- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
中考数学 三角形课标解读典例诠释复习1
第十单元 三角形 第一节 三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 三角形 理解三角形及其 内角、外角、中线、 高线、角平分线等 概念;了解三角形 的稳定性;了解三 角形重心的概念 能利用三角形三边关 系解决有关简单问题; 能利用三角形内角和 定理及其推论解决有 关简单问题 运用三角形三边关 系的有关内容解决 有关问题;运用三角 形内角和定理的有 关内容解决有关问 题 ★ 三角形中 位线 理解三角形中位 线的概念 能利用三角形中位线 定理解决有关简单问 题 运用三角形中位线 的有关内容解决有 关问题 ★★ 知识要点 1.三角形的定义:有三条 相接所得到的图形叫做三角形. 2.三角形的分类 (1)按角分类:可分为 三角形, 三角形, 三角形. (2)按边分类:可分为不等边三角形、等腰三角形,等腰三角形可分为 三角形 和 三角形. 3.三角形中的主要线段 (1)三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角 形的三条中线交于一点,此交点叫做三角形的 . (2)三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交 点之间的线段叫做三角形的角平分线. (3)三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线,简称三角形的高. (4)三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理:三角形的中位线 ,且 . 4.三角形的边角关系 边与边的关系: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的两边之差小于第三边. 角与角的关系: (1)定理:三角形三个内角的和等于 180°; (2)推论 1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; (3)推论 2:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 边与角的关系: 在一个三角形中,等边对等角,等角对等边. 典例诠释 考点一 三角形三边关系 例 1 (2016·石景山二模)从长度分别是 2,3,4 的三条线段中随机抽出一条,与长为 1,3 的两条线段首尾顺次相接,能构成三角形的概率是( ) A.1 B. C. D.0 【答案】 C 【名师点评】 此题考查了三角形的三边关系,两边长之差的绝对值<第三边长<两边长之和, 并与概率结合. 考点二 与三角形有关的角 例 2 (2016·顺义一模)如图 1-10-1,在△ABC 中,∠A=75°,直线 DE 分别与 AB,AC 交于 D,E 两点,则∠1+∠2= . 图 1-10-1 【答案】 255° 【名师点评】 此题可以用三角形的外角知识解决,也可以用四边形的内角和知识解决,不 管用哪种方法,要把∠1+∠2 作为一个整体来对待. 例 3 (2016·丰台二模)将一副三角板按图 1-10-2 中方式叠放,则∠α等于( ) A.90° B.75° C.60° D.45° 图 1-10-2 【答案】 B 【名师点评】 要熟悉一副三角板各内角的度数,通过三角形的内角和或外角知识解答. 例 4 (2016·石景山二模)如图 1-10-3 为 4×4 的正方形网格,图中的线段均为格点线段(线 段的端点为格点),则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的度数为 . 图 1-10-3 【答案】 225° 【名师点评】 易知∠3=45°,其他角度不易求出,利用全等知识和等量代换,容易找到∠ 2 和∠4 互余,∠1 和∠5 互余,问题得解. 考点三 三角形中的重要线段 例 5 (2016·朝阳一模)某地需要开辟一条隧道,隧道 AB 的长度无法直接测量.如图 1-10-4 所示,在地面上取一点 C,使 C 到 A,B 两点均可直接到达,测量找到 AC 和 BC 的中点 D,E, 测得 DE 的长为 1 100 m,则隧道 AB 的长度为( ) 图 1-10-4 A.3 300 m B.2 200 m C.1 100 m D.550 m 【答案】 B 例 6 (2016·石景山二模)如图 1-10-5,在△ABC 中,∠C=90°,∠CAB=40°.按以下步骤 作图:①以点 A 为圆心,小于 AC 的长为半径画弧,分别交 AB,AC 于点 E,F;②分别以点 E, F 为圆心,大于 EF 的长为半径画弧,两弧相交于点 G;③作射线 AG 交 BC 边于点 D,则∠ADC 的度数为 . 图 1-10-5 【答案】 70° 【名师点评】 此题考查尺规作一个角的平分线,再利用三角形内角和知识解决. 基础精练 1.(2016·丰台一模)如图 1-10-6,A,B 两点被池塘隔开,在 AB 外选一点 C,使点 C 能直接 到达点 A 和点 B,连接 AC 和 BC,并分别找出 AC 和 BC 的中点 M,N. 如果测得 MN= 20 m, 那么 A,B 两点间的距离是( ) 图 1-10-6 A.10 m B.20 m C.35 m D.40 m 【答案】 D 2.(2016·顺义一模)如图 1-10-7,为测量池塘岸边 A,B 两点之间的距离,小亮在池塘的一 侧选取一点 O,测得 OA,OB 的中点 D,E 之间的距离是 14 米,则 A,B 两点之间的距离是 ( ) 图 1-10-7 A.18 米 B.24 米 C.28 米 D.30 米 【答案】 C 3.(2016·昌平二模)如图 1-10-8,小慧与小聪玩跷跷板,跷跷板支架 EF 的高为 0.4 米,E 是 AB 的中点,那么小慧能将小聪翘起的最大高度 BC 等于 米. 图 1-10-8 【答案】 0.8 4.(2016·房山二模)如图 1-10-9,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC 的 三个顶点均在格点上,则△ABC 的面积为 . 图 1-10-9 【答案】 2.5 5.(2014· 泉 州 ) 如 图 1-10-10 , 在 △ ABC 中 , ∠ C=40° , CA=CB , 则 △ ABC 的 外 角 ∠ ABD= . 【答案】 110° 图 1-10-10 6.如图 1-10-11,D 为△ABC 内一点,CD 平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若 AC=5,BC=3, 则 BD 的长为( ) 图 1-10-11 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】 A 7.(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为 3 和 8,则该三角形第三边的长可能是( ) A.5 B.10 C.11 D.12 【答案】 B 真题演练 (2015·北京)如图 1-10-12,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若 测得 AM 的长为 1.2 km,则 M,C 两点间的距离为( ) 图 1-10-12 A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 【答案】 D 第二节 等腰三角形和直角三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 等腰三角 形和等边 三角形 了解等腰三 角形和等边 三角形的概 念 掌握等腰三角形和等边三角形的性 质定理与判定定理;尺规作图(利用 基本作图作三角形):已知底边及底 边上的高线作等腰三角形;能利用 等腰三角形和等边三角形的性质定 理与判定定理解决有关简单问题 运用等腰三 角形和等边 三角形的有 关内容解决 有关问题 ★★★★ 直角三角 形 了解直角三 角形的概念 掌握判定直角三角形全等的“斜 边、直角边”定理;尺规作图(利用 基本作图作三角形):已知一直角边 和斜边作直角三角形;掌握直角三 角形的性质定理;掌握有两个角互 余的三角形是直角三角形;能利用 直角三角形的性质与判定解决有关 简单问题 运用直角三 角形的有关 内容解决有 关问题 ★★★★ 知识要点 等腰三角形 1.定义:有 相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底. 2.性质 (1)等腰三角形是轴对称图形,有 条对称轴; (2)等腰三角形的两个底角相等(简称: ); (3)等腰三角形顶角平分线、底边上的 、底边上的高互相重合(简称: ). 3.判定 (1)定义; (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称: ). 4.等边三角形 (1)定义: 三角形是等边三角形; (2)等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴; (3)性质:等边三角形的各角都 ,并且每一个角都等于 . (4)判定: ①定义; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形. 直角三角形 1.定义:有一个角是 的三角形叫做直角三角形. 2.性质:两个锐角 ;斜边上的中线等于 ; 如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于 . 3.判定:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 典例诠释 考点一 等腰三角形中的多解问题 例 1 如果等腰三角形的两边长分别为 4 和 7,则三角形的周长为 . 【答案】 15 或 18 【名师点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边 的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答, 这点非常重要,也是解题的关键. 例 2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则顶角的度数为( ) A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120° 【答案】 D 【名师点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位 置关系是解题的关键,本题易出现的错误是只求出 120°一种情况,把三角形简单的认为是 锐角三角形. 考点二 等腰三角形和直角三角形的性质及判定 例 3 (2016·门头沟一模)如图 1-10-13,直线 m∥n,点 A 在直线 m 上,点 B,C 在直线 n 上,AB=BC,∠1=70°,CD⊥AB 于 D,那么∠2 等于( ) 图 1-10-13 A.20° B.30° C.32° D.25° 【答案】 A 【名师点评】通过平行线的知识可知∠1=∠ACB=70°,再利用等腰三角形的性质和直角三角 形的两个锐角互余即可解决. 例 4 (2016·海淀一模)如图 1-10-14,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,DE 为 AC 边上的中线.求证:∠BAD=∠EDC. 图 1-10-14 【证明】 如图 1-10-15. 图 1-10-15 ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠BAD+∠DAC=90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC=90°, ∴ ∠DAC+∠C=90°,∴ ∠BAD=∠C. ∵ DE 为 AC 边上的中线,∴ DE=EC. ∴ ∠EDC=∠C,∴ ∠BAD=∠EDC. 【名师点评】 此题考查了“双垂直”的基本图形,易知∠BAD=∠C,再利用“直角三角形 中斜边的中线等于斜边的一半”得到等腰△EDC,从而问题得解. 例 5 (2016·海淀一模)如图 1-10-16,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,AE⊥BE 于点 E,且 BE=BC.求证:AB 平分∠EAD. 图 1-10-16 【证明】 ∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,∴ BD=BC,AD⊥BC. ∵ BE=BC,∴ BD=BE. ∵ AE⊥BE 于点 E, ∴ 点 B 在∠EAD 的平分线上,∴ AB 平分∠EAD. 【名师点评】 此题考查了等腰三角形的“三线合一”性质,可得到 BD=BE=BC,再利用直 角三角形全等的判定定理(HL)即可. 基础精练 1.(2016·丰台一模)如图 1-10-17,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,BE⊥AC 于点 E, ∠BAD =∠CBE.求证:AB=AC. 图 1-10-17 【证明】 ∵ 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高线,BE⊥AC 于点 E, ∴ ∠ADB=∠BEC=90°. ∴ ∠ABD+∠BAD=∠C+∠CBE=90°. 又∵ ∠BAD=∠CBE,∴ ∠ABD=∠C. ∴ AB=AC. 2.(2016·怀柔一模)如图 1-10-18,在△ABC 中,AB=4,AC=3,AD,AE 分别是其角平分线和 中线,过点 C 作 CG⊥AD 于 F,交 AB 于 G,连接 EF,则线段 EF 的长为( ) 图 1-10-18 A. B.1 C. D.7 【答案】 A 3.(2016·怀柔一模)如图 1-10-19,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB 边的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E,垂足为 D.求证:∠CAB=∠AED. 图 1-10-19 【证明】 ∵ DE 是 AB 边的垂直平分线, ∴ AE=BE,∠ADE=90°,∴ ∠EAB=∠B. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∴ ∠CAB+∠B=90°. 在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°, ∴ ∠AED+∠EAB=90°,∴ ∠CAB=∠AED. 4.(2016·门头沟一模)如图 1-10-20,△ABC 是等边三角形,BD 平分∠ABC,延长 BC 到 E, 使得 CE=CD.求证:BD=DE. 图 1-10-20 【证明】 ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC=∠ACB=60°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC=∠ABC=30°. ∵ CE=CD,∴ ∠CDE=∠CED. 又∵ ∠ACB=60°,∠DCB=∠CDE+∠CED, ∴ ∠DEC=∠ACB=30°.∴ ∠DBC=∠DEC,∴ BD=DE. 5.(2016·平谷一模)如图 1-10-21,在△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 上一点,DE⊥AB 于 E, FD⊥BC 于 D,G 是 FC 的中点,连接 GD.求证:GD⊥DE. 图 1-10-21 【证明】 如图 1-10-22. 图 1-10-22 ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C. ∵ DE⊥AB,FD⊥BC,∴ ∠BED=∠FDC=90°.∴ ∠1=∠3. ∵ G 是直角三角形 FDC 的斜边中点,∴ GD=GF.∴ ∠2=∠3.∴ ∠1=∠2. ∵ ∠FDC=∠2+∠4=90°,∴ ∠1+∠4=90°.∴ ∠2+∠FDE=90°.∴ GD⊥DE. 6.(2016·石景山一模)如图 1-10-23,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的中线, DE⊥AB 于点 D,交 AC 于点 E.求证:∠AED=∠DCB. 图 1-10-23 【证明】 ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的中线, ∴ CD=AB=DB,∴ ∠B=∠DCB. ∵ DE⊥AB 于点 D,∴ ∠A+∠AED=90°. ∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠AED.∴ ∠AED=∠DCB. 7.(2016·东城二模)如图 1-10-24,在等腰△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD 等于( ) 图 1-10-24 A.18° B.36° C.54° D.64° 【答案】 C 8.某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm,则它的周长为( ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.12 cm 或 15 cm 【答案】 C 9.若等腰三角形中有一个角等于 50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.50° B.80° C.65°或 50° D.50°或 80° 【答案】 D 10.已知:如图 1-10-25,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线相交于 F,过 F 作 DE∥BC, 交 AB 于 D,交 AC 于 E,那么下列结论:①△BDF,△CEF 都是等腰三角形;②DE=DB+CE;③ AD+DE+AE=AB+AC;④BF=CF.正确的有( ) 图 1-10-25 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】 C 11.(2016·顺义一模)我们把过三角形的一个顶点,且能将这个三角形分割成两个等腰三角 形的线段称为该三角形的“等腰线段”. 例如:如图 1-10-26,在 Rt△ABC 中,取 AB 边的中点 D,线段 CD 就是△ABC 的“等腰线段”. (1) 请分别画出如图 1-10-27 所示三角形的“等腰线段”; 图 1-10-26 图 1-10-27 (2)如图 1-10-28,在△EFG 中,∠G=2∠F,若△EFG 有“等腰线段”,请直接写出∠F 的取 值. 图 1-10-28 【解】 (1)如图 1-10-29 所示. 图 1-10-29 (2)36°和 45°. 12.如图 1-10-30,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,将线段 CB 绕点 C 旋转 60°得到 CB′, ∠ACB 的平分线 CD 交直线 AB′于点 D,连接 DB,在射线 DB′上截取 DM=DC. (1)在图 1-10-30①中证明:MB′=DB; (2)若 AC=,分别在图 1-10-30①和②中,求出 AB′的长(直接写出结果). ① ② 图 1-10-30 (1)【证明】 如图 1-10-31,连接 CM. 图 1-10-31 由旋转可知:CB′=CB,∠BCB′=60°. ∵ AC=BC,∠ACB=90°, ∴ AC=CB′,∠ACB′=150°.∴ ∠CAB′=∠CB′A=15°. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠BCD=45°.∴ ∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°. ∵ DM=DC,∴ △CDM 是等边三角形, ∴ CM=CD,∠DCM=60°. ∴ ∠B′CM=∠ACB′-∠ACD-∠DCM=45°. ∴ ∠B′CM=∠BCD. 在△CMB′和△CDB 中, ∴ △CMB′≌△CDB(SAS),∴ MB′=DB. (2)【解】 在图 1-10-30①中,AB′=3+,在图 1-10-30②中,AB′=3-. 真题演练 (2015·北京)如图 1-10-31,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.求 证:∠CBE=∠BAD. 图 1-10-31 【证明】 ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C. 又∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ AD⊥BC, ∴ ∠BAD+∠ABC=90°. ∵ BE⊥AC,∴ ∠CBE+∠C=90°,∴ ∠CBE=∠BAD. 第三节 全等三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 全等三角 形 理解全 等三角 形的概 念 能识别全等三角形中的对应边、对应角;掌握 三个基本事实:三边分别相等的两个三角形全 等,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等, 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;掌 握两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等;尺规作图(利用基本作图作三 角形):已知三边、两边及其夹角、两角及其夹 边作三角形;能利用全等三角形的性质与判定 利用全 等三角 形的有 关内容 解决有 关问题 ★★★★ ★ 解决有关简单问题 知识要点 1.全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等形.全等图形的形状和 完全相同. 全等三角形:能够完全重合的两个三角形就是全等三角形. 2.性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.全等三角形对应边上的高线、中线、对应 角的平分线相等. 3.判定 (1)基本事实:三条边对应相等的两个三角形全等(简记为: ). (2)基本事实:两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为: ). (3)基本事实:两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为: ). (4)定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为: ). (5)定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为: ). 4.常见的全等三角形 (1)平移型(如图 1-10-32): 图 1-10-32 (2)翻折型(如图 1-10-33): 图 1-10-33 (3)旋转型(如图 1-10-34): 图 1-10-34 (4)复合型(如图 1-10-35): 图 1-10-35 5.用尺规作三角形 (1)已知三边作三角形:已知线段 a,b,c,如图 1-10-36,求作:△ABC,使 AB=c,AC=b,BC=a. 作法: 图 1-10-36 (2)已知两边及夹角作三角形:已知线段 m,n,∠α,如图 1-10-37,求作:△ABC,使∠A=α, AB=m,AC=n. 作法: 图 1-10-37 (3)已知两角及夹边作三角形:已知线段 m,∠α,∠β,如图 1-10-38,求作:△ABC,使∠ A=α,∠B=β,AB=m. 作法: 图 1-10-38 (4)已知底边及底边上的高线作等腰三角形:已知线段 m,n,如图 1-10-39,求作:等腰三角 形 ABC,使底边 BC=m,底边 BC 边上的高等于 n. 作法: 图 1-10-39 (5)已知一直角边和斜边作直角三角形:已知线段 m,n,如图 1-10-40,求作:直角三角形 ABC,使 BC=m,斜边 AC=n. 图 1-10-40 作法: 典例诠释 考点一 三角形全等及其应用 例 1 如图 1-10-41,已知 E 是 BC 的中点,点 A 在 DE 上,且∠BAE=∠CDE. 求证:AB=CD. 图 1-10-41 【证明】 如图 1-10-42,延长 DE 到 F,使 EF=DE,连接 BF .∵ E 是 BC 的中点,∴ BE=CE. 图 1-10-42 ∵ 在△BEF 和△CED 中, ∴ △BEF≌△CED.∴ ∠F=∠CDE,BF=CD. ∵ ∠BAE=∠CDE,∴ ∠BAE=∠F,∴ AB=BF. 又∵ BF=CD,∴ AB=CD. 【名师点评】 此题要证明 AB=CD,不能通过证明△ABE 和△CED 全等得到,因为根据已知 条件无法证明它们全等,那么可以利用等腰三角形的性质来解题,为此必须把 AB 和 CD 通过 作辅助线转化到一个等腰三角形中. 例 2 (2016·石景山一模)如图 1-10-43,已知 AD=AE,请你添加一个条件 ,使得 △ADC≌△AEB. 图 1-10-4 【答案】 ∠C=∠B 或 AC=AB 等(答案不唯一) 【名师点评】 此题考查两个三角形全等的条件,此题答案不唯一. 例 3 (2016·顺义一模)如图 1-10-44,已知 B,A,E 在同一直线上,AC∥BD 且 AC=BE,∠ ABC=∠D.求证:AB=AD. 图 1-10-44 【证明】 ∵ AC∥BD,∴ ∠BAC=∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中, ∴ △ABC≌△BDE(AAS),∴ AB=BD. 考点二 尺规作图 例 4 (2016·房山二模)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图: 已知:Rt△ABC,∠C=90°(如图 1-10-45). 图 1-10-45 求作:Rt△DEF,使∠DFE=90°,DE=AB,FE = CB. 小芸的作图步骤如下: 如图 1-10-46, 图 1-10-46 (1)作线段 FE=CB; (2)过点 F 作 GF⊥FE 于点 F; (3)以点 E 为圆心,AB 的长为半径作弧,交射线 FG 于点 D,连接 DE. 所以△DEF 即为所求作的直角三角形. 老师说:“小芸的作图步骤正确,且可以得到 DF=AC”. 请回答:得到 DF=AC 的依据是 . 【答案】 全等三角形的对应边相等 【名师点评】 此题考查两个直角三角形全等的判定定理(HL),学生要能通过阅读作图步骤, 找到哪些是已知条件,从而找到两个三角形全等的依据. 基础精练 1.(2016·通州一模)如图 1-10-47,在△ABC 中,AC=BC,BD⊥AC 于点 D,在△ABC 外作∠CAE= ∠CBD,过点 C 作 CE⊥AE 于点 E.如果∠BCE =140°,求∠BAC 的度数. 图 1-10-47 【解】 ∵ BD⊥AC,CE⊥AE,∴ ∠BDC=∠E=90°. ∵ ∠CAE=∠CBD,∴ △BDC∽△AEC,∴ ∠BCD=∠ACE. ∵ ∠BCE=140°,∴ ∠BCD=∠ACE=70°. ∵ AC=BC,∴ ∠BAC=∠ABC=55°. 2.(2016·西城二模)如图 1-10-48,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,且 DC=DB,点 E 在 CD 的 延长线上,且∠EBC=∠ACB.求证:AC=EB. 图 1-10-48 【证明】 ∵ DC=DB,∴ ∠DCB=∠DBC. 在△ACB 和△EBC 中,∴ △ACB≌△EBC,∴ AC=EB. 3.(2016·东城二模)如图 1-10-49,已知∠ABC=90°,分别以 AB 和 BC 为边向外作等边 △ ABD 和等边△BCE,连接 AE,CD.求证:AE=CD. 图 1-10-49 【证明】 如图 1-10-49,∵ △ABD 和△BCE 为等边三角形, ∴ ∠ABD=∠CBE=60°,BA=BD,BC=BE, ∴ ∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC,即∠CBD=∠ABE. 在△CBD 和△EBA 中, ∴ △CBD≌△EBA(SAS),∴ AE=CD. 4.(2016·海淀二模)如图 1-10-50,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在 BC 上,且 BD=AC,过 点 D 作 DE⊥AB 于点 E,过点 B 作 CB 的垂线,交 DE 的延长线于点 F.求证:AB=DF. 图 1-10-50 【证明】 如图 1-10-51. 图 1-10-51 ∵ BF⊥BC,DE⊥AB,∠ACB=90°, ∴ ∠DBF=∠BEF=∠ACB=90°, ∴ ∠1+∠2=90°,∠2+∠F=90°. ∴ ∠1=∠F. 在△ABC 和△DFB 中, ∴ △ABC≌△DFB,∴ AB=DF. 5.(2014 ·顺义一模)如图 1-10-52,在△MNQ 中,MQ≠NQ. 图 1-10-52 (1)请你以 MN 为一边,在 MN 的同侧构造一个与△MNQ 全等的三角形,画出图形,并简要说 明构造的方法; (2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题: 如图 1-10-53,在四边形 ABCD 中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D.求证:CD=AB. 图 1-10-53 (1)【解】 如图 1-10-54①,过点 N 在 MN 的同侧作∠MNR=∠QMN,在 NR 上截取 NP=MQ,连接 MP,则△MNP 即为所求. ① ② 图 1-10-54 (2)【证明】 如图 1-10-54②,延长 BC 到点 E,使 CE=AD,连接 AE. ∵ ∠ACB+∠CAD=180°,∠ACB+∠ACE=180°,∴ ∠CAD=∠ACE. 又∵ AD=CE,AC=CA,∴ △ACD≌△CAE.∴ ∠D=∠E,CD=AE. ∵ ∠B=∠D,∴ ∠B=∠E,∴ AE=AB,∴ CD=AB. 6.(2014·河南)(1)问题发现 如图 1-10-55,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE. 填空:①∠AEB 的度数为 ; 图 1-10-55 ②线段 AD,BE 之间的数量关系是 . (2)拓展探究 如图 1-10-56,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点 A,D,E 在同一 直线上,CM 为△DCE 中 DE 边上的高,连接 BE.请判断∠AEB 的度数及线段 CM,AE,BE 之间 的数量关系,并说明理由. 图 1-10-56 (3)解决问题 如图 1-10-57,在正方形 ABCD 中,CD=.若点 P 满足 PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点 A 到 BP 的距离. 图 1-10-57 【解】 (1)①60;②AD=BE. (2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE. 【理由】∵ △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°, ∴ AC=BC,CD=CE. ∵ ∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE,∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴ ∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. 在等腰直角三角形 DCE 中,CM 为斜边 DE 上的高, ∴ CM=DM=ME,∴ DE=2CM. ∴ AE=DE+AD=2CM+BE. (3)或. 【提示】∵ PD=1,∠BPD=90°, ∴ BP 是以点 D 为圆心,以 1 为半径的⊙D 的切线,点 P 为切点. 第一种情况:如图 1-10-58,过点 A 作 AP 的垂线,交 BP 于点 P′,过点 A 作 AM⊥BP 交 BP 于点 M. 可证△APD≌△AP′B,PD=P′B=1. ∵ CD=,∴ BD=2,BP=, ∴ AM=PP′=(PB-BP′)=. 图 1-10-58 第二种情况如图 1-10-59,可得 AM=PP′=(PB+BP′)=. 图 1-10-59 真题演练 1.(2013·北京)如图 1-10-60,已知 D 是 AC 上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE. 图 1-10-60 【证明】 ∵ DE∥AB,∴ ∠CAB=∠ADE. 在△ABC 与△DAE 中, ∴ △ABC≌△DAE(ASA),∴ BC=AE. 2.(2012·北京)如图 1-10-61,已知点 E,A,C 在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求 证:BC=ED. 图 1-10-61 【证明】 ∵ AB∥CD,∴ ∠BAC=∠ECD. 在△BAC 和△ECD 中, ∴ △BAC≌△ECD(SAS),∴ CB=ED. 第四节 相似三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 相似三角 形 了解相似三角形的性质定 理与判定定理 能利用相似三角形的性质 定理与判定定理解决有关 简单问题 ★★★★ 图形的相 似 了解比例的基本性质、线段 的比、成比例线段;了解黄 金分割;认识图形的相似; 了解相似多边形和相似比 掌握基本事实:两条直线 被一组平行线所截,所得 的对应线段成比例;会利 用图形的相似解决一些简 单的实际问题 ★★★ 知识要点 1.比例线段:对于四条线段 a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等,即=,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例性质: (1)比例的基本性质(这是等积式与比例式互相转化的依据) 若=,则 ad=bc;若=,则=ac(b 为 a,c 的比例中项). 若 ad=bc,且 bd≠0,则=;若=ac,且 bc≠0,则=(b 为 a,c 的比例中项). (2) 合比性质 若=,则=或=. (3)等比性质 如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=. 3.黄金分割:在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC),如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比, 黄金比约为 . 4.基本事实:平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得到的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得到的对应线段成比例. 5.相似图形:形状相同的图形叫相似形;相似三角形:对应角 ,对应边的 比 的两个三角形叫做相似三角形;相似三角形的对应边的比叫做 ,一般用 k 表示. 6.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 如图 1-10-62,∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC. 图 1-10-62 (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.(三边对应成比例,两 三角形相似) (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相 似.(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似) (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相 似.(两角对应相等,两三角形相似) 7.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应边的比相等,对应角相等. (2)相似三角形对应高、 、 的比等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于 . (4)相似三角形面积的比等于 . 8.相似三角形的几种基本图形: (1)如图 1-10-63:称为“平行线型”的相似三角形. 图 1-10-63 (2)如图 1-10-64,其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形. 图 1-10-64 (3)如图 1-10-65:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形. 图 1-10-65 (4)如图 1-10-66,其他类型的相似三角形. 图 1-10-66 典例诠释 考点一 平行线分线段成比例定理的应用 例 1 (2016·平谷一模)如图 1-10-67,在△ABC 中,DE∥BC,AE∶EC=2∶3,DE=4,则 BC 的长为( ) 图 1-10-67 A.10 B.8 C.6 D.5 【答案】 A 【名师点评】 此题通过两个三角形相似,找到对应边之比 DE∶BC=AE∶AC,从而计算出 BC 的长. 例 2 (2016·东城一模)如图 1-10-68,有一池塘,要测池塘两端 A,B 间的距离,可先在平 地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B 的点 C,连接 AC 并延长至 D,使 CD=CA,连接 BC 并延长至 E,使 CE=CB,连接 ED. 若量出 DE=58 米,则 A,B 间的距离为( ) 图 1-10-68 A.29 米 B. 58 米 C.60 米 D.116 米 【答案】 B 考点二 相似三角形的判定和性质的应用 例 3 (2016·西城二模)利用复印机的缩放功能,将原图中边长为 5 cm 的一个等边三角形 放大成边长为 20 cm 的等边三角形,则放大前后的两个三角形的面积比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 【答案】 D 【名师点评】 此题考查两个三角形相似的性质,即相似比的平方=面积比,从而得到答案. 例 4 (2016·东城二模)如图 1-10-69,点 P 在△ABC 的边 AC 上,请你添加一个条件,使得 △ABP∽△ACB,这个条件可以是 . 图 1-10-69 【答案】 ∠ABP=∠C(答案不唯一) 【名师点评】 此题考查两个三角形相似的条件,注意图中隐含有一对公共角∠A,此题答 案不唯一. 考点三 相似三角形的实际应用 例 5 (2016·房山一模)为了估算河的宽度,我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A,再在河的这一边选点 B 和点 C,使得 AB⊥BC,然后再在河岸上选点 E,使得 EC⊥BC,设 BC 与 AE 交于点 D,如图 1-10-70 所示,测得 BD=120 米,DC=60 米,EC=50 米,那么这条河 的大致宽度是( ) 图 1-10-70 A.75 米 B.25 米 C.100 米 D.120 米 【答案】 C 【名师点评】 此题利用两个三角形相似来解决实际问题,学生要能准确地列出 AB∶EC=BD∶ DC,从而计算出河宽 AB 的长. 基础精练 11.(2016·燕山一模)为了加强视力保护意识,小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空 间狭小,他想根据测试距离为 5 m 的大视力表制作一个测试距离为 3 m 的小视力表.如图 1-10-71,如果大视力表中“E”的高度是 3.5 cm,那么小视力表中相应“E”的高度是( ) 图 1-10-7 A.3 cm B.2.5 cm C.2.3 cm D.2.1 cm 【答案】 D 2.(2016·房山二模)如图 1-10-72,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求 AD 的长. 图 1-10-72 【解】 ∵ ∠AED=∠ABC,∠A=∠A, ∴ △AED∽△ABC,∴ =. ∵ DE=3,BC=5,AC=12,∴ =,∴ AD=. 3.(2016·海淀二模)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在 金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图 1-10-73 所示,木杆 EF 的长为 2 m,它的影长 FD 为 3 m,测得 OA 为 201 m,则金字塔 的高度 BO 为 m. 图 1-10-73 【答案】 134 4.(2016·石景山二模)如图 1-10-74,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点 A, 在近岸取点 B,C,D,E,使点 A,B,D 在一条直线上,且 AD⊥DE,点 A,C,E 也在一条直 线上且 DE∥BC.如果 BC=24 m,BD=12 m,DE=40 m,则河的宽度 AB 约为( ) 图 1-10-74 A.20 m B.18 m C.28 m D.30 m 【答案】 B 5.(2016·东城期末)如图 1-10-75,在△ABC 中,D 为 BC 上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4, 求 CD 的长. 图 1-10-75 【解】 ∵ ∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴ △ABC∽△DBA. ∴ =.∴ =BD·BC. ∴ BC=9,∴ CD=BC-BD=5. 6.(2014 ·丰台一模)如图 1-10-76 是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 发出经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,且测得 AB=1.2 米,BP=1.8 米,PD=12 米,那么该古城墙的高度是( ) 图 1-10-76 A.6 米 B.8 米 C.18 米 D.24 米 【答案】 B 7.如图 1-10-77,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,DE∥BC,且 AD=AB,则△ADE 的 周长与△ABC 的周长的比为 . 图 1-10-77 【答案】 1∶3 8.(2014·丰台期末)如图 1-10-78,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,且 DE∥BC, 如果 DE∶BC=3∶5,那么 AE∶AC 的值为( ) 图 1-10-78 A.3∶2 B.2∶3 C.2∶5 D.3∶5 【答案】 D 9.(2014·门头沟期末)如图 1-10-79,点 A(6,3),B(6,0)在直角坐标系内,以原点 O 为位 似中心,相似比为,在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD,那么点 C 的坐标为( ) 图 1-10-79 A.(3,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(2,1) 【答案】 D 10.(2016·房山期末)如图 1-10-80,在矩形 ABCD 中,边 AD=8,将矩形 ABCD 折叠,使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处. 图 1-10-80 (1)如图 1-10-81,设折痕与边 BC 交于点 O,连接 OP,OA.已知△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶ 4,求边 AB 的长. 图 1-10-81 (2)动点 M 在线段 AP 上(不与点 P,A 重合),动点 N 在线段 AB 的延长线上,且 BN=PM,连接 MN,PB,交于点 F,过点 M 作 ME⊥BP 于点 E. ①在图 1-10-80 中画出图形. ②在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 不变的情况下,试问动点 M,N 在移动的过程中,线段 EF 的长度是否发生变化?请你说明理由. 【解】 (1)如图 1-10-82. 图 1-10-82 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠C=∠D=90°,∴ ∠1+∠3=90°. ∵ 由折叠可得∠APO=∠B=90°, ∴ ∠1+∠2=90°.∴ ∠2=∠3. 又∵ ∠D=∠C,∴ △OCP∽△PDA. ∵ △OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4, ∴ ===,∴ CP=AD=4. 设 OP=x,则 CO=8-x. 在 Rt△PCO 中,∠C=90°, 由勾股定理得.解得 x=5. ∴ AB=AP=2OP=10,∴ 边 AB 的长为 10. (2)①如图 1-10-83. 图 1-10-83 ②在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 这一条件不变的情况下,点 M,N 在移动过程中,线段 EF 的长度是不变的. 过点 M 作 MQ∥AN,交 PB 于点 Q,如图 1-10-84. ∵ AP=AB,MQ∥AN, ∴ ∠APB=∠ABP=∠MQP,∴ MP=MQ. 图 1-10-84 又 ME⊥PQ,∴ 点 E 是 PQ 的中点. ∵ BN=PM,∴ BN=MQ. 又 MQ∥AN,∴ ∠QMF=∠N. 在△MQF 和△NBF 中, ∴ △MQF≌△NBF,∴ QF=BF.∴ EF=PB. ∵ 在△BCP 中,∠C=90°,PC=4,BC=AD=8, ∴ PB=4 为定值,∴ EF=PB 为定值. 故在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 这一条件不变的情况下,点 M,N 在移动过程中,线段 EF 的长度是不变的,且 EF=2. 11.(2014·平谷期末)如图 1-10-85,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P 是 AD 上一动点(点 P 不与 A,D 重合),PE⊥BP,PE 交 DC 于点E. 图 1-10-85 (1)求证:△ABP∽△DPE. (2)设 AP=x,DE=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围. (3)请你探索在点 P 运动的过程中,四边形 ABED 能否构成矩形?如果能,求出 AP 的长;如 果不能,请说明理由. (1)【证明】 ∵ ∠A=90°,∴ ∠1+∠3=90°. ∵ PE⊥BP,∴ ∠1+∠2=90°,∴ ∠3=∠2. ∵ AB∥CD,∠A=90°,∴ ∠D=∠A=90°∴ △ABP∽△DPE. 图 1-10-86 (2)【解】 由△ABP∽△DPE 可得=. ∵ AB=2,AD=5,AP=x,DE=y,∴ DP=5-x,∴ =, 整理,得 y=-+x(0查看更多
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