中考几何中的最值问题讲义及答案

中考几何中的最值问题讲义及答案

几何中的最值问题 一、知识点睛 几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”. 求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边 关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） l B' B A P l B' A B P 线段和(周长)最小 转化 构造三角形 两点之间，线段最短 垂线段最短 PA+PB 最小， 需转化，使点在线异侧 |PA-PB|最大， 需转化，使点在线同侧 线段差最大 线段最大（小）值 三角形三边关系定理 三点共线时取得最值 平移 对称 旋转 使点在线异侧 （如下图） 使点在线同侧 （如下图） 使目标线段与定长 线段构成三角形 平移 对称 旋转 二、精讲精练 1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为______cm． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,点 P 是∠AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=3 ， 则△PMN 周长的最小值为 . 3. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 . 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为 . 5. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ． 第 5 题图 第 6 题图 蜂蜜 蚂蚁 A C N M O P B A Q P E D CB A Q P K D CB A N(a+2,0)P(a,0) B(4,-1) A(1,-3) O y x F D CB A x y O E 2 6. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点. 若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，则点 F 的坐标为 . 7. 如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5，CD=4， P 在直线 MN 上运动，则 的最大值等于 ． 第 7 题图 第 8 题图 8. 点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则 ＝　　　　　　． 9. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为_________． 第 9 题图 第 10 题图 10. 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边△APC 和等边△BPD，则 CD 长度的最小值为 ． 11. 如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时， 点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边 PA 的长度改为 ，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为_________． A B CD PM N xO A B y A B C E F P M A B C D P A B O P x y A D CB P Q A' PA PB− PA PB− OP OQ⋅ 22 第 11 题图 第 12 题图 12. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为 PQ，当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定点 P、Q 分 别在 AB、AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 ． 13. 如图，直角梯形纸片 ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，将△AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P． （1）当 P 落在线段 CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于 . 14. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N 两点分别是边 AB、AC 上的动点，将△AMN 沿 MN 翻折，A 点的对应点为 A′，连接 BA′，则 BA′的最小值是_________． 【参考答案】 1. 15 2．6 3． 4． 5． 　 6．（ ，0） 7．5 8．3 9． 10．5 　　 11. ； 12．2 13．(1) ；(2) 14. A' NM CB A 2 2 3 7 4 7 3 12 5 3+1 5+1 8 4 3 4− ≤ ≤PD 4 5 8− 4 3 4− A B CD P F E D C BA A B CD E F P