中考数学旋转问题

中考数学旋转问题

中考数学：聚焦“旋转问题”‎ 旋转是新课标教材新增的内容，它是图形变换的重要手段之一，因此备受中考命题者的青睐。图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景，很值得同学们关注、欣赏。‎ 一. 旋转角 ‎ 例1. 如图1，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。‎ ‎ ‎ 图1 ‎ ‎ ‎ 二. 旋转直线（线段）‎ ‎  2. 如图3，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F，‎ ‎（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；‎ ‎（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；‎ ‎（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数。‎ ‎ ‎ 图3‎ 图4‎ ‎  3. 如图4，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（    ）‎ A. 1               B. 2               C. 3               D. 4‎ 三. 旋转三角（板）形 ‎  4. 如图5，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到。若点A的坐标为（a，b），则点的坐标为__________。‎ ‎ ‎ 图5 ‎ ‎  5. 已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时[如图6（1）]，易证：OD+OE=。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6（2），图6（3）这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。‎ 图6‎ ‎ ‎ 四. 旋转矩形 ‎  6. 如图7，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图7）。‎ ‎ ‎ 图7 图8‎ ‎（1）当时，△CBD的形状是____________________；‎ ‎（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；‎ ‎（3）当时（如图8），请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，交说明理由。‎ ‎ 五. 旋转正方形 ‎  7. 如图9，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。‎ 图9‎ ‎（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。‎ 若CD边在△ABC的内部时，如图10；或若CF边在△ABC的内部时，如图11。‎ 六. 旋转半圆 ‎  8. 如图12，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180°。‎ ‎（1）请你画出旋转后半圆M的图形；‎ ‎（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。‎ 图12‎ 七. 旋转图案 ‎  9 如图14，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（    ）‎ 图14‎ ‎ ‎ 八. 旋转抛物线 ‎10. 把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180°，求旋转后的二次函数解析式。‎ 中考数学：聚焦“旋转问题”答案与解析 一. 旋转角 ‎  1. 如图1，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。‎ 图1‎ 解析：解答此题必须变“动”为“静”，如图2，连接PA，易知PA⊥PC，又AB⊥AC，‎ ‎∴∠1=∠C=45°‎ 由∠EPF=∠APC=90°，得∠2=∠3‎ 而 ‎∴△PAE≌△PCF（ASA）‎ ‎∴PE=PF 故△PEF始终是等腰直角三角形 图2‎ ‎ ‎ 二. 旋转直线（线段）‎ ‎  2. 如图3，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F，‎ ‎（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；‎ ‎（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；‎ ‎（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数。‎ 证明：（1）当∠AOF=90°时，AB//EF，‎ 又AF//BE，‎ ‎∴四边形ABEF为平行四边形 ‎（2）相等。‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形 ‎∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE，‎ ‎∴△AOF≌△COE（ASA）‎ ‎∴AF=EC ‎（3）四边形BEDF可以是菱形，‎ 理由：如图3，连接BF、DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，‎ ‎∴EF与BD互相平分，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∴OA=1=AB，‎ 又AB⊥AC，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∴∠AOF=45°，‎ 故AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形 图3‎ ‎ ‎ ‎  3. 如图4，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（    ）‎ A. 1               B. 2               C. 3               D. 4‎ 图4‎ 解析：此题关键是求出△ADE的高，于是作DH⊥BC于H，EF⊥AD的延长线于F，则CH=。‎ 由旋转的性质易证△DHC≌△DFE。则EF=CH=2，‎ ‎∴‎ 故选C。‎ ‎ ‎ 三. 旋转三角（板）形 ‎  4. 如图5，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到。若点A的坐标为（a，b），则点的坐标为__________。‎ 图5‎ 解析：要求的坐标，就是求、。‎ 由旋转知识得，，。‎ 则 ‎ ‎ ‎  5. 已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。‎ 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时[如图6（1）]，易证：OD+OE=。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6（2），图6（3）这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。‎ 图6‎ 析证：本题是将三角板进行旋转，由特殊到一般，结论由不变到变，先提出结论，再由学生操作实验猜出结论，然后加以证明，图（2）结论：，过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q，如图6（2），易证△CPD≌△CQE，‎ ‎∴DP=EQ，OP=OD+DP，DQ=OE，又OP+OQ=，‎ 即，‎ ‎∴‎ 图（3）结论：‎ ‎ ‎ 四. 旋转矩形 ‎  6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图7）。‎ 图7‎ ‎（1）当时，△CBD的形状是____________________；‎ ‎（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；‎ ‎（3）当时（如图8），请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，交说明理由。‎ 图8‎ 解析：这是一道旋转问题的综合题，它把图形与旋转，图形与坐标，坐标与函数有机地结合起来。‎ ‎（1）利用旋转的性质得BC=CD，易知∠BCD=60°，‎ 故△CBD为正三角形。‎ ‎（2）设AH=x，则，‎ 由题意得 在Rt△BHC中，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得 设，‎ 把、C（6，0）代入，得 解得 ‎（3）抛物线顶点为B（6，4），‎ 设，把点D（0，0）代入得 ‎，‎ 依题可得，点M坐标为（8，3）。‎ 把代入，得y=3。‎ 故此抛物线经过矩形CFED的对称中心M。‎ ‎ ‎ 五. 旋转正方形 ‎  7. 如图9，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。‎ 图9‎ ‎（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。‎ 析证：本题是一道实验推理性题目，主要考查同学们的观察、动手操作、逻辑推理和探究等能力。‎ ‎（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD。‎ 理由：设AF与DC交点为G。‎ ‎∵∠BCD=90°+∠ACD，∠ACF=90°+∠ACD，‎ ‎∴∠BCD=∠ACF，‎ 而FC=DC，AC=BC ‎∴△ACF≌△BCD（SAS）‎ ‎∴AF=BD，∠AFC=∠BDC 而∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，‎ ‎∴∠BDC+∠DGA=90°‎ ‎∴AF⊥BD。‎ 故AF=BD且AF⊥BD。‎ ‎（2）结论：AF=BD且AF⊥BD。‎ 若CD边在△ABC的内部时，如图10；或若CF边在△ABC的内部时，如图11。‎ 图10‎ 图11‎ ‎ ‎ 六. 旋转半圆 ‎  8. 如图12，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180°。‎ ‎（1）请你画出旋转后半圆M的图形；‎ ‎（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。‎ 图12‎ 解析：半圆M所扫过的区域是由半圆M和以A点为圆心，AB长为半径的半圆两部分组成的，找出这样的区域是解题的关键。‎ ‎（1）画图如图13，‎ ‎（2）半圆M所扫过的面积 图13‎ ‎ ‎ 七. 旋转图案 ‎  9. 如图14，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（    ）‎ 解析：将图形旋转180°后的图形与原图形关于旋转中心对称，图案中的两个三角形恰好是中心对称图形，圆图案绕中心O旋转180°后，在它的中心对称位置，故 选D。‎ 图14‎ ‎ ‎ 八. 旋转抛物线 ‎  10. 把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180°，求旋转后的二次函数解析式。‎ 解析：抛物线绕顶点旋转180°，实际上就是顶点不变开口反向。‎ ‎，‎ 所以旋转后的二次函数解析式是：‎