2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷

2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷

‎2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（　　）‎ A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 ‎2．（4分）下列函数中，二次函数是（　　）‎ A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=‎ ‎3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（　　）‎ A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=‎ ‎4．（4分）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（　　）‎ A．， B．||=3|| C．=，=2 D．=‎ ‎5．（4分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（　　）‎ A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0‎ ‎6．（4分）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）知=，则=　 　．‎ ‎8．（4分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是　 　cm．‎ ‎9．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=　 　．‎ ‎10．（4分）计算：3+2（）=　 　．‎ ‎11．（4分）计算：3tan30°+sin45°=　 　．‎ ‎12．（4分）抛物线y=3x2﹣4的最低点坐标是　 　．‎ ‎13．（4分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是　 　．‎ ‎14．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=　 　．‎ ‎15．（4分）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是　 　（不写定义域）．‎ ‎16．（4分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是　 　米（结果保留根号形式）．‎ ‎17．（4分）已知点（﹣1，m）、（2，n ）在二次函数y=ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a　 　0（用“＞”或“＜”连接）．‎ ‎18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+5向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．‎ ‎20．（10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设=．‎ ‎（1）=　 　（用向量表示）；‎ ‎（2）设=，在图中求作．‎ ‎（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）‎ ‎21．（10分）如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．‎ ‎（1）当=时，求的值；‎ ‎（2）联结BD交EF于点M，求证：MG•ME=MF•MH．‎ ‎22．（10分）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．‎ ‎（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；‎ ‎（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）‎ ‎23．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF•FC=FB•DF．‎ ‎（1）求证：BD⊥AC；‎ ‎（2）联结AF，求证：AF•BE=BC•EF．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．‎ ‎（1）求证：△EFG∽△AEG；‎ ‎（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；‎ ‎（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市浦东新区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（　　）‎ A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 ‎【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，‎ 所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）下列函数中，二次函数是（　　）‎ A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=‎ ‎【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；‎ B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；‎ C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；‎ D、y=不是二次函数．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（　　）‎ A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=‎ ‎【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解．‎ ‎【解答】解：AC===12，‎ A、sinA==．故本选项正确；‎ B、cosA==，故本选项错误；‎ C、tanA==，故本选项错误；‎ D、cotA==，故本选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（　　）‎ A．， B．||=3|| C．=，=2 D．=‎ ‎【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．‎ ‎【解答】解：A、由推知非零向量 的方向相同，则 ，故本选项错误；‎ B、由|不能确定非零向量 的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确．‎ C、由推知非零向量 的方向相同，则 ，故本选项错误；‎ D、由推知非零向量 的方向相同，则 ，故本选项错误；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（　　）‎ A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0‎ ‎【分析】由抛物线在x轴的下方，即可得出抛物线与x轴无交点且a＜0，进而即可得出a＜0、c＜0，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，‎ ‎∴a＜0，＜0，‎ ‎∴a＜0，c＜0，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知，进而得出EF∥CD．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴EF∥CD，故C选项符合题意；‎ 而A，B，D选项不能得出EF∥CD，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）知=，则=　　．‎ ‎【分析】根据已知条件=，可设x=3a，则y=2a，然后把它们代入所求式子，即可求出的值．‎ ‎【解答】解：设x=3a时，y=2a，‎ 则=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题根据x、y之间的关系，进而求出分式的值．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是　（2﹣2）　cm．‎ ‎【分析】根据黄金分割的概念得到MP=MN，把MN=4cm代入计算即可．‎ ‎【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，‎ ‎∴MP=MN，‎ 而MN=4cm，‎ ‎∴MP=4×=（2﹣2）cm．‎ 故答案为（2﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=　4　．‎ ‎【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得B1E1=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；‎ ‎（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；‎ ‎（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）计算：3+2（）=　5﹣　．‎ ‎【分析】根据平面向量的加法法则计算即可；‎ ‎【解答】解：3+2（）=3+2﹣=5﹣；‎ 故答案为5﹣；‎ ‎【点评】‎ 本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）计算：3tan30°+sin45°=　+　．‎ ‎【分析】直接将已知三角函数值代入求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=3×+‎ ‎=+．‎ 故答案为：+．‎ ‎【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）抛物线y=3x2﹣4的最低点坐标是　（0，﹣4）　．‎ ‎【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．‎ ‎【解答】解：y=3x2﹣4‎ ‎∴顶点（0，﹣4），即最低点坐标是（0，﹣4），‎ 故答案为：（0，﹣4）．‎ ‎【点评】此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数解析式的特点灵活运用适当的方法解决问题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是　y=2x2﹣3　．‎ ‎【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=2x2向下平移3个单位，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=2x2﹣3．‎ 故答案为：y=2x2﹣3．‎ ‎【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=　6　．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 可得；DE=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是　S=﹣2x2+10x　（不写定义域）．‎ ‎【分析】根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．‎ ‎【解答】解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x米，‎ 根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x，‎ 故答案为：S=﹣2x2+10x ‎【点评】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是　（50+50）　米（结果保留根号形式）．‎ ‎【分析】过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中求出BD的长度，继而可求得AB的长度．‎ ‎【解答】解：如图，过点C⊥AB于点D，‎ 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AC=100m，‎ ‎∴AD=100•sin∠ACD=100×0.5=50（m），‎ CD=100•cos∠ACD=100×=50（m），‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵∠BCD=45°，‎ ‎∴BD=CD=50m，‎ 则AB=AD+BD=50+50（m），‎ 即A、B之间的距离约为（50+50）米．‎ 故答案为：（50+50）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）已知点（﹣1，m）、（2，n ）在二次函数y=ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a　＞　0（用“＞”或“＜”连接）．‎ ‎【分析】二次函数的性质即可判定．‎ ‎【解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax2﹣2ax﹣1，‎ ‎∴该抛物线对称轴为x=1，‎ ‎∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，‎ ‎∴a＞0．‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是　　．‎ ‎【分析】如图作CH⊥AB于H．由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD•CB，延长构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图作CH⊥AB于H．‎ 在Rt△ACB中，∵BC=8，cosB=，‎ ‎∴AB=10，AC=8，CH==，BH=，‎ 由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=a，‎ ‎∵∠BDE=∠AEC，‎ ‎∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B，‎ ‎∴∠CED=∠B，∵∠ECD=∠BCE，‎ ‎∴△ECD∽△BCE，‎ ‎∴EC2=CD•CB，‎ ‎∴（）2+（2a﹣）2=（8﹣a）×8，‎ 解得a=或0（舍弃），‎ ‎∴BE=2a=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+5向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．‎ ‎【分析】先将抛物线y=x2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1，‎ ‎∴平移后的函数解析式是y=（x+2）2+1．‎ 顶点坐标是（﹣2，1）．对称轴是直线x=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设=．‎ ‎（1）=　　（用向量表示）；‎ ‎（2）设=，在图中求作．‎ ‎（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）‎ ‎【分析】（1）由DE∥BC推出AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，推出DE=BC，由=，推出=；‎ ‎（2）作△ABC的中线AF，结论：就是所要求作的向量；‎ ‎【解答】解：（1）如图设G是重心，作中线AF．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=．‎ 故答案为 ‎（2）作△ABC的中线AF，‎ 结论：就是所要求作的向量．‎ ‎【点评】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．‎ ‎（1）当=时，求的值；‎ ‎（2）联结BD交EF于点M，求证：MG•ME=MF•MH．‎ ‎【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可．‎ ‎【解答】（1）解：∵=，‎ ‎∴． ‎ ‎∵□ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴△CFH∽△DFG． ‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎（2）∵□ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴． ‎ ‎∵□ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴． ‎ ‎∴． ‎ ‎∴MG•ME=MF•MH．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．‎ ‎（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；‎ ‎（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）‎ ‎【分析】（1）延长ED交BC延长线于点H，则∠CHD=90°，Rt△CDH中求得CH=CDcos∠DCH=2×=3、DH=CD=；‎ ‎（2）作EF⊥AB，可得EH=BF=1.5+、EF=BH=BC+CH=6，根据AF=EFtan∠AEF≈4.5、AB=AF+BF可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）延长ED交射线BC于点H．‎ 由题意得DH⊥BC．‎ 在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：．‎ ‎∴∠DCH=30°．‎ ‎∴CD=2DH．‎ ‎∵CD=2，‎ ‎∴DH=，CH=3．‎ 答：点D的铅垂高度是米．‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB于F．‎ 由题意得，∠AEF即为点E观察点A时的仰角，‎ ‎∴∠AEF=37°．‎ ‎∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，‎ ‎∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°．‎ ‎∴四边形FBHE为矩形．‎ ‎∴EF=BH=BC+CH=6．‎ FB=EH=ED+DH=1.5+．‎ 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5．‎ ‎∴AB=AF+FB=6+≈6+1.73≈7.7．‎ 答：旗杆AB的高度约为7.7米．‎ ‎【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥‎ AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF•FC=FB•DF．‎ ‎（1）求证：BD⊥AC；‎ ‎（2）联结AF，求证：AF•BE=BC•EF．‎ ‎【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFB∽△DFC，再根据相似三角形的性质解答即可；‎ ‎（2）由△EFB∽△DFC得出∠ABD=∠ACE，进而判断△AEC∽△FEB，再利用相似三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵EF•FC=FB•DF，‎ ‎∴．‎ ‎∵∠EFB=∠DFC，‎ ‎∴△EFB∽△DFC．‎ ‎∴∠FEB=∠FDC．‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠FEB=90°．‎ ‎∴∠FDC=90°．‎ ‎∴BD⊥AC．‎ ‎（2）∵△EFB∽△DFC，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE．‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠FEB=∠AEC=90°．‎ ‎∴△AEC∽△FEB．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵∠AEC=∠FEB=90°，‎ ‎∴△AEF∽△CEB．‎ ‎∴，‎ ‎∴AF•BE=BC•EF．‎ ‎【点评】考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的对应边比值相等的性质解答，‎ ‎　‎ ‎24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）将点（1，0），B（5，0）代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来，再证明△CPA∽△CBP，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP，然后过P作PH⊥x轴于H，接下来，由△PCH为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而可得到点P的坐标，然后由tan∠CPA=tan∠CBP=求解即可；‎ ‎（3）过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．当点E在M左侧，则∠BAM=‎ ‎∠AME．然后证明△AEM∽△BMA，依据相似三角形的性质可求得ME的长，从而可得到点E的坐标；当点E在M右侧时，记为点E′，然后由点E′与E关于直线AN对称求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5．‎ ‎（2）∵A（1，0），B（5，0），‎ ‎∴OA=1，AB=4．‎ ‎∵AC=AB且点C在点A的左侧，‎ ‎∴AC=4．‎ ‎∴CB=CA+AB=8．‎ ‎∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，‎ ‎∴=．‎ ‎∴CP=4．‎ 又∵∠PCB是公共角，‎ ‎∴△CPA∽△CBP．‎ ‎∴∠CPA=∠CBP．‎ 过P作PH⊥x轴于H．‎ ‎∵OC=OD=3，∠DOC=90°，‎ ‎∴∠DCO=45°．‎ ‎∴∠PCH=45°‎ ‎∴PH=CH=CP=4，‎ ‎∴H（﹣7，0），BH=12．‎ ‎∴P（﹣7，﹣4）．‎ ‎∴tan∠CBP==，tan∠CPA=．‎ ‎（3）∵抛物线的顶点是M（3，﹣4），‎ 又∵P（﹣7，﹣4），‎ ‎∴PM∥x轴．‎ 当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME．‎ 过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．‎ ‎∵∠AEM=∠AMB，‎ ‎∴△AEM∽△BMA．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴ME=5，‎ ‎∴E（﹣2，﹣4）．‎ 当点E在M右侧时，记为点E′，‎ ‎∵∠AE′N=∠AEN，‎ ‎∴点E′与E 关于直线AN对称，则E′（4，﹣4）．‎ 综上所述，E的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△AEM∽△BMA是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．‎ ‎（1）求证：△EFG∽△AEG；‎ ‎（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；‎ ‎（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．‎ ‎【分析】（1）先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；‎ ‎（2）作EH⊥AF于点H，如图1，利用勾股定理计算出AB=2，利用△EFG∽△AEG得到==，再证明Rt△AEF∽Rt△ACB得到==，所以===，则EG=2x，AG=4x，AF=3x，EF=x，AE=x，接着•利用相似比表示出EH=x，AH=x，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用CF=4﹣3x可确定x的范围；‎ ‎（3）先表示CG=4x﹣4，GH=x，讨论：当ED=EF=x时，如图1，则BD=DE=‎ x，所以DC=2﹣x；当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM=EF=x，证明△DEM∽△BAC，利用相似比表示DE=x，则BD=DE=x，所以CD=2﹣x；当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，证明△NEF∽△CAB，利用相似比表示出EN=x，则DE=2EN=x，所以BD=DE=x，CD=2﹣x，然后利用△GCD∽△GHE，根据相似比得到关于x的方程，再分别解方程求出定义的x的值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵ED=BD，‎ ‎∴∠B=∠2，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠B+∠A=90°．‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴∠BEF=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠A=∠2，‎ ‎∵∠EGF=∠AGE，‎ ‎∴△EFG∽△AEG；‎ ‎（2）解：作EH⊥AF于点H，如图1，在Rt△ABC中，AB==2，‎ ‎∵△EFG∽△AEG，‎ ‎∴==，‎ ‎∵∠EAF=∠CAB，‎ ‎∴Rt△AEF∽Rt△ACB，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴===，‎ ‎∴EG=2x，AG=4x，‎ ‎∴AF=AG﹣FG=3x，‎ ‎∴EF=x，AE=x，‎ ‎∵EH∥BC，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴EH=x，AH=x，‎ ‎∴y=FG•EH=•x•x=x2（0＜x≤），‎ ‎（3）解：CG=AG﹣AC=4x﹣4，GH=AG﹣AH=4x﹣x=x，‎ 当ED=EF=x时，如图1，则BD=DE=x，‎ ‎∴DC=2﹣x，‎ ‎∵CD∥EH，‎ ‎∴△GCD∽△GHE，‎ ‎∴=，即（2﹣x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=；‎ 当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM=EF=x，‎ ‎∵∠DEM=∠A，‎ ‎∴△DEM∽△BAC，‎ ‎∴=，即=，解得DE=x，‎ ‎∴BD=DE=x，‎ ‎∴CD=2﹣x，‎ ‎∵CD∥EH，‎ ‎∴△GCD∽△GHE，‎ ‎∴=，即（2﹣x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=；‎ 当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，‎ ‎∵∠NEF=∠A，‎ ‎∴△NEF∽△CAB，‎ ‎∴=，即=，解得EN=x，‎ ‎∴DE=2EN=x，‎ ‎∴BD=DE=x，‎ ‎∴CD=2﹣x，‎ ‎∵CD∥EH，‎ ‎∴△GCD∽△GHE，‎ ‎∴=，即（2﹣x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=；‎ 综上所述，FG的长为或或．‎ ‎【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎