浙江省金华市中考数学试题及解析

浙江省金华市中考数学试题及解析

‎2015年浙江省金华市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分。‎ ‎1．（3分）（2015•金华）计算（a2）3的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a5‎ B．‎ a6‎ C．‎ a8‎ D．‎ ‎3a2‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•金华）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=﹣2‎ B．‎ x≠2‎ C．‎ x＞﹣2‎ D．‎ x≠﹣2‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•金华）点P（4，3）所在的象限是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限 D．‎ 第四象限 ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•金华）已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎55°‎ B．‎ ‎65°‎ C．‎ ‎145°‎ D．‎ ‎165°‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎﹣4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•金华）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 点A B．‎ 点B C．‎ 点C D．‎ 点D ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•金华）如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣‎ ‎（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎16米 B．‎ 米 C．‎ ‎16米 D．‎ 米 ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 如图1，展开后测得∠1=∠2‎ ‎　‎ B．‎ 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4‎ ‎　‎ C．‎ 如图3，测得∠1=∠2‎ ‎　‎ D．‎ 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：本题有6小题，每小题4分，共24分。‎ ‎11．（4分）（2015•金华）实数﹣3的相反数是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•金华）数据6，5，7，7，9的众数是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•金华）已知a+b=3，a﹣b=5，则代数式a2﹣b2的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2015•金华）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″．‎ ‎（1）小床这样设计应用的数学原理是　　　　　　．‎ ‎（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。‎ ‎17．（6分）（2015•金华）计算：．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2015•金华）解不等式组．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2015•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．‎ ‎（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．‎ ‎（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•金华）小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的总人数是多少？‎ ‎（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．‎ ‎（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•金华）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：DE=AB．‎ ‎（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•金华）小慧和小聪沿图1中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系．试结合图中信息回答：‎ ‎（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？‎ ‎（2）试求线段AB、GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．‎ ‎（3）如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．‎ ‎（1）蜘蛛在顶点A′处．‎ ‎①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．‎ ‎②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．‎ ‎（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•金华）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．‎ ‎（1）求a、c的值．‎ ‎（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．‎ ‎（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年浙江省金华市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分。‎ ‎1．（3分）（2015•金华）计算（a2）3的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a5‎ B．‎ a6‎ C．‎ a8‎ D．‎ ‎3a2‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 分析：‎ 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．‎ 解答：‎ 解：（a2）3=a6．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•金华）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=﹣2‎ B．‎ x≠2‎ C．‎ x＞﹣2‎ D．‎ x≠﹣2‎ 考点：‎ 分式有意义的条件．菁优网版权所有 分析：‎ 根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得x+2≠0，据此求出x的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：∵分式有意义，‎ ‎∴x+2≠0，‎ ‎∴x≠﹣2，‎ 即x的取值应满足：x≠﹣2．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•金华）点P（4，3）所在的象限是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限 D．‎ 第四象限 考点：‎ 点的坐标．菁优网版权所有 分析：‎ 根据点在第一象限的坐标特点解答即可．‎ 解答：‎ 解：因为点P（4，3）的横坐标是正数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第一象限．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•金华）已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎55°‎ B．‎ ‎65°‎ C．‎ ‎145°‎ D．‎ ‎165°‎ 考点：‎ 余角和补角．菁优网版权所有 分析：‎ 根据互补即两角的和为180°，由此即可得出∠α的补角度数．‎ 解答：‎ 解：∠α的补角=180°﹣35°=145°．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了补角的知识，掌握互为补角的两角之和为180度是关键，比较简单．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎﹣4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 根与系数的关系．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据根与系数的关系求解．‎ 解答：‎ 解：x1•x2=﹣3．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•金华）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 点A B．‎ 点B C．‎ 点C D．‎ 点D 考点：‎ 实数与数轴；估算无理数的大小．菁优网版权所有 分析：‎ 先估算出≈1.732，所以﹣≈﹣1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答．‎ 解答：‎ 解：∵≈1.732，‎ ‎∴﹣≈﹣1.732，‎ ‎∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，‎ ‎∴与数﹣表示的点最接近的是点B．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•金华）如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 几何概率．菁优网版权所有 分析：‎ 利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．‎ 解答：‎ 解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；‎ B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；‎ C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；‎ D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，‎ ‎∵＞＞＞，‎ ‎∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎16米 B．‎ 米 C．‎ ‎16米 D．‎ 米 考点：‎ 二次函数的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．‎ 解答：‎ 解：∵AC⊥x轴，OA=10米，‎ ‎∴点C的横坐标为﹣10，‎ 当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，‎ ‎∴C（﹣10，﹣），‎ ‎∴桥面离水面的高度AC为m．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 如图1，展开后测得∠1=∠2‎ ‎　‎ B．‎ 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4‎ ‎　‎ C．‎ 如图3，测得∠1=∠2‎ ‎　‎ D．‎ 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 考点：‎ 平行线的判定；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 分析：‎ 根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．‎ 解答：‎ 解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；‎ B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，‎ ‎∴a∥b（内错角相等，两直线平行），‎ 故正确；‎ C、测得∠1=∠2，‎ ‎∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，‎ ‎∴不一定能判定两直线平行，故错误；‎ D、在△AOB和△COD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△COD，‎ ‎∴∠CAO=∠DBO，‎ ‎∴a∥b（内错角相等，两直线平行），‎ 故正确．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 正多边形和圆．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连接AC、BD、OF，，‎ 设⊙O的半径是r，‎ 则OF=r，‎ ‎∵AO是∠EAF的平分线，‎ ‎∴∠OAF=60°÷2=30°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴∠OFA=∠OAF=30°，‎ ‎∴COF=30°+30°=60°，‎ ‎∴FI=r•sin60°=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∵AO=2OI，‎ ‎∴OI=，CI=r﹣=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 即则的值是．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题有6小题，每小题4分，共24分。‎ ‎11．（4分）（2015•金华）实数﹣3的相反数是　3　．‎ 考点：‎ 实数的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ 解答：‎ 解：实数﹣3的相反数是3，‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2015•金华）数据6，5，7，7，9的众数是　7　．‎ 考点：‎ 众数．菁优网版权所有 分析：‎ 根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．‎ 解答：‎ 解：数字7出现了2次，为出现次数最多的数，故众数为7，‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题考查了众数的概念．众数是数据中出现次数最多的数．众数不唯一．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•金华）已知a+b=3，a﹣b=5，则代数式a2﹣b2的值是　15　．‎ 考点：‎ 平方差公式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：∵a+b=3，a﹣b=5，‎ ‎∴原式=（a+b）（a﹣b）=15，‎ 故答案为：15‎ 点评：‎ 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是　5　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ 由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．‎ 解答：‎ 解：∵l3∥l6，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∴△ABC∽△AEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴EF=5．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　（12，）　．‎ 考点：‎ 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 分析：‎ 首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y=（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM===，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，‎ ‎∵点D的坐标为（6，8），‎ ‎∴OD==10，‎ ‎∵四边形OBCD是菱形，‎ ‎∴OB=OD=10，‎ ‎∴点B的坐标为：（10，0），‎ ‎∵AB=AD，即A是BD的中点，‎ ‎∴点A的坐标为：（8，4），‎ ‎∵点A在反比例函数y=上，‎ ‎∴k=xy=8×4=32，‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴∠DOM=∠FBE，‎ ‎∴tan∠FBE=tan∠DOM===，‎ 设EF=4a，BE=3a，‎ 则点F的坐标为：（10+3a，4a），‎ ‎∵点F在反比例函数y=上，‎ ‎∴4a（10+3a）=32，‎ 即3a2+10a﹣8=0，‎ 解得：a1=，a2=﹣4（舍去），‎ ‎∴点F的坐标为：（12，）．‎ 故答案为：（12，）．‎ 点评：‎ 此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE=tan∠DOM===，从而得到方程4a（10+3a）=32是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2015•金华）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″．‎ ‎（1）小床这样设计应用的数学原理是　三角形具有稳定性　．‎ ‎（2）若AB：BC=1：4，则tan∠CAD的值是　　．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）直接利用三角形的稳定性得出答案；‎ ‎（2）根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理表示出DC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；‎ 故答案为：三角形具有稳定性；‎ ‎（2）∵AB：BC=1：4，‎ ‎∴设AB=x，DC=y，则BC=4x，C″D″=y，‎ 由图形可得：BC″=4x，则AC″=3x，AD=AD″=3x+y，‎ 故AC2+DC2=AD2，即（5x）2+y2=（3x+y）2，‎ 解得：y=x，‎ 则tan∠CAD的值是：==．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了翻折变换以及解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出AC，CD的长是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。‎ ‎17．（6分）（2015•金华）计算：．‎ 考点：‎ 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 分析：‎ 首先根据算术平方根、负整数指数幂的运算方法，以及30°的三角函数值，还有绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和加法结合律，求出算式 的值是多少即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎=2‎ ‎=2‎ ‎=（2﹣2）‎ ‎=0+1‎ ‎=1‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了算术平方根的含义以及求法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．‎ ‎（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．‎ ‎（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2015•金华）解不等式组．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得：x＜3，‎ 由②得：x≥，‎ 则不等式组的解集为≤x＜3．‎ 点评：‎ 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2015•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．‎ ‎（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．‎ ‎（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．‎ 考点：‎ 作图-旋转变换．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，所以AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，据此在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标即可．‎ ‎（2）根据点F落在x轴的上方，可得EF＜AO；然后根据EF=OB，判断出OB＜3，即可求出一个符合条件的点B的坐标是多少．‎ 解答：‎ 解：（1）∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，‎ ‎∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，‎ ‎∴△AEF在图中表示为：‎ ‎∵AO⊥AE，AO=AE，‎ ‎∴点E的坐标是（3，3），‎ ‎∵EF=OB=4，‎ ‎∴点F的坐标是（3，﹣1）．‎ ‎（2）∵点F落在x轴的上方，‎ ‎∴EF＜AO，‎ 又∵EF=OB，‎ ‎∴OB＜AO，AO=3，‎ ‎∴OB＜3，‎ ‎∴一个符合条件的点B的坐标是（﹣2，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了作图﹣旋转变换问题，解答此题的关键是要熟练掌握旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•金华）小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的总人数是多少？‎ ‎（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．‎ ‎（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据B类人数是19，所占的百分比是38%，据此即可求得调查的总人数；‎ ‎（2）利用360°乘以对应的百分比即可求解；‎ ‎（3）求得路程是6km时所用的时间，根据百分比的意义可求得路程不超过6km的人数所占的百分比．‎ 解答：‎ 解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；‎ ‎（2）A组所占圆心角的度数是：360×=108°，‎ C组的人数是：50﹣15﹣19﹣4=12．‎ ‎；‎ ‎（3）路程是6km时所用的时间是：6÷12=0.5（小时）=30（分钟），‎ 则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是：×100%=92%．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•金华）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：DE=AB．‎ ‎（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；‎ ‎（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAD=∠AFB，‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ 在△ADE和△FAB中，，‎ ‎∴△ADE≌△FAB（AAS），‎ ‎∴DE=AB；‎ ‎（2）解：连接DF，如图所示：‎ 在△DCF和△ABF中，，‎ ‎∴△DCF≌△ABF（SAS），‎ ‎∴DF=AF，‎ ‎∵AF=AD，‎ ‎∴DF=AF=AD，‎ ‎∴△ADF是等边三角形，‎ ‎∴∠DAE=60°，‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∵△ADE≌△FAB，‎ ‎∴AE=BF=1，‎ ‎∴DE=AE=，‎ ‎∴的长==．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•金华）小慧和小聪沿图1中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系．试结合图中信息回答：‎ ‎（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？‎ ‎（2）试求线段AB、GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．‎ ‎（3）如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据时间=路程÷速度，可得小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时），从10点往前推2.5小时，即可解答；‎ ‎（2）利用得到待定系数法求GH的解析式，当s=30时，求出t的值，即可确定点B的坐标；‎ ‎（3）根据50÷30=（小时）=1小时40分钟，确定当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x﹣）=50，解得：x=1，10+1=11点，即可解答．‎ 解答：‎ 解：（1）小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时），‎ ‎∵上午10：00小聪到达宾馆，‎ ‎∴小聪上午7点30分从飞瀑出发．‎ ‎（2）3﹣2.5=0.5，‎ ‎∴点G的坐标为（0.5，50），‎ 设GH的解析式为s=kt+b，‎ 把G（0.5，50），H（3，0）代入得；，‎ 解得：，‎ ‎∴s=﹣20t+60，‎ 当s=30时，t=1.5，‎ ‎∴B点的坐标为（1.5，30），‎ 点B的实际意义是当小慧出发1.5小时时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30km．‎ ‎（3）50÷30=（小时）=1小时40分钟，12﹣，‎ ‎∴当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，‎ 而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，‎ 设小聪返回x小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x﹣）=50，‎ 解得：x=1，‎ ‎10+1=11=11点，‎ ‎∴小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他11点遇见小慧．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．‎ ‎（1）蜘蛛在顶点A′处．‎ ‎①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．‎ ‎②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．‎ ‎（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．‎ 考点：‎ 圆的综合题；几何体的展开图；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；切线的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；‎ ‎②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；‎ ‎（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ==．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．‎ 解答：‎ 解：（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：‎ 线段A′B为最近路线，如图1所示．‎ ‎②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．‎ 在Rt△A′B′C中，‎ ‎∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，‎ ‎∴AC===20．‎ Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．‎ 在Rt△A′C′C中，‎ ‎∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，‎ ‎∴A′C===10．‎ ‎∵＜，‎ ‎∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；‎ ‎（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．‎ ‎∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，‎ ‎∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，‎ 根据勾股定理可得AM===，‎ MB===，‎ ‎∴50≤MP≤．‎ ‎∵⊙M与D′C′相切于点Q，‎ ‎∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，‎ ‎∴PQ==．‎ 当MP=50时，PQ==20；‎ 当MP=时，PQ==55．‎ ‎∴PQ长度的范围是20dm≤PQ≤55dm．‎ 点评：‎ 本题主要考查了两点之间线段最短、点到直线之间垂线段最短、切线的性质、长方体的展开图、勾股定理等知识，把空间图形的最短距离问题转化为到同一平面内最短距离问题是解决（1）②小题的关键，根据PQ=把求PQ的取值范围转化为求MP的取值范围是解决第（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•金华）如图，抛物线y=ax2‎ ‎+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．‎ ‎（1）求a、c的值．‎ ‎（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．‎ ‎（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）先求出A（0，c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得•c•2c=4，解得c=2，接着把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；‎ ‎（2）如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形；‎ ‎（3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2，于是可得Q点坐标为（6，2）；当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102，解方程求出m的值即可得到Q点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，‎ ‎∴A（0，c），则OA=c，‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴OA=OB=OC=c，‎ ‎∴•c•2c=4，解得c=2，‎ ‎∴C（2，0），‎ 把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣；‎ ‎（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得，解得，‎ 则直线AB的解析式为y=x+2，‎ 设F（t，t+2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，‎ ‎∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，‎ 把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，‎ ‎∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，‎ ‎∴F（6，8），‎ ‎∴OF==10，‎ 令y=0，﹣（x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，‎ ‎∴OE=10，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴△OEF为等腰三角形；‎ ‎（3）存在．点Q的位置分两种情形．‎ 情形一：点Q在射线HF上，‎ 当点P在x轴上方时，如图2，‎ ‎∵∠EQP=90°，EP=EP，‎ ‎∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，‎ 而HE=10﹣6=4，‎ ‎∴QH==2，‎ 此时Q点坐标为（6，2）；‎ 当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，‎ 在Rt△PQK中，QK===8，‎ ‎∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，‎ ‎∵∠PKQ=∠QHE=90°，‎ ‎∴△PKQ∽△QHE，‎ ‎∴，∴，解得QH=3，‎ ‎∴Q（6，3）．‎ 情形二、点Q在射线AF上，‎ 当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，‎ ‎∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，‎ 当x=10时，y=x+2=12，∴Q（10，12）．‎ 当QE=OE=10时，如图5，‎ 过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N．‎ 设Q的坐标为为（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，‎ 在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4±，‎ 当x=4+时，如图5，y=x+2=6+，∴Q（4+，6+），‎ 当x=4﹣时，如图5，y=x+2=6﹣，∴Q（4﹣，6﹣），‎ 综上所述，Q点的坐标为（6，2）或（6，3）或（10，12）或（4+，6+）或（4﹣，6﹣），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数平移的规律和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式．‎ ‎　‎