河北省中考数学试题评析

河北省中考数学试题评析

‎2009年河北省中考数学试题评析 ‎2009年的数学试题在继承我省近几年中考命题整体思路的基础上，坚持“整体稳定，局部调整，稳中求变、变中求新”的命题原则，贯彻《义务教育课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）和《河北省2009年中考文化课学科说明》（以下简称《学科说明》）所阐述的命题指导思想，突出对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学创新意识，整套试题充满着人文关怀．‎ 一、总体评价 试题命制严格按照《课程标准》和《学科说明》的相关要求，充分体现和落实新课程改革的理念和精神．整套试题覆盖面广，题量适当，结构合理，难度适中，内容新颖，表述科学．在考查方向上，体现了突出基础，注重能力的思想；在考查内容上，体现了基础性、开放性、应用性、探究性和综合性．‎ 在具体操作上，紧扣《学科说明》，参照我省各地使用的不同版本教科书，强调教材的重要性，保证素材的公平性，对教学工作能够起到明显的指导作用．‎ ‎1．整体稳定，局部调整 今年的数学试卷在保证整体格局稳定的基础上，作出了一些调整：选择题由原来的10个小题增至12个；填空题由原来的8个小题减至6个；解答题依然是8个小题．各题型的分值和部分试题的考查重点，也作了相应的调整．‎ ‎2．全面考查，突出重点 纵观整套试题，覆盖近百个知识点．所关注的内容，是支撑学科的基本知识、基本技能和基本思想．强调考查学生在这一学段所必须掌握的通法通则，淡化繁杂的运算和技巧性很强的方法．‎ 试题重点考查了代数式、方程（组）与不等式（组）、函数、统计与概率、相交线与平行线、三角形与四边形等学科的核心内容，同时关注了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、统计与随机意识等数学思想，以及特殊与一般、运动与变化、矛盾与转化等数学观念．试题突出了对学生研究问题的策略和运用数学知识解决实际问题能力的考查．‎ ‎3．层次分明，确保试题合理的难度和区分度 试题在结构上形成合理的层次，整套试题从易到难形成梯度．其中第一、二大题分三个层次：第一层次（第1~7、13~15小题）考查基础知识、基本技能，判断、运算或操作方式单一，学生能直接上手；第二层次（第8、9、11、16~18小题）是小范围的综合题，旨在考查最基本的数学方法和数学思想；第三层次（第10、12小题）更多的是关注数学思辨和思维过程．‎ 第三大题注重数学能力，也分三个层次：第一层次（第19~22小题），考查代数式变形和运算的能力，用所学知识解决简单实际问题的能力，对统计与概率知识的理解与应用，以及对函数概念的理解与应用的能力；第二层次（第23、24小题），考查学生的形成性学习方法与能力，以及逻辑思维能力．第三个层次（第25、26小题），考查学生的综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用．‎ 同时在试题的赋分方面，既尊重了学生数学水平的差异，又能较好地区分出不同数学水平的学生，较好地保证了区分结果的稳定性，从而确保了试题具有良好的区分度，有利于高一级学校选拔新生．‎ ‎4．科学严谨，确保试题的信度、效度和自洽性 试卷题目陈述简明、科学准确；图形、图象规范美观．凡是联系实际题目，情景不仅不会干扰学生对其内容的分析与理解，而且有助于学生对其中数量关系的把握；凡是带有创新成分的试题，其内容均属《课程标准》和《学科说明》要求范围之内的核心知识．这就确保了考试具有较高的信度．‎ 每类题型由易到难形成三个难度循环．试题的设置，在提问方式、分值和位置等方面，充分考虑了学生不同的解答习惯、学习水平和承受能力．后面的几道解答题，设3~4问，形成问题串，起点很低，循序渐进，层层铺垫，且最后一问思维含量较高，具有一定的挑战性．这样“入口宽、出口窄”的试题设计，有利于学生临场发挥．各类型题目解答起来，容易上手，但要解答完整、准确，则需要具备较强的数学能力．这样的布局，能确保考试具有较高的效度．‎ 同时，试题的命制注意了整体的和谐性，试题的搭配，使考查功能之间形成合理的支撑，努力实现试题在能力层面上的相互校正功能．注重了整套试卷题目间的合理性、自洽性与可推广性．‎ 二、试题特点 ‎1．从全新角度考查基础知识和基本技能 P O B A 图1‎ 要想学好数学，就必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活的加以运用．因此本套试题在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意了考查方式的多样化和考查角度的新颖性．‎ 例1（第5题）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于 A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 评析 本题旨在考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系．但其呈现方式却与众不同，自然而巧妙地把问题置于正方形之中，建立起了知识间的相互联系．‎ 例2（第7题）下列事件中，属于不可能事件的是 A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0‎ 取相反数 ‎×2‎ ‎＋4‎ 图2‎ 输入x 输出y 评析 本题考查的是不可能事件的概念，但其中却蕴含着考生对数的基础知识的思考，使这道看似简单的题目变得丰满而扎实．‎ 例3（第11题）如图2所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为 O y x ‎-2‎ ‎- 4‎ A D C B O ‎4‎ ‎2‎ y O ‎2‎ ‎- 4‎ y x O ‎4‎ ‎- 2‎ y x x 评析 对函数图象的考查是中考命题的常见内容，但本题不是平铺直叙，而是另辟蹊径——借助程序设计的背景，将函数表达式的产生与函数图象的性质完美的衔接起来，设计出了一道新而不偏、新而不怪的好题．‎ ‎2．关注数学思想方法，渗透数学文化 数学的思想方法是数学学科的灵魂，它有时并非刻意指向解题所运用的数学知识，而更多的体现在对解题策略的思考和选择上．本套试题在对数学思想与方法的考查方面可谓独树一帜，其往往借助看似平实简洁的问题设置，却凸显了数学思想方法在解题时的重要作用．‎ 此外，渗透数学文化、陶冶学生心灵、感受数学魅力，使数学具有更为积极的教育功能，也是命题组在试题命制中始终关注的一个环节．‎ 图3‎ 例4（第10题）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图3所示的零件，则这个零件的表面积是 A．20 B．22‎ C．24 D．26‎ A B C 图4‎ D E A′‎ 例5（第17题）如图4，等边△ABC的边长为‎1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′ 处，且点A′ 在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．‎ 评析 从表面看，上述两题是对基本几何知识性质（图形的周长和面积）的考查，但通过对解题策略的分析，却不难发现，其关注的核心实际是数学的思想方法，即利用平移和轴对称实现对问题的转化（化归）．‎ 图5‎ 这两道试题还具有良好的推广性．如例4（第10题）中，让挖去的小正方体经过大正方体的两个面或只在一个面上时，其表面积会怎样变化？例5（第17题）中，点A′ 在△ABC的内部或边上时，阴影部分的周长有什么不同？等等．‎ 例6（第18题）如图5，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是 cm．‎ 评析 本题通过现实有趣的数学情景，将方程思想巧妙地蕴含其中．此外，解法的多样性也是本题的一大特点，既可以形成一元一次方程的模型（设水的深度为未知数），又可以形成二元一次方程组的模型（设两根木棒的长度为未知数），还可以有其他方法．这样使学生单向封闭的思路拓展成多维开放的思路，有效地培养了学生的创新思维能力．‎ ‎4=1+3 9=3+6 16=6+10‎ 图6‎ ‎…‎ 例7（第12题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图6中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 A．13 = 3+10 B．25 = 9+‎16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31‎ 评析 该题以毕达哥拉斯学派的发现为切入点，以数字间的内在关系为背景，不仅考查了学生探究发现规律的能力，而且还可以借助图形进行分析，很好的体现了“数形结合”的思想．同时又向学生渗透了世界古代文化的精深与美妙，有一种内在的和谐与古远幽深的意境，激发了学生对数学文化的热爱，既有趣味性、挑战性，又有教育功能，令人耳目一新．‎ ‎3．联系现实生活，突出应用意识 图7‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎150‎ ‎30‎ 单位：cm A B B 现实生活是数学学科的出发点和最终归宿，让数学回归现实是数学课程改革的重要目标之一．《学科说明》明确指出，要着重考查学生运用所学知识解决简单实际问题的能力，要求学生能够解决带有实际意义的问题，能够解决日常生活中的实际问题，能够用数学语言表达问题．为彰显课程改革的方向，本套试题联系实际的题目占有相当的比例．‎ 例8（第25题）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是‎60 cm×‎30 cm，B型板材规格是‎40 cm×‎30 cm．现只能购得规格是‎150 cm×‎30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图7是裁法一的裁剪示意图）‎ 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ B型板材块数 ‎2‎ m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m = ，n = ；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？‎ 评析 试题在背景呈现上贴近社会现实，充满着生活气息，使学生真实地感受到“数学来源于生活，又返回来指导生活”的价值．这正体现了《课程标准》中提到的“问题情景—建立模型—解释、应用和拓展”的数学学习模式．本题借助一次函数关系式及其性质为知识载体，考查的核心是从现实情景中提取信息、分析数据、建立数学模型的思想和能力．‎ ‎4．在考查思维能力的同时，更关注对思维方式和思维过程的考查 A O P x y 图8‎ ‎- 3‎ ‎- 3‎ 在新课程理念的指导下，日常教学中，培养学生数学思维的能力尤为重要．但更重要的是，通过具体有形的数学知识，传递给学生一种数学的思维方式，体验思维和认知的一般方法与过程（数学思考）．可以说，今年的数学试题在关注“知识立意”与“能力立意”的同时，又注入了“过程立意”．这必将对今后的教学产生重要的影响．‎ 例9（第22题）已知抛物线经过点A (－3，－3)和点P (t，0)，且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图8，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．‎ 评析 该题以二次函数为背景，但却打破了以往程式化的设问方式，而是带有浓郁的探究成分，清晰地为我们勾勒出了“在两个点确定的情况下，抛物线的某些属性（开口方向）随另一个点的运动而变化”的一个连续的动态过程，将代数演绎与几何直观有机地结合了起来．‎ 本题考查的主旨并非是对解题方法和技巧的机械运算，而是巧妙地考查了学生直观思维的过程与方法，正所谓“四两拨千斤”就是这个道理． ‎ 图9-1‎ A O1‎ O O2‎ B 例10（第23题）如图9-1至图9-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．‎ B 图9-2‎ A ‎ C n°‎ D O1‎ O2‎ 阅读理解：（1）如图9-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．（2）如图9-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．‎ B 图9-3‎ O2‎ O3‎ O A ‎ O1‎ C O4‎ 实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = ‎2c，则⊙O自转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转_____‎ 周．（2）如图9-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转 周．‎ 拓展联想：（1）如图9-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．‎ D 图9-5‎ O O A B C 图9-4‎ D ‎（2）如图9-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．‎ 评析 本题以课题学习的形式呈现，从简单的“圆在直线段和角外部滚动的周数”的数学事实出发，循序渐进，层层深入，引导学生在解决问题的过程中，不断产生认知发展，进而在不知不觉中提炼归纳出一般性的结论，使自己对知识的认识得到升华．‎ 可以看出，本题清晰地给学生展现了一个从“提出基本事实→解决具体问题→归纳整合方法→实现思维升华”的完整思维过程，所呈现的情境不是对解题方法的简单重复，而是不断引导学生去探究和掌握一类问题的一般解决策略．因此，在解答本题过程中可以充分体验到从“特殊到一般”的数学思想，这也正是学生学习数学乃至认识一切事物的重要方式之一（同化与演绎）．‎ 此外，本题还可拓展成一个圆在另一个圆的外部（或内部）滚动周数计算的问题，从而使解题思路得到进一步的深化和发展．‎ 图10-1‎ A H C(M)‎ D E B F G(N)‎ 例11（第24题）在图10-1至图10-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图10-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；（2）将图10-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图10-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图10-2中的CE缩短到图10-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）‎ A H C D E 图10-3‎ B F G M N G 图10-2‎ A H C D E B F N M 评析 本题的主旨是在考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），但通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴含了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念．将学生的观察操作、猜想推断、演绎论证等数学活动有机的融为一个整体．这样做，既使学生获得了一种科学探究的思维模式，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现了尊重学生的数学个体差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，增加自信心和成就感，同时也有效地提高了试题的信度与效度．‎ ‎5．注重综合运用，合理体现选拔功能 为体现数学学业考试向高一级学校选拔和提供新生的目的，试题在命制过程中，充分注意到了设置合理的区分度，精心编制压轴题，综合考查学生的各种数学能力，以便正确区分不同学生的数学学习水平．‎ A C B P Q E D 图11‎ 例12（第26题）如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．‎ 评析 本试题仍然是以几何图形中的运动元素为背景，集代数、几何核心内容于一体的综合题．但一改过去点、线或图形运动的切入角度，在构思上做出了两个方面的突破：一是点的运动方式从过去的单向单程，变为双向往返；二是由两个点的运动带动了一条射线（动线段的垂直平分线）的运动．‎ 本题涉及知识与方法众多，勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角梯形、线段的垂直平分线、一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程、分类讨论思想、函数与方程思想、转化思想、运动变化观点等等，几乎涉及了7~9年级所有重要的数学核心知识．‎ 该题从命题技术上采用“宽入窄出、缓步提升”的分层次考查策略，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用．‎ 事实上，依据本题素材，还可提出其他问题，如：①△APQ的面积何时最大；②△APQ何时是等腰三角形；③DE何时经过点B、何时平分BC等等，在实践教学中可作推广．‎ 三、对日常教学的建议与思考 ‎1．加强研究，转变观念 想要提高学生的数学能力，适应当前中考的变化，最有效的途径就是加强对《课程标准》、《学科说明》和教材自身的学习与研究，不断转变我们的教学观念．‎ ‎《课程标准》、《学科说明》和教材既是中考命题的依据，也是衡量日常教学效果的重要标尺．我省近几年中考数学的试题，多取材于《课程标准》、《学科说明》和教科书中的原型．也就是说，《课程标准》、《学科说明》和教材才是编拟中考数学试题的真正“题源”．所以，我们的教学要紧扣课标，吃透考试要求，回归教材，发挥其示范作用．唯有这样，教学和复习才会起到事半功倍的作用．‎ ‎2．正确认识数学基础知识和基本技能 当前中考试题考查的重点，仍是数学的基础知识和基本技能．加强基础知识和基本技能的训练是提高数学成绩的一个重要环节，但我们首先要对加强“双基”有一个正确的认识．‎ 中考中要求的基础知识和基本技能，是解决常规数学问题的“通法通则”，而并非特殊的方法和技巧，因此抓好“双基”，绝不是片面追求解偏题、难题和怪题，更不是刻意去补充课标和教材要求之外的知识与方法．‎ 加强“双基”，很重要的一个方面是对学生解题规范性的培养．只有做到答题规范、表述准确、推理严谨，才能保证学生考试时会做的题不丢分．建议教师在日常的教学中，充分重视对学生解题步骤和解题格式的规范要求．‎ 加强“双基”，不能通过要求学生机械记忆概念、公式、定理、法则来实现，而是要将这些核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中，所以适当的解题训练是必要的．但加强“双基”，又不能仅靠大量的不加选择的解题来完成，更不能把数学课变成习题课，搞题海战术．‎ 要认识到，“双基”的提升不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．在日常教学中，学生对数学知识的初次认知尤为重要，因此一定要留给学生充分的探究发现、归纳概括的时间，扎扎实实地掌握好每一个数学概念．任何匆忙追求教学进度、最后依靠机械性的强化训练的做法，都不可能取得真正良好的效果．‎ ‎3．关注数学方法和数学思想的渗透 要想在中考取得理想的成绩，除了理解基础知识，掌握基本技能外，还必须关注数学方法和数学思想，而这正是目前教学中较为薄弱的环节之一．‎ 值得注意的是，对数学方法和数学思想的教学不能孤立进行，它应以具体的数学知识为载体，所以我们要注意在日常教学中对数学方法和数学思想的渗透．如在“分式”教学中渗透类比思想（与分数的类比），在方程组的教学中渗透转化思想（与方程的转化）等等．只要我们平时注重这一点，数学思想方法就会自然的“内化”在学生的思维方式之中．‎ ‎4．注重过程教学，培养思维品质 ‎“重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区．这种忽视知识形成过程的教学，会导致学生只重视结论本身，甚至死记硬背结论，“只知其然而不知其所以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用与迁移转化了．‎ 因此在教学过程中，一定要从重视知识结论转向重视知识的形成过程．要真正改变现有的教学方式，关注学生的学习方式，使教学的过程变成一个学生思维方式不断发展的过程．‎ 培养思维能力，还应在提高学生的思维品质上下功夫．如培养学生思维的灵活性、全面性、严密性，以及思维的广度和深度等等．‎