2012年荆门 (2)中考数学试卷

2012年荆门 (2)中考数学试卷

‎2012年湖北省荆门市中考数学试卷解析 一、选择题（本大题12个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分）‎ ‎1. 下列实数中，无理数是（　　）‎ A．﹣ B．π C． D．|﹣2|‎ 解析：：A、﹣是有理数，故本选项错误；‎ B、是无理数，故本选项正确；‎ C、=3，是有理数，故本选项错误；‎ D、|﹣2|=2，是有理数，故本选项错误；‎ 故选B．‎ ‎2. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）‎ A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16‎ 解析：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，‎ 配方得（x﹣1）2=4．‎ 故选A．‎ ‎3. 已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ 解析：∵∠3是△ADG的外角，‎ ‎∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴∠3=∠4=55°，‎ ‎∵∠4+∠EFC=90°，‎ ‎∴∠EFC=90°﹣55°=35°，‎ ‎∴∠2=35°．‎ 故选B．‎ ‎4. 若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（　　）‎ A．3 B．9 C．12 D．27‎ 解析：∵与|x﹣y﹣3|互为相反数，‎ ‎∴+|x﹣y﹣3|=0，‎ ‎∴，‎ ‎②﹣①得，y=12，‎ 把y=12代入②得，x﹣12﹣3=0，‎ 解得x=15，‎ ‎∴x+y=12+15=27．‎ 故选D．‎ ‎5．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　A．‎ 众数是3‎ B．‎ 中位数是6‎ C．‎ 平均数是5‎ D．‎ 极差是7‎ 解析：A．∵3出现了2次，最多，∴众数为3，故此选项正确；‎ B．∵排序后为：2，3，3，6，7，9，‎ ‎∴中位数为：（3+6）÷2=4.5；故此选项错误；‎ C.==5；故此选项正确；‎ D．极差是9﹣2=7，故此选项正确；‎ 故选B．‎ ‎6. 已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解析：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），‎ 又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 在数轴上表示为：．‎ 故选A．‎ ‎7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解析：根据勾股定理，AB==2，‎ BC==，‎ AC==，‎ 所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，‎ A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；‎ B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；‎ C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；‎ D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎8. 如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 解析：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．‎ 把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；‎ 同理可得：B的横坐标是：﹣．‎ 则AB=﹣（﹣）=．‎ 则S□ABCD=×b=5．‎ 故选D．‎ ‎9. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ ‎3解析：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠EBP=∠QBF=30°，‎ ‎∵BF=2，FQ⊥BP，‎ ‎∴BQ=BF•cos30°=2×=，‎ ‎∵FQ是BP的垂直平分线，‎ ‎∴BP=2BQ=2，‎ 在Rt△BEF中，‎ ‎∵∠EBP=30°，‎ ‎∴PE=BP=．‎ 故选C．‎ ‎10．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎6‎ 解析：∵正方形ABCD的对角线长为2，‎ 即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，‎ ‎∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2，‎ 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，‎ ‎∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．‎ 故选C．‎ ‎11. 已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为（　　）‎ A．‎ y=‎ B．‎ y=﹣‎ C．‎ y=或y=﹣‎ D．‎ y=或y=﹣解析：∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，‎ ‎∴k=±2，‎ 把k=±2分别代入反比例函数y=的解析式得：y=或y=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎12. 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8048个 B．‎ ‎4024个 C．‎ ‎2012个 D．‎ ‎1066个 解析：第1个图形，有4个直角三角形，‎ 第2个图形，有4个直角三角形，‎ 第3个图形，有8个直角三角形，‎ 第4个图形，有8个直角三角形，‎ ‎…，‎ 依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，‎ 所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．‎ 故选B．‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）‎ ‎13. 计算﹣（﹣2）﹣2﹣（﹣2）0=　 　．‎ 解析：原式=﹣﹣1=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎14. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=　　．‎ 解析：连接PB、PE．‎ ‎∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，‎ ‎∴PB⊥BC，PE⊥OA，‎ ‎∵BC∥OA，‎ ‎∴B、P、E在一条直线上，‎ ‎∵A（2，0），B（1，2），‎ ‎∴AE=1，BE=2，‎ ‎∴tan∠ABE==，‎ ‎∵∠EDF=∠ABE，‎ ‎∴tan∠FDE=．‎ 故答案为：．‎ ‎15如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为　 　cm2．（结果可保留根号）‎ 解析：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，‎ ‎∵其高为12cm，底面半径为5，‎ ‎∴其侧面积为6×5×12=360cm2‎ 密封纸盒的侧面积为：×5×6×5=75cm2‎ ‎∴其全面积为：（75+360）cm2．‎ 故答案为：（75+360）．‎ ‎16．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为　　．‎ 解析：根据题意可得：y=x+m﹣2，‎ ‎∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，‎ ‎∴m﹣2=0，‎ 解得：m=2，‎ 则关于x的方程变为+=1，‎ 解得：x=3，‎ 检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，‎ 故x=3是原分式方程的解，‎ 故答案为：x=3．‎ ‎17. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是　①③④　（填序号）．‎ 解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，‎ ‎∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，‎ ‎∴BC=BE=5，‎ ‎∴AD=BE=5，故①小题正确；‎ 又∵从M到N的变化是2，‎ ‎∴ED=2，‎ ‎∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，‎ 在Rt△ABE中，AB===4，‎ ‎∴cos∠ABE==，故②小题错误；‎ 过点P作PF⊥BC于点F，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠PBF，‎ ‎∴sin∠PBF=sin∠AEB==，‎ ‎∴PF=PBsin∠PBF=t，‎ ‎∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；‎ 当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，‎ PQ=CD﹣PD=4﹣=，‎ ‎∵=，==，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠A=∠Q=90°，‎ ‎∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．‎ 综上所述，正确的有①③④．‎ 故答案为：①③④．‎ ‎18．先化简，后求值：，其中a=+1．‎ 解： ‎ 原式=‎ ‎=‎ ‎=．…（5分）‎ 当a=+1时，原式==．…（8分）‎ ‎19．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．‎ ‎（1）请根据题意用实线补全图形；‎ ‎（2）求证：△AFB≌△AGE．‎ 解：（1）画图，如图；…（4分）‎ ‎（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED．…（5分）‎ ‎∴AB=AE，∠ABC=∠E．…（6分）‎ 在△AFB和△AGE中，‎ ‎∴△AFB≌△AGE（ASA）．…（9分）‎ ‎20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．‎ 请根据以上信息回答：‎ ‎（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？‎ ‎（2）将两幅不完整的图补充完整；‎ ‎（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；‎ ‎（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．‎ 解：（1）60÷10%=600（人）．‎ 答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）‎ ‎（2）如图；…（5分）‎ ‎（3）8000×40%=3200（人）．‎ 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．…（7分）‎ ‎（4）如图；‎ ‎（列表方法略，参照给分）．…（8分）‎ P（C粽）==．‎ 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．…（10分）‎ ‎21. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）‎ 解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．‎ ‎∵OA=OB=5m，AB=8m，‎ ‎∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，‎ 在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，‎ ‎∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，‎ ‎∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，‎ ‎∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，‎ ‎∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．‎ 在Rt△ADE中，tan56°==，‎ ‎∴DE=2m，DC=12m．‎ ‎∴S阴=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）=20（m2）．‎ 答：U型槽的横截面积约为20m2．‎ ‎22. 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．‎ ‎（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？‎ 解：（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式y=；‎ ‎（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．‎ 由题意得：‎ 解得x≥50．‎ 由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．‎ ‎∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大．‎ ‎∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）．‎ 答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．‎ ‎23. 已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．‎ 解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．…（1分）‎ 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，‎ 令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．‎ ‎△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k=1．…（2分）‎ 综上所述，k的取值范围是k≤2．…（3分）‎ ‎（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k=1．‎ 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1．（*）…（4分）‎ 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：‎ ‎2k（x1+x2）=4x1x2．…（5分）‎ 又∵x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴2k•=4•．…（6分）‎ 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）．‎ ‎∴所求k值为﹣1．…（7分）‎ ‎②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+．‎ 且﹣1≤x≤1．…（8分）‎ 由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=．…（9分）‎ ‎∴y的最大值为，最小值为﹣3．…（10分）‎ ‎24. 如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ 解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．‎ 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3．‎ 则点B（1，4）．‎ ‎（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．‎ 在Rt△AOE中，OA=OE=3，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，AE==3．‎ 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径．‎ 在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，‎ ‎∴∠BAE=∠CBE．‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．‎ ‎∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线．‎ ‎（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；‎ ‎①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；‎ 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．‎ ‎②DE为短直角边时，P2在x轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；‎ 而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9‎ 即：P2（9，0）；‎ ‎③DE为长直角边时，点P3在y轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；‎ 综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．‎ ‎（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ 将A（3，0），B（1，4）代入，得解得 ‎∴y=﹣2x+6．‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．‎ 情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．‎ 则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHD∽△FHM，得，即．‎ 解得HK=2t．‎ ‎∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．‎ 情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．‎ 由△IQA∽△IPF，得．即，‎ 解得IQ=2（3﹣t）．‎ ‎∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．‎ 综上所述：s=．‎