上海数学初三中考冲刺讲义几何证明培优陈玉婷

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志航教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：‎ 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： ‎ 教学内容 限速训练 一、选择题：：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）‎ ‎1．．下列计算正确的是（ ）‎ ‎．； ．； ．； ．． ‎ ‎2．．关于的方程根的情况是（ ）‎ ‎ ．有两个不相等的实根； ．有两个相等的实根； ‎ ‎．没有实数根； ．不能确定．‎ ‎3．．已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论中，正确的是（ ）‎ ‎.； .； ‎ ‎ .； .与之间的大小关系不能确定.‎ ‎4．．如果一组数据，，…，的方差，那么下列结论一定正确的是（ ）‎ ‎．这组数据的平均数； ．；‎ ‎．； ．．‎ ‎5．．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）‎ ‎．8； ．7； ．6； ．5．‎ ‎6．．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）‎ ‎．是轴对称图形，但不是中心对称图形；‎ ‎．是中心对称图形，但不是轴对称图形；‎ ‎．既是轴对称图形，又是中心对称图形；‎ ‎．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．‎ 二、填空题：：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）‎ ‎7．．分解因式 ．‎ ‎8．的平方根 ．‎ ‎9．．计算：‎ ‎10．．已知，当时， ．‎ ‎11．．如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．‎ ‎12．．已知，那么 ．‎ ‎13．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问孤寡老人，如果给每位老人分5盒牛奶，则剩下38盒牛奶。如设敬老院有名老人，则这批牛奶共有 盒．（用含的代数式表示）‎ ‎14．有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是 ．‎ ‎15．如图，梯形中，∥，， ，，请用向量 表示向量 ．‎ ‎16．已知两圆的圆心距为，其中一个圆的半径长为，那么当两圆内切时，另一圆的半径为 ．‎ ‎17．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面线”，例如圆的直径就是它的“面线”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面线”长可以是 （写出2个）．‎ ‎18．如图，在△中，∠，点为的中点，，，△沿着翻折后，点落到点，那么的长为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）‎ 先化简，再求值：，其中．‎ ‎20．（本题满分10分）‎ 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 参考答案：‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．； 2．； 3．；4．；5．；6．．‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．；8．；9．；10．3；11．；12．1或－2；13．；14．；15．；16．7；17．或；18．7．‎ 三、解答题（本大题共七题，19—22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）‎ ‎19． （原式=．）‎ ‎ ‎ ‎20．．‎ 几何证明 一、专题知识梳理 ‎（一）平行四边形 ‎1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.‎ ‎2．平行四边形的性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．‎ 简述为：平行四边形的对边相等．‎ 平行四边形的性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．‎ 简述为：平行四边形的对角相等．‎ 夹在两条平行线间的平行线段相等．‎ 平行四边形的性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．‎ 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.‎ 平行四边形的性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．‎ ‎3．平行四边形的判定定理1：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．‎ 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．‎ 平行四边形的判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．‎ 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ 平行四边形的判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．‎ 简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.‎ 平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．‎ 简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．‎ ‎（二）特殊的平行四边形 ‎1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．‎ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．‎ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎2．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．‎ ‎ 矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．‎ ‎ 菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．‎ ‎ 菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．‎ 正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.‎ 正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角.‎ ‎3．矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．‎ ‎ 矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．‎ ‎ 菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．‎ 菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ ‎（三）23题常考题型要点 ‎1. 通常第一小问用全等三角形的证明；‎ ‎2. 通常第二小问用到相似三角形的证明；‎ ‎3. 通常第一小问的结论和方法用到第二小问。‎ 二、专题精讲 ‎【题型一：四边形的证明】‎ 例1：如图，在梯形中，∥，，对角线与交于点，，垂足是．‎ ‎（1）求证：是的中点；‎ ‎（2）若在线段上存在点，使得四边形为平行四边形．求证：四边形是平行四边形．‎ ‎【解析】（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，‎ ‎ ∴AC=BD，又BC=CB ‎ ∴△ABC≌△DCB 3分 ‎ ∴∠ACB=∠DBC ‎ ∵OE⊥BC，E是垂足 ‎ ∴E是BC的中点 3分 ‎ （2）∵四边形AOEP为平行四边形 ‎ ∴AO∥EP，AO=EP 1分 ‎ ∵E是BC的中点 ‎ ∴PE=OC 2分 ‎ ∵AD∥BC ‎ ∴ 2分 ‎ ∴AD=BE，又AD∥BE ‎ ∴四边形ABED是平行四边形 1分 例2：已知，如图，Rt△和Rt△中，，且与共线，联结，点为中点，联结，交于点，联结，交于点；‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当，时，求证：四边形为矩形；‎ ‎【解析】（1）方法一：取BD中点P，联结MP，------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，-------------------------（1分）‎ ‎∵点M为AE中点，点P为BD中点，∴MP//AB，-------------------------------------------（1分）‎ ‎∴∠MPD=∠ABC=，即MP⊥BD，∴MP为线段BD的垂直平分线，--------------（1分）‎ ‎∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，‎ ‎∴∠ABM=∠MTE，‎ 又∵∠AMB=∠EMT，点M为AE中点，∴△AMB≌△EMT，---------------------------------（1分）‎ ‎∴BM=TM，------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∵∠CDE =，∴ED⊥BD，∴DM=BT，--------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎（2）方法一：取BD中点P，联结MP，∴BP=BC=（BC+CD），‎ ‎∵AB//ED，点M为AE中点，∴MP =（AB+DE），‎ ‎∵AB=BC，DC=DE，∴BP= MP，-----------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎∵MP⊥BD，∴∠MBP =，--------------------------------------------------------------------（1分）‎ 又∵DC=DE，∠CDE =，∴∠ECD=，∴BM//CE 同理DM//AC，∴四边形MGCH为平行四边形，-----------------------------------------------（2分）‎ ‎∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，-----（1分）‎ ‎∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，‎ ‎∵△AMB≌△EMT，∴AB=ET，∵AB=BC，∴BC= TE，----------------------------------------（1分）‎ ‎∵DC=DE，∴，∴CE//BT-------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴∠BMD+∠MHC=，‎ ‎∵BC= TE，DC=DE，∴BC+DC=TE+DE，即BD=TD，‎ ‎∵BM=TM，∴DM⊥BT，即∠BMD=，----------------------------------------------------（2分）‎ ‎∴∠MHC=，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 又∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，--（1分）‎ ‎∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 例3：已知：如图，在梯形中，∥，点是的中点，是上的点，联结、、.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若点是的中点，联结交于点，求证：四边形是菱形.‎ ‎【解析】（1）∵点是的中点，‎ ‎∴． ‎ 又∵，‎ ‎∴． 1分 ‎∵∥，‎ ‎∴四边形为平行四边形． 1分 ‎∴∥， 1分 ‎ ∴即． 1分 ‎（2）∵点是的中点，是上的点，‎ ‎∴∥且． 1分 ‎ 又∵∥，‎ ‎∴四边形为平行四边形． 1分 ‎∵AD平行且等于BE，‎ ‎∴ 四边形是平行四边形． 1分 又∵，‎ ‎∴ 四边形是矩形． 1分 ‎∴ 且2分 ‎∴，‎ ‎∴四边形是菱形 2分 例4：已知：如图，在中中，,，点在边上，延长至点，使，延长交于，过点作//，交于点，在上取一点，使．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎(2) 求证：四边形是正方形．‎ ‎【解析】(1)∵ ‎ ‎∴ 1分 ‎∵ 2分 ‎∴ 1分 ‎(2)∵∴ 1分 ‎ ∵ ∴ 1分 ‎∵//∴ 1分 ‎∵∴ 1分 ‎∴四边形是矩形 1分 ‎∵ 1分 ‎∴∴ 1分 ‎∴四边形是正方形 1分 例51：如图，在梯形中，∥，平分，平分线交于，联结．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）当=60°，时，证明：梯形是等腰梯形．‎ ‎【解析】（1）∵∥，∴，‎ 又∵，∴．‎ ‎∴． （2分）‎ 同理有． （1分）‎ ‎∴．‎ 又∵∥．‎ ‎∴四边形为平行四边形． （2分）‎ 又∵．‎ ‎∴为菱形． （1分）‎ ‎（2）∵，，‎ ‎ ∴△为等边三角形． （2分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，∥．‎ ‎ ∴四边形为平行四边形． （2分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴梯形是等腰梯形． （2分）‎ ‎【题型二：比例线段的证明】‎ 例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．‎ 求证：（1）AF=CE；‎ ‎ （2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴∠ =∠， 2分 ‎ ‎∵∠=∠，‎ ‎∴180º-∠ =180º-∠，‎ 即∠ =∠． 2分 ‎ ‎∵，‎ ‎∴△≌△． 1分 ‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎（2）∵△≌△，‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎∵∠ =∠，∠=∠，‎ ‎∴△∽△． 2分 ‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎∵，，‎ ‎∴． 1分 ‎ 例2：点是正方形边上的一点（不与、重合），点在边的延长线上，且满足.联结，点、分别是与、的交点.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【解析】（1）在正方形ABCD中，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD 1分 ‎ ∴DF=BE，∠B=∠ADF=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADF 1分 ‎ ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF 2分 ‎ ∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90° 1分 ‎ ∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF ‎ ∴∠AFE=∠AEF= 1分 ‎ （2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45° 1分 ‎ ∵∠AEF=45°，∴∠AEF=∠ACF 1分 ‎ 又∵∠AME=∠FMC 1分 ‎ ∴△ABE≌△ADF 2分 ‎ ∴ 1分 ‎【题型三：其它】‎ 例1：如图，△中，，是边上一点，点、分别是线段、中点，联结、、．‎ ‎（1）求证：△≌△；‎ ‎（2）联结，当时，求证：．‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）考察了中位线；斜边中线等于斜边一半；等腰、平行得到角平分线（S.A.S）‎ ‎（2）四边形CFED是平行四边形（平行且相等），所以DE=CF=AF 例2：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F。 ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B=60°，求证：EM//FN．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）△ABE∽△AFD ‎（2）延长EM、DA交于点P，证明∠P=∠FND=60°‎ 例3：如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边上，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交AF于点G，联结BG.‎ ‎（1）求证：△ADG≌△CDF；‎ ‎（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF.‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形 ‎∴AD=DC，∠ADC=90° 2分 ‎∵GD⊥DF，∴∠GDF=90°‎ ‎∴∠ADG=∠CDF 1分 ‎∵CF⊥AF，∴∠AFC=90°，∴∠CFD=90°+∠DFG 1分 ‎∵∠AGD=∠GDF+∠DFG=90°+∠DFG ‎∴∠AGD=∠CFD 1分 ‎∴△ADG≌△CDF 1分 ‎（2）∵∠ADE=∠EFC，∠DEA=∠FEC，∴△ADE∽△CFE，∴ 1分 ‎∵E为CD的中点，∴，∴，∴‎ ‎∵△ADG≌△CDF，∴FC=AG，∴，∵，∴ 1分 ‎∵AB∥EC，∴∠FEC=∠GAB 1分 ‎∴△EFC∽△AGB 1分 ‎∴∠EFC=∠AGB=90° 1分 ‎∴BG⊥AF 1分 三、专题过关 检测题1：己知：如图，在菱形中，点、分别在边、，∠ =∠，与交于点．‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）当要=时，求证：四边形是平行四边形．‎ ‎【解析】2012年中考23题 ‎（1）利用△ABE≌△ADF（A.S.A）‎ ‎（2）∵AD∥BC，∴‎ ‎∴GF∥BE，易证GB=BE ‎∴四边形BEFG是平行四边形 检测题2：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF∥AD交BC于点F， 且，联结FG。‎ ‎（1）求证：FG∥CE；‎ ‎（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形。‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴． 1分 ‎∵∥，‎ ‎∴． 2分 ‎∴． 1分 ‎∴∥． 1分 ‎（2）联结，交于点 ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴△∽△． 1分 ‎∴．即． 1分 ‎∵，‎ ‎∴． 1分 ‎∵∥，∥，‎ ‎∴四边形是平行四边形． 1分 ‎∴． 1分 又∵，‎ ‎∴． 1分 由四边形是平行四边形，‎ 可得四边形是菱形． 1分 检测题3: 如图，在正方形中，为对角线上一点，联结、，延长交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求证：．‎ ‎【解析】（1）∵四边形是正方形，∴，且 （2分）‎ 又∵是公共边，∴△≌△， （2分）‎ ‎∴∠ =∠ （1分）‎ ‎（2）联结 （1分）‎ ‎∵，‎ ‎∴∠ =∠ （1分）‎ ‎∵∠=∠，∠ =∠，‎ ‎∴∠=∠．‎ ‎∵∠+∠=∠+∠，‎ ‎∴∠=∠ （1分）‎ ‎∵四边形是正方形，‎ ‎∴∠=∠ =45°，∠=∠= 45°，‎ ‎∴∠=∠ （1分）‎ ‎∴∠=∠． （1分）‎ 又∵∠是公共角，∴△∽△， （1分）‎ ‎∴，即 （1分）‎ 检测题4: 如图，在梯形中，，，，点在对角线上，作，连接，且满足．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．‎ ‎【解析】（1）∵， ‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∵，‎ ‎∴≌ （1分）‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∵，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∴，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∴ （1分）‎ ‎（2）四边形是正方形 （1分）‎ ‎∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ （2分）‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴∽ （1分）[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎ ∴ （1分）‎ ‎ ∵， ‎ ‎∴四边形是矩形 （1分）‎ ‎ ∵， ‎ ‎∴四边形是正方形 检测题5: 如图，在正方形中，点在对角线上，点在边上，联结、，交对角线于点，且；‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：∥；‎ ‎【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=CD. 1分 ‎∴.1分 ‎∵DE=DG，∴. 1分 ‎∴. 1分 在△AED与△CGD中，‎ ‎，，AD=CD，‎ ‎∴△AED≌△CGD． 1分 ‎∴AE=CG. 1分 ‎ (2) ∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD//BC. 1分 ‎∴. 1分 ‎∵AE=CG.∴，‎ 即CE =AG. 1分 ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=BC. 1分 ‎∴. 1分 ‎∴BE//DF. 1分 一、能力培养 例1：如图，在中，，，点在边上（点与点、不重合），交边与点，点在线段上，且，以、为邻边作平行四边形联结．‎ ‎ （1）当时，求的面积；‎ ‎ （2）设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；‎ ‎ （3）如果是以为腰的等腰三角形，求的值．‎ ‎【解析】（1）作于，在中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∵，∴∽，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∵， ，‎ ‎∴， （1分）‎ ‎∴，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎（2）设交、于点、‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∵，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ （2分）‎ ‎（3）作 ‎ 在中，‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ （2分）‎ ‎ 在中，,‎ ‎①若,则，解得 （2分）‎ ‎②若,则 ‎ 解得 （2分）‎ ‎∴‎ 例2：如图1，在△中，，，，点是边上任意一点，过点作 交于点，截取，联结，线段交于点，设，．‎ ‎（1）求关于的函数解析式及定义域； ‎ ‎（2）如图2，联结，当△和△相似时，求的值； ‎ ‎（3）当以点为圆心，为半径的⊙和以点为圆心，为半径的⊙相交的另一个交点在边 上时，求的长． ‎ ‎【解析】（1）过点作，垂足为．‎ 由题意，可知是等腰直角三角形，‎ ‎∴． 1分 ‎ 易得∽．‎ ‎∴．‎ 设，．‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎∴． 1分 ‎ 定义域是：≤≤． 1分 ‎ ‎（注：其它解法参照评分．）‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴当和相似时，分以下两种情况： 1分 ‎ ‎ 当时，∴∥，易得四边形是正方形；‎ ‎ ∴． 2分 ‎ ‎ 当时，∴，‎ ‎ 由上述（1）的解法，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎∴，解得． 2分 ‎ 综合，当和相似时，的值为或．‎ ‎（3）如图，设⊙与⊙相交的另一个交点为，联结交于点．‎ ‎∴,.易得∽，∽．‎ ‎∴．‎ 设，．‎ ‎∴． 1分 ‎ ∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎ 又，‎ ‎∴．‎ 解得． 2分 ‎ ‎∴． 1分 作业1：已知：如图，在□中，点、分别是、的中点，、与对角线分别相交于点、．‎ ‎（1）求证：==；‎ ‎（2）如果⊥，求证：四边形是菱形．‎ ‎【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD． （1分）‎ ‎∵点E、F分别是AB、CD的中点，‎ ‎∴． （2分）‎ ‎∴DH=． （1分）‎ ‎ 同理：BG=． （1分）‎ ‎ ∴DH=HG=GB=． （1分）‎ ‎（2）联结EF，交BD于点O． （1分）‎ ‎∵AB//CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∴FO=EO，DO=BO． （1分）‎ ‎∵DH=GB，∴OH=OG．∴四边形EGFH是平行四边形． （1分）‎ ‎∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE//AD．‎ ‎∵AD⊥BD，∴EF⊥GH． （1分）‎ ‎∴□HEGF是菱形． （1分）‎ 作业2：如图，已知，.‎ ‎（1）求证：四边形为平行四边形；‎ ‎（2）联结GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形.‎ ‎【解析】（1）∵ED∥BC ‎ ∴ 1分 ‎ ∵，∴‎ ‎ ∴ 2分 ‎ ∴AB∥CF，即AB∥CD 2分 ‎ 又∵ED∥BC ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形 1分 ‎ （2）联结BD交AC于点O 1分 ‎ ∵四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴BO=DO 2分 ‎ ∵GB=GD，∴OG⊥BD即AC⊥BD 2分 ‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴四边形ABCD是菱形 1分 作业3：如图，已知是等边三角形，点是延长线上的一个动点，以为边作等边，过点作的平行线，分别交、的延长线于点，联结．‎ ‎（1）求证：△△；‎ ‎（2）如果，判断四边形的形状，并说明理由．‎ ‎【解析】（1）∵ 为等边三角形，‎ ‎∴，∠ =∠=60°． 1分 ‎ ‎∵∠ +∠= 60°，‎ ‎∠+∠ = 60°，‎ ‎ ∴∠=∠． 2分 ‎ ‎ ∴． 3分 ‎ ‎（2）∵， ‎ ‎∴∠ =∠, ‎ ‎． 1分 ‎∵∠ =∠=60°‎ ‎∴ ∠=∠=∠=120° ‎ ‎∴∠=60°‎ ‎∴∠+∠=180° ‎ ‎∴∥． 2分 ‎ ‎∵∥，‎ ‎∴四边形是平行四边形． 1分 ‎ ‎∵， ‎ ‎∴． 1分 ‎ ‎∴四边形平行四边形是菱形． 1分 ‎ 作业4：已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，联结AE、BD。‎ （1） 求证：△AGE≌△DAB；‎ （2） 延长BD交AE于点M，求证：。‎ ‎【解析】（1）∵△是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=BC， ‎ ‎∵DG∥BC，∴AG:AB=AD:AC=GD:BC， ‎ ‎∴AG=AD=GD，----------------------------------------------------------------------------3分 ‎∴∠DGA=∠GAD=∠ADG，-------------------------------------------------------------1分 ‎∵DE＝DC，∴DE+ GD＝DC+ AD，即GE=AC，∴GE= AB，-----------------1分 ‎∴在△AGE和△DAB中，，∴△AGE≌△DAB-----------1分 ‎（2）∵△AGE≌△DAB，∴∠GAE=∠ADB，‎ ‎∵∠GAD=∠ADG，∴∠DAE=∠GDB，‎ 又∵∠GDB=∠EDM，∴∠DAE=∠EDM，‎ ‎∵∠E=∠E，∴△EDM∽△EAD，-------------------------------------------------3分 ‎∴ED:EA=EM:ED，即-------------------------------------------1分 ‎∵AG=AD，AB=AC，∴BG=DC，‎ ‎∵DE＝DC，∴BG=DE，-------------------------------------------------------------1分 ‎∴---------------------------------------------------------------------1分 作业5：已知：如图，线段∥，，、相交于点,、分别是线段和的中点．‎ ‎(1)求证：∥；‎ ‎(2)如果和的延长线相交于点,、分别是线段和的中点，求证：．‎ ‎【解析】‎