矩形 ‎　　‎ ‎　　‎ 方法二：　　‎ 理由：矩形 ‎　　‎ 又 ‎　　‎ ‎（3）猜想：与的数量关系是：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 证法一：在中，‎ ‎　　‎ 是等边三角形 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 证法二：在中，‎ ‎　　‎ 是等边三角形，‎ ‎　　‎ 在中，‎ ‎，即　　‎ 在中，‎ ‎　　‎ 证法三：在中，‎ ‎，‎ ‎　　‎ 是等边三角形 ‎　　‎ ‎　　①‎ 即 ‎　　②‎ 把②代入①得，‎ ‎　　‎ ‎[点评]本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2007年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，‎