中考数学总复习全部导学案教师版1
第 6 课时 一元一次方程及二元一次方程（组）
【知识梳理】
1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）
的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．
2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．
3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．
4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借
助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】
例 1． （1）解方程
（2）解二元一次方程组
解：
例 2．已知 是关于 的方程 的解，求 的值．
方法 1 方法 2
例 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
例 4．在 中，用 x 的代数式表示 y，则 y=______________．
例 5．已知 a、b、c 满足 ，则 a：b：c= ．
例 6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那
么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10
元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，
超过了规定的 A 度，则超过部分应该
交电费多少元（用 A 表
示）？ ．
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂
规定 A 度为 ．
.x x+ −− =2 11 5 2 15 6
x = −2 x ( )x m x m− = −2 8 4 m
月份 用电量 交电费总数
3 月 80 度 25 元
4 月 45 度 10 元
=+
=+
2727
1523
yx
yx
=+−
=−+
02
052
cba
cba
=+
=+
6
511
5
yx
yx
−=+
=+
2
102
yx
yx
=
=+
15
8
xy
yx
=+
=
3
1
yx
x
032 =−+ yx
思考与收获
【当堂检测】
1．方程 的解是___ ___．
2．一种书包经两次降价 10%，现在售价 元，则原售价为_______元．
3.若关于 的方程 的解是 ，则 _________．
4．若 ， ， 都是方程 ax+by+2＝0 的解，则 c=____．
5．解下列方程（组）：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
6．当 时，代数式 的值是 12，求当 时，这个代数式的
值．
7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人
付 9 元，则多了 5 元，后来组长收了每人 8 元，自己多付了 2 元，问两副乒乓球
板价值多少？
8．甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的 ，
得到的解是 ，乙看错了方程中②的 ，得到的解是 ，试求正确
x − =5 2
a
x x k= −1 53 x = −3 k =
( )x x− = − −3 2 5 2 . . . .x x+ = −0 7 1 37 1 5 0 23
x x− += −2 1 1 4 13 5
x = −2 x bx+ −2 2 x = 2
−=
=
1
1
y
x
=
=
2
2
y
x
=
=
cy
x 3
=+
=+
83
2152
yx
yx
8(1)
5 (2)
mx ny
mx ny
+ = −
− = m
4
2
x
y
=
= n
2
5
x
y
=
=
思考与收获
的值．
第 7 课时 一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3．求根公式：当 b2-4ac≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
4．根的判别式： 当 b2-4ac＞0 时，方程有 实数根．
当 b2-4ac=0 时， 方程有 实数根．
当 b2-4ac＜0 时，方程 实数根．
【思想方法】
1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【例题精讲】
例 1．选用合适的方法解下列方程：
(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x2+ x=0
例2 ．已知一元二次方程 有一个根为零，求
的值．
例 3．用 22cm 长的铁丝，折成一个面积是 30㎝2 的矩形，求这个矩形的长和宽.又
问：能否折成面积是 32㎝2 的矩形呢？为什么？
例 4．已知关于 x 的方程 x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0
(1) 求证：不论 k 取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形 ABC 的一边长为 a=4，另两边的长 b．c 恰好是这个方程的两
,m n
22
04371 22 =−+++− mmmxxm ）（ m
a
acbbx 2
42 −±−=
思考与收获
个根，求△ABC 的周长．
【当堂检测】
一、填空
1．下列是关于 x 的一元二次方程的有_______ ① ②
③ ④ ⑤ ⑥
2．一元二次方程 3x2=2x 的解是 ．
3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0 有一解为 0，则 m 的值是 ．
4．已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根，那么代数式 m2-m = ．
5．一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一根-2,则 的值为 ．
6．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x－1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围
是__________．
7．如果关于的一元二次方程的两根分别为 3 和 4，那么这个一元二次方程可以
是 ．
二、选择题：
8．对于任意的实数 x,代数式 x2－5x＋10 的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数
9．已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则 m2+n2 的值是（ ）
A.3 B.3 或-2 C.2 或-3 D. 2
10．下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A）x2＋4＝0 （B）4x2－4x＋1＝0（C）x2＋x＋3＝0（D）x2＋2x－1＝0
11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A．若 x2=4，则 x=2 B．方程 x(2x-1)=2x-1 的解为 x=1
C．方程 x2+2x+2=0 实数根为 0 个 D．方程 x2-2x-1=0 有两个相等的实数根
12．若等腰三角形底边长为 8,腰长是方程 x2-9x+20=0 的一个根,则这个三角形的
周长是（ ） A.16 B.18 C.16 或 18 D.21
三、解下方程：
(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0
(4)x2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0
02x3x
1 2 =−+ 01x2 =+
)3x4)(1x()1x2( 2 −−=− 06x5xk 22 =++ 02
1xx2 4
32 =−− 0x22x3 2 =−+
b
ca4 +
思考与收获
第 8 课时 方程的应用（一）
【知识梳理】
1. 方程（组）的应用；
2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；
3. 实际问题中对根的检验非常重要．
【注意点】
分式方程的检验，实际意义的检验．
【例题精讲】
例 1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．某
队打了 14 场，负 5 场，共得 19 分，那么这个队胜了（ ）
A．4 场 B．5 场 C．6 场 D．13 场
例 2. 某班共有学生 49 人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生
人数的一半.若设该班男生人数为 x，女生人数为 y，则下列方程组中，能正确计
算出 x、y 的是（ ）
A．{x–y = 49
y = 2(x + 1) B．{x + y = 49
y = 2(x + 1) C．{x–y = 49
y = 2(x–1) D．{x + y = 49
y = 2(x–1)
例 3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行 15 千米去县城购买书籍，张老师比
李老师每小时多走 1 千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少
千米？设李老师每小时走 x 千米，依题意得到的方程是（ ）
例 4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只
用一张信笺，教务处每发出一封信都用 3 张信笺，结果，总务处用掉了所有的信
封，但余下 50 张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下 50 个信封，则两处各
领 的 信 笺 数 为 x 张 ， 信 封 个 数 分 别 为 y 个 ， 则 可 列 方 程
组 ．
例 5. 团体购买公园门票票价如下：
购票人数 1～50 51～100 100 人以上
每人门票（元） 13 元 11 元 9 元
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于 50 人，乙团人数不超过 100 人．若分
别购票，两团共计应付门票费 1392 元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付
门票费 1080 元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于 50 人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
1 5 1 5 1 1 5 1 5 1. .1 2 1 2
1 5 1 5 1 1 5 1 5 1. .1 2 1 2
A Bx x x x
C Dx x x x
− = − =+ +
− = − =− −
思考与收获
【当堂检测】
1. 某市处理污水，需要铺设一条长为 1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通
所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 5 天完成任
务．设原计划每天铺设管道 xm，则可得方程 ．
2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六
头笼中露，看来脚有 100 只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为 x 只，兔为
y 只，所列方程组正确的是（ ）
3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水
厂的日供水量共计 11.8 万 m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，
丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万 m3．
（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？
（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600t 土石，运输公司派出 A 型，
B型两种载重汽车，A 型汽车 6 辆，B 型汽车 4 辆，分别运 5 次，可把土石运完；
或者 A 型汽车 3 辆，B 型汽车 6 辆，分别运 5 次，也可把土石运完，那么每辆 A
型汽车，每辆 B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满
载）
4. 2009 年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到 30km
远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，
结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种
车的速度．
5. 某体育彩票经售商计划用 45000元从省体彩中心购进彩票 20 扎，每扎 1000
张，已知体彩中心有 A、B、C 三种不同价格的彩费，进价分别是 A种彩票每张
1.5 元，B 种彩票每张 2 元，C 种彩票每张 2.5 元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20 扎，用去 45000 元，请你设计进
票方案；
（2）若销售 A 型彩票一张获手续费 0.2 元，B 型彩票一张获手续费 0.3 元，C 型
彩票一张获手续费 0.5 元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费
最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用 45000 元同时购进 A、B、C 三种彩票 20 扎，请你设计进票
方案．
=+
=+
1002
36. yx
yxA 36 36. .2 4 100 2 2 100
x y x yB Cx y x y
+ = + =
+ = + =
=+
=+
10024
36.. yx
yxD
思考与收获
第 9 课时 方程的应用（二）
【知识梳理】
1.一元二次方程的应用；
2. 列方程解应用题的一般步骤；
3. 问题中方程的解要符合实际情况．
【例题精讲】
例 1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是 7，把这个两位数加上 45 后，结果
恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．16 B．25 C．34 D．61
例 2. 如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修
建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积
需要 551 米 2，则修建的路宽应为（ ）
A．1 米 B．1.5 米 C．2 米 D．2.5 米
例 3. 为执行“两免一补”政策，某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008
年投入 3600 万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ，则下列方程
正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例 4. 某地出租车的收费标准是：起步价为 7 元，超过 3 千米以后，每增加 1 千米，
加收 2.4 元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费 19 元，设此人从甲地
到乙地经过的路程为 x 千米，那么 x 的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
例 5. 已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量 100 万台提
高到 121 万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，
预计第 4 年该工厂的年产量应为_____万台．
例 6. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个．调查
表明：这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个．为了实现平均每月
10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
例 7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分 3 件，那么还余 59 件．如
果每人分 5 件，那么最后一个人不少于 3 件但不足 5 件，试求这个幼儿园有多
少件玩具，有多少个小朋友．
x
22500 3600x = 22500(1 ) 3600x+ =
22500(1 %) 3600x+ = 22500(1 ) 2500(1 ) 3600x x+ + + =
思考与收获
【当堂检测】
1. 某印刷厂 1月份印刷了书籍 60万册，第一季度共印刷了 200 万册，问 2、
3 月份平均每月的增长率是多少？
2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工
程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活
动．已知甲班每天比乙班少种 10 棵树，甲班种 150 棵树所用的天数比乙班种 120
棵树所用的天数多 2 天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？
3. A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P、Q 分别从点
A、C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止，点 Q 以 2
cm/s 的速度向 D 移动.
⑴ P、Q 两点从出发开始到几秒时四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2？
⑵ P、Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10 cm？
4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购
买苹果 70kg（第二次多于第一次），共付出 189 元，而乙班则一次购买苹果
70kg．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？
购苹果数 不超过 30kg 30kg 以下但
不超过 50kg
50kg
以上
每千克价格 3 元 2.5 元 2 元
思考与收获
第 10 课时 一元一次不等式（组）
【知识梳理】
1.一元一次不等式（组）的概念；
2.不等式的基本性质；
3.不等式（组）的解集和解法．
【思想方法】
1.不等式的解和解集是两个不同的概念；
2.解集在数轴上的表示方法．
【例题精讲】
例 1.如图所示，O 是原点，实数 a、b、c 在数轴上对应的点分别为 A、B、C，则
下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
例 2. 不等式 的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例 3. 把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
例 4. 不等式组 的整数解共有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
例 5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为 150kg，爸爸坐在跷跷板
的一端，小明体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸
爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ）
A. 49kg B. 50kg
C. 24kg D. 25kg
例6.若关于x的不等式x－m≥－1的解集如图所示，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
例 7.解不等式组：（1） （2）
0ba >− 0ab < 0ba <+
1 12 x− >
1
2x > − 2x > − 2x < − 1
2x < −
2 1 1
2 3
x
x
+ > −
+ ≤
2
2 1
x
x
−
− <
≤
2 1
1 13
x x
x
+ < − ≥
+<+
−>+
)6(3)4(4
,5
3
5
1
xx
xx
B A O C
0)ca(b >−
101− 101− 101− 101−
思考与收获
【当堂检测】
1.苹果的进价是每千克 3.8 元，销售中估计有 5%的苹果正常损耗．为避免亏本，
商家把售价应该至少定为每千克 元．
2. 解不等式 ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．
3. 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
4. 我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售．按计
划，20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表
提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运 A 种脐橙的车辆数为 ，装运 B 种脐橙的车辆数为 ，求 与 之
间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆，那么车辆的安排方案有几种？并
写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
脐 橙 品 种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
723 <−x
−<+−−
+≥+
22
4
3
1
3322
xx
xx
x y y x
思考与收获
第 11 课时 平面直角坐标系、函数及其图像
【知识梳理】
一、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号；
3. 坐标轴上的点的坐标特征．
4. 点 P（a，b）关于 对称点的坐标
5.两点之间的距离
6.线段 AB 的中点 C，若 则
二、函数的概念
1.概念：在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯
一的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1.函数 中自变量 的取值范围是 ;
函数 中自变量 的取值范围是 ．
例 2. 已 知 点 与 点 关 于 轴 对 称 ， 则 ，
．
例 3.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（10，0），点 B 的坐标为
（8，0）,点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形．
求点 C 的坐标．
例 4.阅读以下材料：对于三个数 a,b,c 用 M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用
min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如： ；
( 13)A m − ， (2 1)B n +， x m =
n =
原点
轴
轴
y
x
−−
−
−
),(
),(
),(
ba
ba
ba
),(),,(),,( 002211 yxCyxByxA
2,2
21
0
21
0
yyyxxx
+=+=
2
2y x
= − x
2 3y x= − x
{ } 1 2 3 41 2 3 3 3M
− + +− = =，，
21212211 PP)0()0()2( yyyPyP −＝， ，，，
21212211 PP)0()0()1( xxxPxP −＝， ， ，，
例 3 图
思考与收获
min{-1,2,3}=-1； 解决下列问题：
（1）填空：min{sin30o,sin45o,tan30o}= ；
（2）①如果 M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求 x；②根据①，你发现了结论“如果
M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 （填 a,b,c 的大小关系）”．
③运用②的结论，填空：M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若，
则 x + y= ．
（3）在同一直角坐标系中作出函数 y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x 的图象（不需
列表描点）．通过观察图象，填空：
min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 ．
【当堂检测】
1.点 在第二象限内， 到 轴的距离是 4，到 轴的距离是 3，那么点 的坐
标为（ ）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2.已知点 P(x,y)位于第二象限，并且 y≤x+4 , x,y 为整数，写出一个符合上述条件的
点 的坐标： ．
3.点 P(2m-1,3)在第二象限，则 的取值范围是（ ）
A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5
4.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线．
⑴由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 的坐标为（2，0），请在图中分
别标明 B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 、 的位置，并写出他们的坐
标: 、 ；
⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P(a,b)关于第
一、三象限的角平分线 l 的对称点 的坐标为 （不必证明）；
⑶已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的
距离之和最小，并求出 Q 点坐标．
{ } ( 1)min 1 2 1 ( 1).
a aa a
−− = − > −
≤ ；，，
P P x y P
P
m
A′
B′ C′
B′ C′
P′
x
y
O
例 4 图
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 -1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
O x
y
l
A B
A '
D '
E '
C
(第22题图）第 4 题图
思考与收获
第 12 课时 一次函数图象和性质
【知识梳理】
1．正比例函数的一般形式是 y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是 y=kx+b(k≠0).
2. 一次函数 的图象是经过（ ，0）和（0，b）两点的一条直线.
3. 一次函数 的图象与性质
【思想方法】数形结合
【例题精讲】
例 1. 已知一次函数物图象经过 A(-2,-3)，B(1,3)两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积.
例 2. 已知一次函数 y=(3a+2)x－(4－b),求字母 a、b 为何值时：
（1）y 随 x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限；
（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线 y=－4x+3；
（5）图象与 y 轴交点在 x 轴下方.
例 3. 如图，直线 l1 、l2 相交于点 A，l1 与 x 轴的交点坐标为（－1，0），l2 与 y
轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：
（1）求出直线 l2 表示的一次函数表达式；
（2）当 x 为何值时，l1 、l2 表示的两个一次函数的函
数值都大于 0？
k、b 的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0
图像的大致
位置
经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限
性质
y 随 x 的增大
而
y 随 x 的增大而
而
y 随 x 的增大
而
y 随 x 的增大
而
y kx b= +
k
b−
y kx b= +
思考与收获
x
y
O 3
2y x a= +
1y kx b= +
y
xO
B
A
例 4.如图，反比例函数 的图像与一次函数 的图像交于点 A(ｍ，
2)，点 B(－2, n )，一次函数图像与 y 轴的交点为 C.
（1）求一次函数解析式；
（2）求 C 点的坐标；
（3）求△AOC 的面积.
【当堂检测】
1.直线 y＝2x＋8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_______、_______；
2.一次函数 与 的图象如图，则下列
结论：① ；② ；③当 时， 中，
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.一次函数 ， 值随 增大而减小，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数 的图象如图，则 的图象可能是（ ）
6.已知整数 x 满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4 对任意一个 x，m 都取 y1，y2 中的较
小值，则 m 的最大值是（ ）
A.1 B.2 C.24 D.-9
7.如图，点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 在直线 y=x 上运动，当线段 AB 最短时，点
B 的坐标为 ( )
xy 2= bkxy +=
1y kx b= + 2y x a= +
0k < 0a > 3x < 1 2y y<
( 1) 5y m x= + + y x m
1m > − 1m < − 1m = − 1m <
2 3y x= −
y kx b= + 2y kx b= +
第 2 题图
第 5 题图
思考与收获
A.（0，0） B.（ ， ）
C.（－ ，－ ） D.（－ ，－ ）
第 13 课时 一次函数的应用
【例题精讲】
例题 1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了
鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 x（度）与相应电费 y
（元）之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为 100 度时，应交电费 元；
⑵ 当 x≥100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；
⑶ 月用电量为 260 度时，应交电费多少元？
例题 2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后
原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时
出发，设步行的时间为 t（h），两组离乙地的距离分别为 S1（km）和 S2(km)，图
中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km；
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙
地到达丙地所用的时间分别是多少？
（3）求图中线段 AB 所表示的 S2 与 t 间的函数
关系式，并写出 t 的取值范围．
例题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 （万元）与销售量 （万升）
之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为
4 万元，截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万元．（销售利润＝（售价－成本价）
×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量 为多少时，销售利润为 4 万元；
（2）分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在 OA、AB、BC 三段
所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
2
2
2
2−
2
1
2
1
2
2
2
2
y x
x
第 7 题图
2·
4·
6·
8·
S(km)
20 t(h)A
B
思考与收获
图（1）
2O 5 xA B
C
P
D
图（2）
第 1 题图
例题 4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工 1000 只同一型号的奥运会吉祥物，
每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间
推迟两天开始加工．开始时，甲车间有 10 名工人，乙车间有 12 名工人，图中线
段 OB 和折线段 ACB 分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列
各题：（1）图中线段 OB 反映的是________车间加工情况；
（2）甲车间加工多少天后，两车间加工
的吉祥物数相同？
（3）根据折线段 ACB 反映的加工情况，
请你提出一个问题，并给出解答．
【当堂检测】
1.如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出
发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路
程为 ，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图
象如图(2)所示，则△BCD 的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学
生测试的路程 s（米）与时间 t（秒）之间的函
数关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD，
下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲先到终点
B．乙测试的速度随时间增加而增大
C．比赛到 29.4 秒时，两人出发后第一次相遇
D．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快
3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点
A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工作
单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班
后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下
坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单
位到家门口需要的时间是（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟
C．25 分钟 D．27 分钟
x
2
B
x（天）
A
C
18 20O
9601000
y（只）
第 2 题图
第 3 题图
思考与收获
1 日：有库存 6 万升，成本
价 4 元 / 升 ， 售 价 5 元 /
升．
13 日：售价调整为 5.5 元/
升．
15 日：进油 4 万升，成本
价 4.5 元/升．
31 日：本月共销售 10 万升．
4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返
回．设汽车从甲地出发 x(h)时，汽车与甲地的距离为 y(km)，y 与 x 的函数关系如
图所示．根据图像信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说
明理由；
（2）求返程中 y 与 x 之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的
距离．
第 14 课时 反比例函数图象和性质
【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y＝
或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数．
2. 反比例函数的图象和性质
3． 的几何含义：反比例函数 y＝ (k≠0)中比例系数
k 的几何意义，即过双曲线 y＝ (k≠0)上任意一点 P
作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形
OAPB 的面积为 .
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v（米／秒）与它所受的牵引
力 F（牛）之间的函数关系如右图所示：
（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
（2）当它所受牵引力为 1200 牛时，汽车的速度为多少千米／时？
（3）如果限定汽车的速度不超过 30 米／秒，则 F 在什么范围内？
k 的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质 在每一象限内,y 随 x 的
增大而
在每一象限内,y 随 x 的
增大而
k k
x
k
x
第 4 题图
o
y
x
y
xo
思考与收获
例 2 如图，一次函数 的图象与反比例函
数 的图象交于 两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
【当堂检测】
1. (2008 年河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则 m 的值
为 ．
2.（2008 年宜宾）若正方形 AOBC 的边 OA、OB 在坐标轴上，顶点 C 在第一象
限且在反比例函数 y＝ 的图像上，则点 C 的坐标是 .
3．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的
取值范围是 （ ）
A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0
4. (2008 年广东)如图,反比例函数图象过点 P,则它的解析式为( )
A.y＝ (x>0) B.y＝－ (x>0)
C.y＝ (x<0) D.y＝－ (x<0)
5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P ( kPa )
是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于 120
kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 m3 B．小于 m3
C．不小于 m3 D．小于 m3
6 ．（ 2008 巴 中 ） 如 图 ， 若 点 在 反 比 例 函 数
的 图 象 上 ， 轴 于 点 ，
的面积为 3 ，则 ．
7．对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在它图象上 B．图象在第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时，
随 的增大而减小
8.（2008 年乌鲁木齐）反比例函数 的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限
9．某空调厂装配车间原计划用 2 个月时间（每月以 30 天计算），每天组装 150 台
y kx b= +
my x
= ( 21) (1 )A B n− ，， ，
AOB△
x
1
3ky x
−=
1
x
1
x
1
x
1
x
5
4
5
4
4
5
4
5
A
( 0)ky kx
= ≠ AM x⊥ M
AMO△ k =
2y x
=
( 2 1)− −，
0x > y x 0x <
y x
6y x
= −
第 5 题图
O
y
x
B
A
1
-1
y
O x
P
第 4 题图
第 6 题图
思考与收获
y
xO
空调.
（1）从组装空调开始，每天组装的台数 m（单位：台／天）与生产的时间 t（单
位:天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天
至少要组装多少空调？
第 15 课时 二次函数图象和性质
【知识梳理】
1. 二次函数 的图像和性质
＞0 ＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当 x＝ 时，y 有最 值 当 x ＝ 时 ， y 有 最
值
在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增
减
性 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2. 二次函数 用配方法可化成 的形式，其中
＝ ， ＝ .
3. 二次函数 的图像和 图像的关系.
4. 二次函数 中 的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1.已知二次函数 ，
(1) 用配方法把该函数化为
(其中 a、h、k 都是常数且 a≠0)形式，并画
出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称
2( )y a x h k= − +
a a
cbxaxy ++= 2 ( ) khxay +−= 2
h k
2( )y a x h k= − + 2axy =
cbxaxy ++= 2 cba ,,
2 4y x x= +
2( )y a x h k= − +
思考与收获
轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标.
例 2. （2008 年大连）如图，直线 和抛物线
都经过点 A(1，0)，B(3，2)．
⑴ 求 m 的值和抛物线的解析式；
⑵ 求不等式 的解集．(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线 的顶点坐标是 .
2．将抛物线 向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象，那么 的值是 ．
4.二次函数 的最小值是（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1
5. 请写出一个开口向上，对称轴为直线 x＝2，且与 y 轴的
交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
6.已知二次函数 的部分图象如右图所示，则
关 于 的 一 元 二 次 方 程 的 解
为 ．
7.已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图所示，根据其中提供的信息，
可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1 或 x≥3
8. 二次函数 （ ）的图象如图所示，则下列结论：
① ＞0； ② ＞0； ③ b2-4 ＞0，其中正确的个数是( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
第 7 题图 第 8 题图
9. 已知二次函数 的图象经过点（－1，8）.
（1）求此二次函数的解析式；
mxy +=
cbxxy ++= 2
mxcbxx +>++2
( )22−= xy
23y x= −
2 23 1y ax x a= − + −
a
2( 1) 2y x= − +
2 2y x x m= − + +
x 2 2 0x x m− + + =
cbxaxy ++= 2 0≠a
a c a c
2 4 3y ax x= − +
第 3 题图
第 6 题图
思考与收获
（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
x 0 1 2 3 4
y
（3）根据图象回答：当函数值 y<0 时，x 的取值范围是什么？
第 16 课时 二次函数应用
【知识梳理】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .
3．二次函数 通过配方可得 ，其抛物
线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时， 有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时， 有最 （“大”或“小”）值是 ．
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 OP，
柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的
抛物线路径落下（如图所示）.若已知 OP＝3 米，喷出的水流的最高点 A 距水平
面的高度是 4 米，离柱子 OP 的距离为 1 米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
例 2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林
专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投
资量 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函
数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）
⑴ 分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式；
cbxaxy ++= 2
2
2 4( )2 4
b ac by a x a a
−= + +
x =
0a >
x = y
0a <
x = y
1y
x 2y x
1y 2y x
思考与收获
⑵ 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他
能获取的最大利润是多少？
（1） （2）
【当堂检测】
1. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为 16 米，跨度为 40
米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图，则
此抛物线的解析式为 ．
2. 某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年
增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2
3．如图，用长为 18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴ 设矩形的一边为 面积为 (m2)，求 关于 的函数关系式，并写出自
变量 的取值范围；
⑵ 当 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
4．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线
的 一 部 分 ， 根 据 关 系 式 回
答：
⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
⑶ 该同学的成绩是多少？
5.某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间
存在正比例函数关系： ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元；
信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间
y x
x
x
( )mx y
3
5
3
2
12
1 2 ++−= xxy
Ay x
Ay kx=
By x
第 1 题图
思考与收获
存在二次函数关系： ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；
当投资 4 万元，可获利润 3.2 万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2) 如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利
润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
第 17 课时 数据的描述、分析(一)
【知识梳理】
1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念；
2.理解样本平均数、极差、方差、 标准差、中位数、众数.
【思想方法】
1. 会运用样本估计总体的思想
【例题精讲】
例 1.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）
如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是 环，中位数
环，极差是 环,方差是 环 .
例 2.已知样本 x1、x2、x3、x4 的平均数是 2，则 x1+3、x2+3、x3+3、x4+3 的平均
数为 ; .已知样本 x1，x2，x3，…，xn 的方差是 1，那么样本 2x1+3，
2x2+3，2x3+3，…，2xn+3 的方差是 ， 标准差是 .
例 3.小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位：分)分别是：120，115，
x，60，85,80．若平均分是 93 分，则 x=_________，一组数据 2，4，x，2，
3，4 的众数是 2，则 x＝ ．
例 4.为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取 1000
份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的 1000 名学生,则总体
是 ,个体是 ,
样本是 ,样本容量是 .
例 5．某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向“希望工程”
捐献图书,全班 40 名同学共捐图书 320 册．特别值得一提的是李扬、王州两
位同学在父母的支持下各捐献了 50 册图书. 班长统计了全班捐书情况如下
表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：
册
数 4 5 6 7 8 5
0
人 6 8 1 2
2
By ax bx= +
2
思考与收获
⑴ 分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数；
⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能
反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由．
【当堂检测】
1.下列调查方式，合适的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式.
B．要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式.
C．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查
方式.
D．要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式.
2.刘翔为了备战 2008 年奥运会，刻苦进行 110 米跨栏训练，为判断他的成绩是否
稳定，教练对他 10 次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这 10 次成绩
的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
3.人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
数量（件） 100 180 220 80 550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，来解释这一现象的统计知识是( )
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4.下列调查方式中．不合适的是（ ）
A．了解 2008 年 5 月 18 日晚中央也视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率,
采用抽查的方式.
B．了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式.
C．了解某型号联想电脑的使用寿命，采用普查的方式.
D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式.
5.某校参加“姑苏晚报·可口可乐杯”中学生足球赛的队员的年龄如下(单位：岁)：
13，14，16，15，14，15，15，15，16，14，则这些队员年龄的众数是＿＿＿
＿．
6.在校园歌手大赛中，七位评委对某位歌手的打分如下：9.8，9.5，9.7，
9.6，9.5，9.5，9.6，则这组数据的平均数是 ，极差是 .
7.数据 ， ， ， 的方差 ．
数 5
1 3− 4 2− 2S =
思考与收获
8.江苏省《居住区供配电设施建设标准》规定，住房面积在 120m2 及以下的
居民住宅，用电的基本配置容量(电表的最大功率)应为 8 千瓦．为了了解某
区该类住户家用电器总功率情况，有关部门从中随机调查了 50 户居民，所
得数据(均取整数)如下：
家用电器总功率
（单位：千瓦） 2 3 4 5 6 7
户数 2 4 8 12 16 8
（1）这 50 户居民的家用电器总功率的众数是 千瓦，中位数
是 千瓦；
（2）若该区这类居民约有 2 万户，请你估算这 2 万户居民家用电器总功率
的平均值；
（3）若这 2 万户居民原来用电的基本配置容量都为 5 千瓦，现市供电部门
拟对家用电器总功率已超过 5 千瓦用户的电表首批增容，改造为 8 千瓦,
请计算该区首批增容的用户约有多少户？
第 18 课时 数据的描述、分析(二)
【知识梳理】
1. 明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系．
【思想方法】
1. 基本图形的识别．
【例题精讲】
例 1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教
育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲户比乙户大 B.乙户比甲户大
C．甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
例 2.在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天
来到城区中心的十字路口，观察、统计上午 7：00～12：00 中闯红灯的人
次．制作了如下的两个数据统计图．
(1)求图(一)提供的五个数据(各时段闯红灯人次)的众数和平均数．
(2)估计一个月(按 30 天计算)上午 7：00～12：00 在该十字路口闯红灯
的未成年人约有________人次．
(3)请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议．
例 2 图
例 1 图
思考与收获
例 3.数学课上，年轻的刘老师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法：
①教师讲,学生听；
②教师让学生自己做；
③教师引导学生画图，发现规律；
④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图．
数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级 8 个班 420 名同学手中，
要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他随机抽取了 60 名学生的调查问卷，统
计如图：
（1）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中方法③的圆心角．
（2）年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？
（3）假如抽取的 60 名学生集中在某两个班，这个调查结果还合理吗？为什么？
（4）请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议．
【当堂检测】
1.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时”．为此，某市就“你每
天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内 300 名初中 生．根据调
查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A 组： ； B 组：0.5h≤t＜1h
C 组： D 组：
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C 组的人数是 ；
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该辖区约有 24 000 名初中学生，请你估计
其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？
0.5ht <
1h 1.5ht <≤ 1.5ht ≥
第 1 题图
思考与收获
2.（2009 年吉林省）某校七年级有 13 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，
要取前 6 名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，
还需要知道这 13 名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
3.(2009 年鄂州)有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5，那么这组
数据的方差是（ ）
A.10 B. C.2 D.
第 19 课时 概率问题及其简单应用(一)
【知识梳理】
1．了解频数、频率、必然事件和不可能事件、确定事件、随机事件、频率的
稳定性等概念，并能进行有效的解答或计算．
2．在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）
求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件．
3. 必然事件发生的概率是 1，记作 P（A）=1 不可能事件发生的概率为 0，记作 P
（A）=0 随机事件发生的概率是 0 和 1 之间的一个数，即 0＜P（A）＜1
【思想方法】
概率主要是研究现实生活中和客观世界中的随机现象，它通过对事件发生可
能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展 概率的思想方法
也越来越重要．因此， 概率知识是各地中考重点考查内容之一．
加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下
中考的热点问题．
【例题精讲】
例 1.（2008 年张家界）下列事件中是必然事件的是（ ）
A.明天我市天气晴朗 B.两个负数相乘，结果是正数
C.抛一枚硬币，正面朝下 D.在同一个圆中，任画两个圆周角，度数相等
例 2.在一次抽奖游戏中，主持人说，这次中奖的可能性有 10%，就是说 100 个
人中有 10 个人可以获奖.旁边的一个人就想，我在这儿等着，等前面的 90 个人抽
完，看看他们抽到奖没有，如果他们没有抽到奖，那我就可以抽到奖了.因为中奖
的可能性是 10%.你说这个人的想法对吗？
例 3. （2008 年湘潭）某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生
进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查．根据收回的问卷，学校绘制
了“频率分布表”和“频数分布条形图”（如图 2）．请你根据图表中提供的信息，解
答下列问题．
频率分布表：
代号 教学方式 最喜欢的频数 频率
10 2
思考与收获
1 老师讲，学生听 20 0.10
2 老师提出问题，学生探索思考 100
3 学生自行阅读教材，独立思考 30 0.15
4 分组讨论，解决问题 0.25
（1）补全“频率分布表”；
（2）在“频数分布条形图”中，将代号为“4”的部分补充完整；
（3）你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式，请提出你的建议，并简要
说明理由．（字数在 20 字以内）
【当堂检测】
1．下列事件你认为是必然事件的是（ ）
A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B．明天是晴天
C．打开电视机，正在播广告; D．太阳总是从东方升起
2．将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片
任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称
图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3
个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复
摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
4．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min 跳 160 次为达标，小敏记录了他预测
时，1min 跳的次数分别为 145，155，140，162，164，则他在该次预测中达标
的概率是_________．
5．有一道四选一的选择题，某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率
是________．
6．在一所 4000 人的学校随机调查了 100 人，其中有 76 人上学之前吃早饭，在
这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________．
7. 书架上有数学书 3 本，英语书 2 本，语文书 5 本，从中任意抽取一本是数学书
的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小华与小丽设计了 两种游戏：
游戏 的规则：用 3 张数字分别是 2，3，4 的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上
放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次
随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；
若两数字之和为奇数，则小丽获胜．
1
5
2
5
3
5
4
5
1
10
3
5
3
10
1
5
A B，
A
思考与收获
游戏 的规则：用 4 张数字分别是 5，6，8，8 的扑克牌，将牌洗匀后背面朝
上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中
再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，
则小华获胜；否则小丽获胜．
请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．
第 20 课时 概率问题及其简单应用(二)
【知识梳理】
1．频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次
数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率）总是在一个固定数值附近摆
动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生
的可能性的大小．
2．概率的性质：P（必然事件）= 1，P（不可能事件）= 0，
0
cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ
C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ> cosθ
例 题 3. （ 1 ） 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90° ， AD 是 ∠BAC 的 平 分 线 ，
∠CAB=60°，CD= ，BD=2 ，求 AC，AB 的长．
1
2
4
5
2
3
3 3
思考与收获
例题 4.“曙光中学”有一块三角形状的花园 ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40
米，BC=25 米，你能求出这块花园的面积吗？
例题 5.某片绿地形状如图所示，其中 AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，
CD=100m，求 AD、BC 的长．
【当堂检测】
1.若∠A 是锐角，且 cosA=sinA，则∠A 的度数是（ ）
A.300 B.450 C.600 D.不能确定
2.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=450，∠C=1200，
AB=8，则 CD 的长为（ ）
A. B. C. D.
3.在 Rt△ABC 中，∠C=900，AB=2AC，在 BC 上取一点 D，使 AC=CD，则 CD：BD=
（ ）
A. B. C. D.不能确定
4.在 Rt△ABC 中，∠C=900，∠A=300，b= ，则 a= ，c= ；
5.已知在直角梯形 ABCD 中，上底 CD=4，下底 AB=10，非直角腰 BC= ，
则底角∠B= ；
6.若∠A 是锐角，且 cosA= ，则 cos（900-A）= ；
7.在 Rt△ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= ，求 tanA，BC．
8.在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AB= ，AC=BC= ，求 AD 的长．
63
8 64 3
28 24
2
13 +
13 −
2
3
310
34
5
3
2
3
22 52
B
A D
C
A
B CD
第 2 题图
第 8 题图
思考与收获
9. 去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地
师生交往，学校准备在相距 2km 的 A、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在
A 地北偏东 600 方向，B 地北偏西 450 方向的 C 处有一个半径为 0.7km 的公园，问
计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
第 28 课时 锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度
i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值．
2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角．
俯角：俯视时，视线与水平线的夹角．
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】
例题 1.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 ，关于 的三角函数值
与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，梯子越陡 B． 的值越大，梯子越陡
C． 的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与 的函数值无关
例题 1 图
例题 2.如图，一束光线照在坡度为 的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与
地面平行的光线，则这束与坡面的夹角 是 度．
A A∠
sin A cos A
tan A A∠
1 3:
α
C
A B
第 9 题图
思考与收获
例题 2 图 例题 3 图
例题 3.如图，张聪同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为
30°，旗杆底部 B 点的俯角为 45°．若旗杆底部 B 点到该建筑的水平距离 BE＝6
米，旗杆台阶高 1 米，求旗杆顶部 A 离地面的高度（结果保留根号）
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角 的斜坡向上滚动了 米，则钢球距地面的高度是(单位：米)
（ ）
A． B．
C． D． 第 1 题图
2.某渔船上的渔民在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60o 方向处，这艘渔船以每小时
28 海里的速度向正东方向航行，半小时后到达 B 处，在 B 处观测到灯塔 M 在北
偏东 30o 方向处．问 B 处与灯塔 M 的距离是多少海里？
第 2 题图
3.如图所示，小明家住在 32 米高的 楼里，小丽家住在 楼里， 楼坐落在
楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 ．
1 3:i =
A
╭
α
╭
C
E B
A
31 5
5cos31 5sin31
5cot31 5tan31
A B B A
30
A B
M
东
北
60
30
思考与收获
（1）如果 两楼相距 米，那么 楼落在 楼上的影子有多长？
（2）如果 楼的影子刚好不落在 楼上，那么两楼的距离应是多少米？
（结果保留根号）
第 3 题图
第 29 课时 多边形及其内角和、梯形
【知识梳理】
1. 多边形内角和，外角和，对角线
2. 正多边形的内切圆和外接圆
3.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计
【思想方法】
解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和
运用.
【例题精讲】
例题 1.一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 5 倍，则这个多边形是( )
A． 正五边形 B． 正十边形 C．正十二边形 D．不存在．
例题 2.只用一种正多边形进行镶嵌，在下列的正多边形中，不能镶嵌成一个平面
的是（ ）．
A．正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
例题 3．（1）n 边形的内角和等于 ，多边形的外角和都等于 ．
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是 边形．
（3）一个多边形的每个外角都是 300， 则这个多边形是 边形．
（4）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度．
（5）一个五边形五个外角的比是 2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度
数分别是 ．
（6）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 度，外角和
例题 4.半径为 2 的圆的内接正六边形边长为_______,外切正三角形的边长为
__________.
例题 5.如图，四边形 中， ， ， ，
，则该四边形的面积是 ．
A B， 20 3 A B
A B
ABDC 120ABD∠ = ° AB AC⊥ BD CD⊥
4 5 3AB CD= =，
A
楼
B
楼C
E
G F H
D30°
A
B
DC
思考与收获
例题 6．一个多边形的外角和是内角和的 ，它是几边形？
例题 7．一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是几边形？
例题 8.五角星图案中间部分的五边形 ABCDE 是一个正五边形，则图中∠ABC 的度
数是多少？
【当堂检测】
1.填空：
（1）n 边形的内角和为 720°，则 n＝______．
（2）五边形的内角和与外角和的比值是______．
（3）过六边形的每一个顶点都有______条对角线．
（4）过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形．
（5）将正六边形绕其对称中心 O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么
旋转的角度至少是 度．
2．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形
4.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于 n，则 n 的值是
A．30° B．120° C．135° D．108°
5.n 边形与 m 边形内角和度数差为 720°，则 n 与 m 的差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6.下列角度中，不是多边形内角和的只有（ ）
A．540° B．720° C．960° D．1080°
7．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为 1700°，求多边形的边数．
9.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A 应等于 90º，∠B、∠C 应分别是 29º
和 21º，检验人员度量得∠BDC＝141º，就断定这个零件不合格．你能说明理
由吗？
1
5
A
B
C
D
E
思考与收获
E
BA F
CD
10．一个多边形，它的外角最多有几个是钝角？说说你的理由．
11．在四边形 ABCD 中，∠D=60°，∠B 比∠A 大 20°，∠C 是∠A 的 2 倍，
求∠A，∠B，∠C 的大小．
12. 一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别
说出内角和和外角和变化情况．
第 30 课时 平行四边形
【知识梳理】
1、掌握平行四边形的概念和性质
2、四边形的不稳定性．
3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件．
4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明．
【例题精讲】
例题 1.（2009 年 常 德 市 ）下列命题中错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行的四边形是梯形
例题 2. （2008 年 泰州市）在平面上，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于
O，且满足 AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）
；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使
∠BAC=∠CDB 成立，这样的条件可以是( )
A．（2）、（4） B．（2） C．（3）、（4） D．（4）
例题 3.（2009 年 威海）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连结 DE
并延长，交 AB 的延长线于 F 点， ．添加一个条件，使四边形 ABCD 是
平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A． B． C． D．
BO
DO
CO
AO =
AB BF=
AD BC= CD BF= A C∠ = ∠ F CDE∠ = ∠
思考与收获
例题 4．如图，在 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG= ，则 ΔCEF 的周长为（ ）
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
例题 5．（2009 年新疆）如图， 是四边形 的对角线 上两点，
．
求证：（1） ．
（2）四边形 是平行四边形．
【当堂检测】
1．（2008 年 永州市）．下列命题是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短; B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．
C．一组对应边相等的两个等边三角形全等; D．对角线相等的四边形是矩形．
2．如图，一个四边形花坛 ，被两条线段 分成四个部分，分别
种 上 红 、 黄 、 紫 、 白 四 种 花 卉 ， 种 植 面 积 依 次 是 ， 若
， ，则有（ ）
A． B． C． D．都不对
3 ．（ 2009 襄 樊 ） 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 中 , 于 E
且 是一元二次方程 的根，则平行四边形
的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2009 年南宁市）如图（1），在边长为 5 的正方形 中，点 、 分别
是 、 边上的点，且 ， .
（1）求 ∶ 的值；
（2）延长 交正方形外角平分线 ，如图 2 试判断 的大小关
系，并说明理由；
AE BC⊥
AE EB EC a= = = ， a 2 2 3 0x x+ − =
4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或
24
E F， ABCD AC
AF CE DF BE DF BE= =， ， ∥
AFD CEB△ ≌△
ABCD
ABCD MN EF，
1 2 3 4S S S S， ， ，
MN AB DC∥ ∥ EF DA CB∥ ∥
1 4S S= 1 4 2 3S S S S+ = + 1 4 2 3S S S S=
ABCD
ABCD
ABCD E F
BC DC AE EF⊥ 2BE =
EC CF
EF CP P于点 AE EP与
红 紫
白黄
D
M
A
F
E C
N
B
A B
D
E
F
C
A D
CE
C
B
图 5
第 3 题图 第 4 题图
第 2 题图 第 3 题图
思考与收获
（3）在图（2）的 边上是否存在一点 ，使得四边形 是平行四边形？
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
第 31 课时 矩形、菱形、正方形（一）
【知识梳理】
1．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.
2. 矩形的判定：（1）有一个角是 90°的平行四边形；（2）三个角是直角的四边
形；（3）对角线相等的平行四边形.
3. 菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角.
4.菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形；（2）四边相等的四边形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形.
5.正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的性质.
6.正方形的判定：（1）一组邻边相等的矩形；（2）有一个角是直角的菱形.
【例题精讲】
例题 1. 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到
D′ 处，折痕为 EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.
例题 2.如图，正方形 ABCD 和正方形 A′OB′C′是全等图形，则当正方形 A′OB′C′绕
正方形 ABCD 的中心 O 顺时针旋转的过程中．
AB M DMEP
A
B C
D
E
F
D＇
′
A D
CB E B CE
DA
F P
F
图（1） 图（2）
思考与收获
（1）证明：CF=BE；
（2）若正方形 ABCD 的面积是 4，求四边形 OECF 的面积．
例题 3.如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折
叠，使点 B 落到点 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E.
（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并证明.
（2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，
PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H，试求 PG+PH 的值，并
说明理由.
例题 4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12,AC=20，两条对角线相交于点 O．以
OB、OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB1C，对角线相交于点 A1，再以 A1B1、A1C
为邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C，对角线相交于点 O1；再以 O1B1、O1C1 为
邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1……依次类
推．
（1）求矩形 ABCD 的面积；
（2）求第 1 个平行四边形 OBB1C、第 2 个平行四
边形 A1B1C1C 和第 6 个平行四边形的面积．
【当堂检测】
1. 如果菱形的边长是 a，一个内角是 60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A． a B． a C．a D． a
2.在菱形 ABCD 中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线 AC 等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3. 如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，DE⊥AB，
垂足为 E ， ，则下列结论①DE=3cm ；
1
2
3
2 3
5
4Acos =
A′
G
D
B
C
A
A
B
C
D
E
第 3 题图
思考与收获
②EB=1cm ；③ 中正确的个数为（ ）A．3 个 B ． 2 个
C．1 个 D．0 个
4. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重
合，折痕为 DG，则 AG 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
6. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP⊥CD
于点 P，求∠FPC 的度数.
第 32 课时 矩形、菱形、正方形（二）
【例题精讲】
例题 1.如图所示，在 中， 将 绕点 顺时针方
向旋转 得到 点 在 上，再将 沿着 所在直线翻转
得到 连接
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 并延长交 于 连接 请问：四边形 是什么特殊平行
四边形？为什么？
例题 2.如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把△ACD 沿 CA 方向平移得到
．
（1）证明 ；
（2）若 ，试问当点 在线段
AC 上的什么位置时，四边形 是菱
形，并请说明理由．
Rt ABC△ 90ABC = °∠ ． Rt ABC△ C
60° DEC△ ， E AC Rt ABC△ AB
180° ABF△ ． AD．
AFCD
BE AD G， CG， ABCG
2
ABCD 15S cm=菱形
3
4
2
3
A D
F C
E
G
B
A C D′ ′ ′△
A AD CC B′ ′ ′△ ≌△
30ACB∠ = ° C′
ABC D′ ′
A
D
E P
C
B F
第 4 题图
第 5 题图
C
B
A
D
A′
C′
D′
思考与收获
例题 3. 如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=12cm，
AC=6cm，点 E 在线段 BO 上从点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 F 在线段 OD 上从
点 O 以 2cm/s
的速度运动.
（1）若点 E、F 同时运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，四边形 AECF 是
平行四边形；
（2）在（1）的条件下，①当 AB 为何值时，四边形 AECF 是菱形；
②四边形 AECF 可以是矩形吗？为什么？
例题 4. 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC
于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连
接 EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，
请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，
问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
【当堂检测】
1.已知菱形的周长为 20，两对角线之和为 14，则菱形的面积为 ．
2. 如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位
置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ）
D
F
B
A D
C
E
G
第 24 题图②
F
B
A
C
E
第 24 题图③
FB
A D
C
E
G
第 24 题图①
E
D
B
C′ F C
D′
A
思考与收获
A.70° B. 65° C. 50° D. 25°
3.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为
折痕，∠BAE＝30°，AB＝ ，折叠后，点 C 落在 AD 边
上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 BC 的长
为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5.已知四边形 ABCD，AD//BC，连接 BD.
（1）小明说：“若添加条件 BD2=BC2+CD2，则四边形 ABCD 是矩形”.你认为小明
的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个
反例.
（2）若 BD 平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：
四边形 ABCD 是正方形．
第 33 课时 四边形综合
【例题精讲】
例题 1．如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠DAB 交 DC 于点 E，连接 BE，过 E
作 EF⊥BE 交 AD 于 F．
(1)求证：∠DEF＝∠CBE；
(2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由．
例题 2．如图，矩形 ABCD 中，AB=3cm，AD=6cm，点 E 为 AB 边上的任意一点，
四边形 EFGB 也是矩形，且 EF=2BE，则 S△AFC ．
例题 3．如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点
上,BG=10.
(1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积.
OABC
45 2AOC OC∠ = =°， B
( 21)， (1 2)， ( 2 11)+ ， (1 2 1)+，
3
3 32
2cm
x
y
O
C B
A
D
CB
A
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
A B
CD E
F
A D
C
EF
G B
思考与收获
(2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折
痕 GF 的长.
例题 4．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两
个动点，且满足 AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；
（3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.
例题 5．在边长为 6 的菱形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿 A→B→C 向终点 C
运动，连接 DM 交 AC 于点 N．
（1）如图（1），当点 M 在 AB 边上时，连接 BN．
①求证： ；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN = ，求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值；
（2）如图（2），若∠ABC = 90°，记点 M 运动所经过的路程为 x（6≤x≤12）．
试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．
【当堂检测】
1. 如图所示，正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，
连接 BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定
四边形 BEDF 是菱形（ ）
ABN ADN△ ≌△
α α
HA
B C
DE
F
G
A
B C
DE
F
G
图（1） 图（2）
A
B C
DEF
G
H (A)
(B)
C B
M
A
N
D
图 1
C M B
N
AD
图 2
A
B
D
C
E
F
1
2
思考与收获
A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60° D、AB=AF
2. 如图，直线 上有三个正方形 ，若 的面
积分别为 5 和 11，则 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
3. 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB、CD 为
边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方形
ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm2,那么矩形 ABCD
的面积是（ ）
A．21cm2 B．16cm2
C．24cm2 D．9cm2
4.如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP =
BC，则∠ACP 度数是 ．
5．如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的
中点，点 G、H 在 DC 边上，且 GH= DC．若 AB=10，
BC=12,则图中阴影部分面积是多少？
第 34 课时 相似形
【知识梳理】
1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．
2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应
边比的平方．
3、相似三角形的概念、性质
4、两个三角形相似的条件．
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——A 形、X 形……
【例题精讲】
例题 1.△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为
15．求△ A′B′C′最短边的长．
变化:△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为
15．求△ A′B′C′的周长．
例题 2.如图，小正方形的边长均为 l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC
l a b c， ， a c，
b
2
1
a
b
c
l
G
D
E
A
C
F
GH
B C
DA
P
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
思考与收获
CB
A
A
B
C D
E
相似的是( )
例题 3.如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，EC∥AB，EB ∥DC．
（1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？
（2）若△ABE 的面积为 3，△CDE 的面积为 1，求△BCE 的面积．
例题 4 .在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使 B 点与 C 点重合，
如图，则折痕 DE 的长是多少？
【当堂检测】
1.若 ，则 ．
2.已知三个数 1，2， ，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这
个数是________.
3.已知数 3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中
项，则这个数是 ．
4. 如图，D 是△ABC 的边 AB 上的点，请你添加
一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加
的条件是_____ ．
5.在比例尺为 1：8000 的南京市城区地图上，太平南路的长度约为 25 cm，它的实
际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
6.下列命题中，正确的是（ ）
A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似
C.所有的等边三角形都相似 D.所有的矩形都相似
3
12 =−
n
nm =
n
m
3
B C
A
D
第 4 题
思考与收获
7. 如图，在□ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，连结 DE，交 AC 于点 G，交 BC
于点 F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )
A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对
8. 如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点 P 应在（ ）
A．P1 处 B．P2 处 C．P3 处 D．P4 处
9.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所
示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ）
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
第 35 课时 相似形的应用
【知识梳理】
1. 相似三角形的性质：对应边（高）的比、周长比等于相似比；面积比等于相似
比的平方．
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——A 形、X 形……
【例题精讲】
例题 1．如图，王华晚上由路灯 A 下 B 处走到 C 处时，测得
影子 CD长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处，测得影子
EF 长为 2 米，王华身高是 1.5 米，则路灯 A 高度等于（ ）
A．4.5 米 B．6 米 C．7.2 米 D．8 米
例题 2．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，
要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、
AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
G
F
A D
B C
E 第 7
题
P4
P3
P2
P1C
A B
D
第 8 题 第 9 题
思考与收获
例题 3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映
的荧屏的规格为 2m×2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头
多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
例题 4. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB
例题 5. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 DC 中点，直线 BE 交 AC 于 F，交
AD 的延长线于 G；请说明：EF·BG=BF·EG
【当堂检测】
1．如图 1，铁道口栏杆的短臂长为 1.2m，长臂长为 8m，当短臂端点下降 0.6m 时，
长臂端点升高________m（杆的粗细忽略不计）．
2．如图 2 所示，在△ABC 中，DE∥BC，若 ，DE=2，则 BC 的长为
________．
3．如图 3 所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为 BC 上一点，过点 D 作 DE⊥BC
交 AB 于 E，若 ED=1，BD=2，则 DC 的长为________．
4．如图 4，有两个形状相同的星星图案，则 x 的值为（ ）
1
3
AD
AB
=
A
B
D E
F
C
A B
CD E
F
G
第 1
题
第 2
题
第 3
题
思考与收获
A．15 B．12 C．10 D．8
5．如图 5，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，若 AD=4，
DB=2，则 DE：BC 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚 B 距墙脚 60cm，梯上点 D 距离墙角
50cm，BD 长 55cm，求出梯子的长．
第 36 课时 圆的基本性质
【知识梳理】
1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦：
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图
形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是
直角；900 的圆周角所对的弦是直径．
3．三角形的内心和外心:
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：
4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一
半．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【例题精讲】
例题 1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24
米，拱的半径为 13 米，则拱高为 （ ） A．5 米
B．8 米 C．7 米 D．5 米
例题 2.如图⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动
点，则 OM 不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2
3
1
2
3
4
3
5
3
A
E
CB
D ┌
┌
第 4 题 第 5 题
第 6 题图 思考与收获
例题 1 图 例题 2 图 例题 3 图 例题 4 图
例题 3.如图⊙O 弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则⊙O 半径
为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例题 4.如图，⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ，则弦 AB 所对
圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或 150°D.60°或 120°
例题 5． AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为
，则弦 CD 的长为（ ）A． B． C． D．
例题 6.如图， 是以线段 为直径的 的切线，
交 于点 ，过点 作弦 垂足为点
，连接 ．（1）仔细观察图形并写出四个不
同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，
③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助
线）（2） = ， = ，求 的半径
例题 6 图
【当堂检测】
1.如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP．若阴影部分的
面积为 ，则弦 AB 的长为（ ） A．3 B．4 C．6
D．9
2.如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C 的大小为（ ）
A．28° B．56° C．60° D．62°
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图
3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB＝30°, ⊙O 的半径为 ，
则弦 CD 的长为（ ） A． B． C． D．
4.⊙O 的半径为 10cm，弦 AB＝12cm，则圆心到 AB 的距离为（ ）
A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连结 OC，若 OC＝5，CD＝8，
则 tan∠COE＝（ ） A． B． C． D．
π9
3
cm3 3 cm2 3cm 2 3cm 9cm
BC AB O⊙
AC O⊙ D D DE AB⊥ ，
F BD BE、 ．
A∠ 30° CD 2 3
3 O⊙ r．
cm3
3 cm2 3cm 2 3cm 9cm
3
5
4
5
3
4
4
3
思考与收获
6．如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ ，BD＝ ，
则 AB 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角
器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 ，
那么在大量角器上对应的度数为__________ （只需写出 ～ 的角度）．
第 7 题 图 第 8 题图 第 9
题图
8.如图，⊙O 的半径为 5，P 为圆内一点，P 点到圆心 O 的距离为 4，则过 P 点的
弦长的最小值是_______．
9.如图，AB 是⊙0 的直径，弦 CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝______.
10．如图，半圆的直径 ，点 C 在半圆上， ．
（1）求弦 的长；（2）若 P 为 AB 的中点， 交 于点 E，求
长．
第 37 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1. 直线与圆的位置关系：
2. 切线的定义和性质：
3.三角形与圆的特殊位置关系：
4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为 d，半径分别为 ）
相交 ； 外切 ；
内切 ； 外离 ； 内含
【注意点】
与圆的切线长有关的计算．
【例题精讲】
例 1.⊙O 的半径是 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则
直线 a 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
例 2. 如图 1 ，⊙O 内切于 ，切点分别为
． ， ，连结 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
2 2 3
P 65°
° 0° 90°
10AB = 6BC =
AC PE AB⊥ AC PE
21,rr
⇔ 2121 rrdrr +<<− ⇔ 21 rrd +=
⇔ 21 rrd −= ⇔ 21 rrd +> ⇔ 210 rrd −<<
ABC△
D E F， ， 50B∠ = ° 60C∠ = ° OE OF DE DF， ， ，
EDF∠
40° 55° 65° 70°
D
O
A
F
CB
E
例题 2 图
P B
C
E
A
第 10 题图
思考与收获
例 3. 如图，已知直线 L 和直线 L 外两定点 A、B，且 A、B 到直线 L 的距离相等，
则经过 A、B 两点且圆心在 L 上的圆有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．无数个 D．0 个或 1 个或无数个
例 4．已知⊙O1 半径为 3cm，⊙O2 半径为 4cm，并且⊙O1 与⊙O2 相切，则这两个
圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm
例 5．两圆内切，圆心距为 3，一个圆的半径为 5，另一个圆的半径为
例 6．两圆半径 R=5，r=3，则当两圆的圆心距 d 满足___ ___时，两圆相交；
当 d满足___ ___时，两圆不外离．
例 7．⊙O 半径为 6.5cm，点 P 为直线 L 上一点，且 OP=6.5cm，则直线与⊙O
的位置关系是____
例 8．如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB
于点 E、F，切点 C 在弧 AB 上，若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是 _．
例 9. 如图，⊙M 与 轴相交于点 ， ，与 轴切于点 ，则圆心
的坐标是
例 10. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙A，AC 为⊙O 的直径，弦 DB⊥AC，垂足为
M，过点 D 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 E，若 AC=10，tan∠DAE= ，求 DB
的长．
【当堂检测】
1.如果两圆半径分别为 3 和 4，圆心距为 7，那么两圆位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为 8cm 和 2cm，则圆心距 AB 为（ ）
A．10cm B．6cm C．10cm 或 6cm D．以上答案均不对
3.如图，P 是⊙O 的直径 CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点 A，如果 PA＝ ，PB
＝1，那么∠APC 等于（ ）A. B. C. D.
4. 如图，⊙O 半径为 5，PC 切⊙O 于点 C，PO 交⊙O 于点 A，PA＝4，那么 PC
的长等于 （ ）
A）6 （B）2 （C）2 （D）2
5.如图，在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单位长)．⊙A 半径为
2，⊙B 半径为 1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移
x (2 0)A ， (8 0)B ， y C M
4
3
3
15 30 45 60
5 10 14
O
D CB
A
x
y
M
BAO
Cl
B
A
例题 3 图 例题 8 图 例题 9 图
•
A
B
P C
E
F
•O
例 题 10
图
思考与收获
第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图
O
O2O1
个单位长.
6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C＝ ，AO 的延长线交 BC 于点 D，AC＝
4，DC＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
A. B. C. D.
7.⊙O 的半径为 6，⊙O 的一条弦 AB 长 6 ，以 3 为半径⊙O 的同心圆与直线
AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
8.如图，在 中， ， 与 相切于
点 ，且交 于 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留
）．
9.如图，B 是线段 AC 上的一点，且 AB：AC=2：5，分别以 AB、AC 为直径画圆，
则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．
10. 如图，从一块直径为 a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆，则
剩下的纸板面积是___．
11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角
形的周长为 18cm．则大圆的半径是______cm．
12.如图，直线 AB 切⊙O 于 C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦 EF∥AB，连
结 OC 交 EF 于 H 点，连结 CF，且 CF=2，则 HE 的长为_________．
13. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，若直径 AC=12cm，
∠P=60°．求弦 AB 的长．
第 38 课时 圆的有关计算
【知识梳理】
1. 圆周长公式：
2. n°的圆心角所对的弧长公式：
3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．
4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为 ，母线长为 的圆锥的侧面
积公式为：
；圆锥的表面积的计算方法是：
5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为 ，高为 的圆柱的侧面积公式
是： ；圆柱的表面积的计算方法是：
【注意点】
【例题精讲】
【例 1】如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将
绕点 按逆时针方向旋转 90°，得到△AB1C1． （1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为 1，求旋转过程中动点 所经过的路径长．
90
4
5
5
4
4
3
6
5
3
ABC△ 120 2 3AB AC A BC= ∠ = =， °， A⊙ BC
D AB AC、 M N、
π
r l
r h
ABC△
A
B
B
P
A
O
C 思考与收获
第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图第 10 题图 第 12 题图
第 13 题图
40%
5=R
（图 1） （图 2）
60%
【例2】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．
【例 3】如图，小明从半径为 5 的圆形纸
片中剪下 40%圆周的 一个扇形，然后利用剪
下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处
不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A.3 B.4 C. D.
【例 4】（庆阳）如图，线段 AB 与⊙O 相切于点 C，连结 OA、OB，OB 交⊙O 于
点 D，已知 OA=OB=6㎝，AB= ㎝．
求：（1）⊙O 的半径；（2）图中阴影部分的面积．
【当堂检测】
1．圆锥的底面半径为 3cm，母线为 9 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周
得到圆锥，则该圆锥的侧面积是( )
A．25π B．65π C.90π D．130π
3．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半
径为（ ） A． cm B． cm C．3cm D． cm
4.圆锥侧面积为 8πcm 2,侧面展开图圆心角为 45 0,则圆锥母线长为（ ）
A.64cm B.8cm C. ㎝ D. ㎝
5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 ，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有一圆心角为120 o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一
圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
7．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2.
cm
cm cm 21 cm 62 cm
36
cm
π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm
3
8
3
16
3
4
22 4
2
12π
6 12 24 2 3
24 35 62 32
C
BA O
F
D
E
O
A C B
D
思考与收获
C
BA C′
A′
8．如图，两个同心圆的半径分别为 2 和 1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为
9．如图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC 为直径作
三个半圆，那么阴影部分的面积为 （平方单位）
10．王小刚制作了一个高12cm，底面直径为10cm的圆锥，则这个圆锥的侧面积
是 cm2.
11．如图，梯形 中， ， ， ， ，
以 为 圆 心 在 梯 形 内 画 出 一 个 最 大 的 扇 形 （ 图 中 阴 影 部 分 ） 的 面 积
是 ．
12. 制 作 一 个 圆 锥 模 型 ， 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为
3.5cm，侧面母线长为 6cm，则此圆锥侧面展开
图的扇形圆心
角为 度．
13.如图， 是由 绕 点顺时针旋转而得，且点
在同一条
直线上，在 中，若 ， ， ，则斜边 旋转
到 所扫过的扇形面积为 ．
14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2，弧 AB 的长为 9
米，那么半径 OA=______米.
15.如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂
足为E，若BC= ，DE=3．
求：(1) ⊙O的半径； (2)弦AC的长；(3)阴影部分的面积．
第 39 课时 圆的综合
【例题精讲】
1．如图，已知圆心角 ，则圆周角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图 2 所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC．则四边形 OACB（ ）
A．是正方形 B． 是长方形 C． 是菱形 D．以上答案都不对
3．圆锥的底面半径为 3cm，母线为 9 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
4．⊙O 半径 OA=10cm，弦 AB=16cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最
短距离为 cm．
5. 如图，一个扇形铁皮 OAB. 已知 OA=60cm，∠AOB=120°，小华将 OA、OB 合
ABCD AD BC∥ 90C∠ = 4AB AD= = 6BC =
A
Rt A BC′ ′△ Rt ABC△ B A B C′， ，
Rt ABC△ 90C = ∠ 2BC = 4AB = AB
A B′
36
78BOC∠ = BAC∠
156 78 39 12
cm
π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm
A
O
B
120o
第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图
第 13 题图 第 14 题图
第 15 题图
A
BC
D
第 11 题图
120°
O
A B
第 1 题图
思考与收获
第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图
O
P
M
y
A x
N
拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为( )
A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm
6.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆
的半径为（ ）A． cm B．9 cm C． cm D．
cm
7．如图，⊙O 的半径为 3cm，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点 A，AB=OA，动
点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立
即停止．当点 P 运动的时间为 s 时，BP 与⊙O 相切．
8．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是
9．如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点
上，则∠AED 的正切值等于 ．
10.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，
AB=20cm，∠A=30°，则AD= cm
11．半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M（0，－4），N（0，－ 10），
函数 的图像过点 P，则 ＝ ．
12 ．如图 ，已知 圆 O 的 半 径 为 6cm ，射线 经 过 点 ，
，射线 与圆 O 相切于点 ． 两点同时从
点 出发，点 以 5cm/s 的速度沿射线 方向运动，点 以
4cm/s 的速度沿射线 方向运动．设运动时间为 s．
（1）求 的长；
（2）当 为何值时，直线 与圆 O 相切？
【当堂检测】
1．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一
半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为
5，3，圆心距为 2，那么两圆内切 A．1 B．2 C．3 D．4
2．圆 O 是等边三角形 的外接圆，圆 O 的半径为 2，则等边三角形 的
边长为（ ）A． B． C． D．
3．如图，圆 O 的半径为 1， 与圆 O 相切于点 ， 与圆 O 交于点 ，
，垂足为 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 是圆 O 的弦，半径 ， ，则弦 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
(4 5)+ 4 5 6 2
π
( 0)ky xx
= < k
PM O
10cmOP = PN Q A B，
P A PM B
PN t
PQ
t AB
ABC ABC
3 5 2 3 2 5
AB A OB C
OD OA⊥ D cos AOB∠
OD OA CD AB
AB 2OA = 2sin 3A = AB
2 5
3
2 13
3
4 5
3
第 3 题图
A
B
C
O D x
y
O 1
1B
A
BAO
P
2
3
E
O
DC
BA
A
B
Q
OP
N
M
O
DA B
C
O
A B A B
O
M
思考与收获
第 7 题图
第 9 题图第 8 题图 第 10 题图
第 11 题图
第 12 题图
第 6 题图第 5 题图
5.如图，⊙O 的半径为 2，点 A 的坐标为（2， ），直线 AB 为⊙O 的切线，B
为切点．则 B 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.如图 4，⊙O 的半径为 5，弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 的长可能
是（ ）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
7.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆
心的圆的一部分，路面 =10 米，净高 =7 米，则此圆的半径 为（ ）
A．5 B．7 C． D．
8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边 AC 所在直线旋转一
周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π C．90π D．130π
9．如图， 为圆 O 的直径， 于点 ，交圆 O
于点 ， 于点 ．
（1）请写出三条与 有关的正确结论；
（2）当 ， 时，求圆中阴影部分的面积．
10.如图， 是圆 O 的一条弦， ，垂足为 ，
交圆 O 于点 ，点 在圆 0 上．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
第 40 课时 图形的变换（一）
【知识梳理】
1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对
称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自身的性质；轴对称只
有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．
2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称
轴垂直平分的性质．
3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形
之间的轴对称关系，并能指出对称轴．
4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对
称性及其相关性质．
5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜
面对称，能利用轴对称进行图案设计．
【思想方法】抓住变与不变的量
【例题精讲】
32
−
5
8
2
3 , ( )13,−
−
5
9
5
4 , ( )31,−
AB CD OA
37
5
37
7
AB CD AB⊥ E
D OF AC⊥ F
BC
30D∠ = 1BC =
AB OD AB⊥ C
D E
52AOD∠ = DEB∠
3OC = 5OA = AB
C
BA O
F
D
E
E
B
D
CA
O
思考与收获
第 10 题图
第 7 题图
第 9 题图
第 4 题图
1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？
2、如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E
是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，
则 PE+PB 的最小值是 ．
3、如图，P 在∠AOB 内，点 M、N 分别是点 P 关于
AO、BO 的对称点，MN 分别交 OA、OB 于 E、F. ⑴ 若
△ PEF 的周长是 20cm，求 MN 的长. ⑵若∠AOB=30°试
判断△MNO 的形状，并说明理由
4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中
虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持
平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可得到 条折
痕．如果对折 n 次，可以得到 条折痕．
5、做一做:用四块如图 1 的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你
在图 2、图 3、图 4 中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的
阴影部分用斜线表示）.
6、已知如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60º，
∠ ABC=90º，等边三角形 MNP（N 为不动点）的边长为 a cm，边 MN 和直角梯
形 ABCD 的底边 BC 都在直线 l 上，NC=8 cm ,将直角梯形 ABCD 向左翻折
180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．(1)、将直角梯
形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形 MNP 的边长 a≥2cm，这时两图
形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次
翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形 ABCD 的
面积，这时等边三角形 MNP 的边长 a 至少应为多少？(3)、将直角梯形 ABCD
向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积
等于直角梯形 ABCD 的面积的一半，这时等边三角形 MNP 的边长 a 应为多少？
F
E
N
M
A
O B
P
A
B
P
M N ② ①
D
C
思考与收获
C′
A
B CD
【当堂检测】
1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．
2．小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是 ( )
A. B. C. D
3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这
个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：
5．如图，ΔABC 中，DE 是边 AC 的垂直平分线 AC=6cm，
ΔABD 的周长为 13cm，则 ΔABC 的周长为______cm.
6．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 沿 AD 对折，点 C 落在点
的位置，则 与 BC 之间的数量关系是 ．
第 41 课时 图形的变换（二）
【知识梳理】
一、图形的平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形
在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，
这两个要素是图形平移 的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，
只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的
依据．
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿
同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下
列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对
C′ CB ′
第 1 题图
第 5 题图
第 6 题图 思考与收获
图 3 图 4
A
G(O)
E
C B
F
①
应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特
征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之
间的性质，又可作为平移作图的依据．
二、图形的旋转
1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距
离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
2.中心对称图形:____________________________________
3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；
【思想方法】 数形结合
【例题精讲】
1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内
绕点 C 顺时针旋转 90°，那么点 A 移动所走过的路线长是 cm．
2.将两块含 30°角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放．(1) 将图 2 中△ 绕点
C 顺时针旋转 45°得图 2，点 与 AB 的交点，求证： ；(2)将图 2
中△ 绕点 C 顺时针旋转 30°到△ （如图 3），点 与 AB 的交
点．线段 之间存在
一个确定的等量关系，请你
写出这个关系式并说明理由；
（3 ）将图 3 中线段 绕点
C 顺时针
旋转 60°到 （图 4），连结
，求证： ⊥AB.
3．把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起
（如图①），且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现
将三角板 EFG 绕 O 点顺时针方向旋转（旋转角 α 满足条件：0°＜α＜90°)，四边
形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，
BH 与 CK 有怎样的数量关系？四边形 CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结
论；(2)连接 HK，在上述旋转过程中，设 BH= ，△GKH 的面积为 ，求 与
之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某
一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 ？若存在，求出此时 的值；
若不存在，说明理由.
x y y x
x
1 1A B C
1 1P A C是 1 1
2CP AP2
＝
1 1A B C 2 2A B C 2 2P A C是
1 1 2CP P P与
1CP
3CP
3 2P P 3 2P P
5
16 x
思考与收获
图 1 图 2
4．如图 1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），
量得他们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30°，再将这两张三角纸片摆成如图 3
的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3 至
图 6 中统一用 F 表示）
（图 1） （图 2） （图 3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置，使点 B 与点 F 重合，请
你求出平移的距离；
（2）将图 3 中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置，A1F 交 DE 于
点 G，请你求出线段 FG 的长度；
（3）将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置，AB1 交 DE 于点 H，请证
明：AH﹦DH
（图 4） （图 5） （图 6）
【当堂检测】
1．下列说法正确的是（ ）
A．旋转后的图形的位置一定改变 B．旋转后的图形的位置一定不变
C．旋转后的图形的位置可能不变 D．旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）
A．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离
B．旋转和平移都只能改变图形的位置
C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D．旋转和平移的定义是相同的
3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转 180 o 后不变的字是_____，在字母
“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过 180 后能与原图形重合的是____．
4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C，∠BA C＝90°，D 是 BC 上一点，
△ACD 经过旋转到达△ABE 的位置，则其旋转角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、
思考与收获
第 4 题图
A
B CD
E
菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．3 个
6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）
7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；
③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
8．如图，若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后得到△ ，则 A 点的对应点 A′
的坐标是（ ） A．（－3，－2）B．（2，2） C．（3，0）D．（2，1）
第 42 课时 视图与投影
【知识梳理】
1、 主视图、左视图、俯视图
2、 主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等
【思想方法】
转化：立体与平面互化
【例题精讲】
1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）
A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2. 用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施的
方案有哪 6 种？每一种方案中需要的纸片各是几张？
3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 6 个图案中灰色瓷砖块数为____．
A B C′ ′ ′
第 6 题图
第 8 题图
第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案
思考与收获
4. 用含 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边
形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①②③
5. 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集
设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构
成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你
在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
注：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②
只算一种．
6．下图是某几何体的展开图．
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积．（ 取 3.14）
7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是 176cm，东东的
身高是 156cm，在同一时刻爸爸的影长是 88cm，那么东东的影长是 cm.
8．如图（1）是一个小正方体的侧
面展开图，小正方体从图（2）所
示的位置依次翻到第 1 格、第 2
格、第 3 格，这时小正方体朝上
一面的字是（ ）
A．奥 B．运 C．圣 D．火
【当堂检测】
1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为
L 形．那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上最多可以
画出不同位置的 L 形图案的个数是 ( )
A．16 个 B．32 个
C．48 个 D．64 个
2．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）
3.如图甲，正方形被划分成 16 个全
30
π
① ② ③ ④ ⑤
20
10
迎
接 奥 运 圣
火
图 1
迎
接 奥
1
2 3
图 2
正方体 长方体 圆柱 圆锥
A B C D
第 1 题图
思考与收获
等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图 1～3 中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案
中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
4．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方
格纸中的每个小正方形的边长均
为 1，并且平行四边形纸片的每个
顶点与小正方形的顶点重合（如图 1、
图 2、图 3）．分别在图 1、图 2、
图 3 中，经过平行四边形纸片的任
意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁
剪线将平行四边形纸片裁成两部
分，并把这两部分重新拼成符合下
列要求的几何图形．要求：
(1)在左边的平行四边形纸片中画
一条裁剪线，然后在右边相对应的
方格纸中，按实际大小画出所拼成
的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
图 1 矩形（非正方形）
图 2 正方形
图 3 有一个角是 135°的三角形
