中考复习一线三等角构相似题型分类训练

中考复习一线三等角构相似题型分类训练

‎“一线三等角”构相似经典题型分类训练 ‎(时间:90分钟 满分:100分)‎ 班级 姓名 成绩 .‎ 类型一 普通角 ‎1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a°,点P在线段AB上,AP= 时,∠CPD=a°．‎ ‎2. (2分)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,D是边BC上一动点（不与点B,C重合）,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD=DC时,BD的长为.其中,正确的结论是（ 　）‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎3. (8分)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．‎ ‎（1）求证:＝； （2）求线段EC的长度．‎ ‎ ‎ ‎4. (8分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF=∠B，射线EF交线段AC于F．‎ ‎（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；‎ ‎5. (8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）连结AD，作∠ADE=∠B，DE交线段AC于E．‎ 求证: (1)AD2=AE·AC (2) AB·EC=BD·CD ‎6. (8分) 如图①，在△ABC中，AC=BC，点D是线段AB上一动点,∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN．‎ ‎（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图②，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．‎ 类型二 45°或60°角 ‎7. (2分)如图,在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B，C），过D作∠ADE=45°,DE交AC于E，若,CE=1,则BD= . ‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 第9题图 ‎8. (2分)如图,等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=cm,则AB= .‎ ‎9. (2分)如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC上（点D不与点B、C重合）,连结AD,以AD为边作∠ADE=∠ABC,DE交边AC于点E,若AB=2,则EC的最大值是 . ‎ ‎10. (6分)已知:如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,∠ADE=60°.AB=3,EC=,求DC的长 ‎11. (6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C=60°,AB=3,BC=7,P为BC边上的一点（不与B、C重合）,过点P作∠APE=60°,PE交CD于点E．若CE=3,求PE的长．‎ 类型三 90°角 ‎12. (2分)矩形ABCD中,点E，F分别在AD、CD上，且BE⊥FE，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（　　）‎ A．①和② B．①和③ C．②和④ D．①②和③‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 ‎ ‎13. (2分)如图,已知一次函数y=-x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B,点C在x轴上,AC=4,第一象限内有一个点P,且PC⊥x轴于点C,若以点P、A、C为顶点的三角形与△OAB相似,则点P的坐标为（　　）‎ A．（4,8） B．（4,8）或（4,2） C．（6,8） D．（6,8）或（6,2）‎ ‎14. (2分)如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎15. (2分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时，△PAD与△PBC相似（　　）‎ A. B.1 C.6 D.或1或6‎ ‎16. (2分)如图,点E在线段AB上,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P是射线BD上的一个动点,则当BP= 时,△CEA与△EPB相似. ‎ ‎17. (6分)如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥ED,若AE=4,CE=3BE.求这个四边形的面积．‎ ‎18. (10分)如图，在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E为BC的中点,AE⊥DE．‎ ‎（1）求证:△ABE∽△ECD；‎ ‎（2）求证：AE2=AB•AD；‎ ‎（3）若AB=1，CD=4，求线段AD，DE的长．‎ ‎19. (10分)如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连接FC（AB＞AE）．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△DCE；‎ ‎（2）△AEF与△EFC是否相似？若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；‎ ‎（3）设=k,若△AEF∽△BCF，则k= （请直接写出结果）．‎ ‎20. (10分)四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．‎ ‎（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；‎ ‎（2）若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．‎ ‎（3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．‎ 参考答案 ‎1.2或3 ‎ ‎2.D ‎3.（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，‎ ‎∵∠ADC是△ABD的一个外角，‎ ‎∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，‎ 又∵∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDC，‎ ‎∴△ABD∽△DCE，∴＝；‎ ‎（2）∵△ABD∽△DCE，∴=，‎ ‎∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴=，解得EC=1．‎ ‎4.（1）∵AB=AC=6，∴∠B=∠C，‎ ‎∵∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠CEF=180°-∠DEF-∠BED，‎ ‎∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△DBE∽△ECF；‎ ‎（2）∵△DBE∽△ECF，∴＝，‎ ‎∵F是线段AC中点，∴CF=AC=3‎ ‎∴＝，∴BE=2或3；‎ ‎5.(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，‎ 又∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C，‎ ‎∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；‎ ‎∴=,∴AD2=AE·AC.‎ ‎(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C，‎ ‎∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC ‎∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC，‎ 又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE．‎ ‎∴=,∴AB·EC=BD·CD.‎ ‎6.（1）△ADM∽△BND，理由如下：‎ ‎∵AC=BC，∴∠A=∠B，‎ ‎∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN，∠A=∠EDF，‎ ‎∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND；‎ ‎（2）证明：作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，如图②，‎ 由（1）得，△ADM∽△BND，‎ ‎∴△ADM∽△DNM，‎ ‎∴∠AMD=∠NMD，又DG⊥MN，DH⊥AM，‎ ‎∴DG=DH，即在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．‎ ‎7. ‎ ‎8.5 ‎ ‎9.‎ ‎10.∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，‎ ‎∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，‎ ‎∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴=.‎ 设CD=x,则BD=3-x,∴=,∴x=1或x=2,∴DC=1或DC=2．‎ ‎11.∵∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC 而∠C=∠B,∴△APB∽△PEC，∴=，‎ 设BP=x,则PC=7-x，∴=,解得：x1=3，x2=4，‎ 当BP=4时，△CEP为等边三角形，∴PE=CP=3，‎ 当BP=3时，PE=，‎ ‎∴PE的长度为3或．‎ ‎12.B 13.D 14.C 15.D 16. 6或 ‎17.易证:△ABE∽△DEA,则AE2=BE·AD.设BE=x,则EC=3x,AD=4x,解得x=2,可得AB=2,面积为16.‎ ‎18.（1）证明：∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，‎ ‎∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，‎ ‎∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED，‎ 又∵∠ABC=∠BCD，∴△ABE∽△ECD；‎ ‎19.（1）∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，‎ ‎∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE，‎ ‎∵∠A=∠D=90°，∴△AEF∽△DCE；‎ ‎（2）△AEF∽△ECF．证明如下：‎ 延长FE与CD的延长线交于G，‎ ‎∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，‎ ‎∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．‎ ‎∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，∴Rt△EFC≌Rt△EGC．‎ ‎∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．‎ 又∵∠A=∠FEC=90°，∴Rt△AEF∽Rt△ECF；‎ ‎(3) 点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．‎ ‎20.（1）△DAE∽△EBC，‎ 理由是：∵∠A=∠DEC=50°，‎ ‎∴∠ADE+∠DEA=180°-∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=130°，∴∠ADE=∠CEB，‎ ‎∵∠A=∠B，∴△DAE∽△EBC；‎ ‎（2）设AE=x，则BE=5-x，‎ ‎∵∠ADE＜90°，∠ECB＜90°，∴∠DEC=90°，∴△DAE∽△EBC，‎ 解得：x=1或4，即AE=1或4；‎ ‎（3）AE=BE或BE=2AE，‎ 理由是：①当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，‎ 所以△DEC∽△DAE∽△EBC，‎ ‎②当∠DEC≠90°时，‎ ‎∵△ADE∽△BCE，∠DEA=∠CEB，‎