2010青岛中考数学试题

2010青岛中考数学试题

青岛二○一○年山东省青岛市初级中学学业水平考试 座号 数 学 试 题 ‎（考试时间：120分钟；满分：120分）‎ 题号 一 二 三 四 合计 合计人 复核人 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ 得分 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！‎ ‎ ‎ ‎1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎2．本试题共有24道题．其中1—8题为选择题，请将所选答案的标号填写在第8题后面给出表格的相应位置上；9—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15—24题，请在试题给出的本题位置上做答．‎ 得 分 评卷人 复核人 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1—8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上．‎ ‎1．下列各数中，相反数等于5的数是（ ）．‎ ‎ A．－5 B．‎5 ‎ C．－ D．‎ ‎2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）．‎ 第2题图 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．‎ ‎ A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字 ‎ ‎ C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字 ‎ ‎4．下列图形中，中心对称图形有（ ）． ‎ ‎ ‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．某外贸公司要出口一批规格为‎150g的苹果，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，苹果的品质也相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中随机抽取了50个苹果称重，并将所得数据处理后，制成如下表格. 根据表中信息判断，下列说法错误的是（ ）．‎ 个数 平均 质量（g）‎ 质量的方差 甲厂 ‎50‎ ‎150‎ ‎2.6‎ 乙厂 ‎50‎ ‎150‎ ‎3.1‎ ‎ A．本次的调查方式是抽样调查 ‎ ‎ B．甲、乙两厂被抽取苹果的平均质量相同 ‎ C．被抽取的这100个苹果的质量是本次调查的样本 ‎ D．甲厂苹果的质量比乙厂苹果的质量波动大 ‎ ‎6．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = ‎4 cm，以点C为圆心，以‎2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．‎ ‎7‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-5‎ y C ‎-1‎ ‎6‎ A ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ B x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 第7题图 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 B C A 第6题图 ‎7．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△，那么点A的对应点的坐标是（ ）．‎ ‎ A．（－3，3） B．（3，－3） C．（－2，4） D．（1，4）‎ y x O x y O x O y y x O ‎8．函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ 请将1—8各小题所选答案的标号填写在下表的相应位置上：‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 得 分 评卷人 复核人 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ 请将9—14各小题的答案填写在第14小题后面给出表格的 相应位置上．‎ O A B C 第10题图 ‎·‎ ‎9．化简： ．‎ ‎10．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．‎ ‎11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为‎300 ‎m的污水排放管道．铺设‎120 ‎m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可得方程 ．‎ ‎12．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球．‎ ‎13．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = ‎3 cm，BC = ‎5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．‎ A B C F E ‎′‎ 第13题图 ‎（）‎ D ‎…‎ 第14题图 ‎ ‎ ‎14．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．‎ 请将9—14各小题的答案填写在下表的相应位置上：‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答 案 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答 案 得 分 评卷人 复核人 三、作图题（本题满分4分）‎ 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ ‎15．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.‎ A B C 解：‎ 结论： ‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎16．（本小题满分8分，每题4分）‎ ‎（1）解方程组：； （2）化简：．‎ 解： 解：原式＝‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎17．（本小题满分6分）‎ 配餐公司为某学校提供A、B、C三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别是：A餐5元，B餐6元，C餐8元．为做好下阶段的营销工作，配餐公司根据该校上周A、B、C三类午餐购买情况，将所得的数据处理后，制成统计表（如下左图）；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图（如下右图）.‎ 以往销售量与平均每份利润之间的关系统计图 一周销售量（份）‎ ‎300～800‎ ‎(不含800)‎ 平均每份的利润（元）‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎800～1200‎ ‎(不含1200)‎ ‎1200及 ‎1200以上 A B C 种类 数量（份）‎ A ‎1000‎ B ‎1700‎ C ‎400‎ 该校上周购买情况统计表 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）该校师生上周购买午餐费用的众数是 元；‎ ‎（2）配餐公司上周在该校销售B餐每份的利润大约是 元；‎ ‎（3）请你计算配餐公司上周在该校销售午餐约盈利多少元？‎ 解：（3）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎18．（本小题满分6分）‎ 第18题图 绿 绿 黄 黄 绿 红 ‎“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．‎ ‎（1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；‎ ‎（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合 算？请说明理由．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎19．（本小题满分6分）‎ A 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）‎ ‎（参考数据：）‎ 解：‎ D ‎37°‎ C ‎48°‎ B ‎ ‎ 第19题图 得 分 评卷人 复核人 ‎20．（本小题满分8分）‎ 某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．‎ ‎（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；‎ ‎（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎21．（本小题满分8分）‎ ‎　　已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．‎ ‎（1）求证：BE = DF；‎ D A ‎（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ 证明：（1）‎ F O C E B 第21题图 M ‎（2）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎22．（本小题满分10分）‎ 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．‎ ‎（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利 润？‎ ‎（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？‎ ‎（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？‎ ‎（成本＝进价×销售量）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎23．（本小题满分10分）‎ 问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级 课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.‎ O 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.‎ 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角．‎ 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？‎ 问题解决 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？‎ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．‎ 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎，整理得：，‎ 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ． ‎ 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．‎ 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．‎ 验证2：‎ 结论2： ‎ ‎ ． ‎ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．‎ 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．‎ 猜想3： . ‎ 验证3：‎ 结论3： ‎ ‎ .‎ 得 分 评卷人 复核人 ‎24．（本小题满分12分）‎ 已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = ‎8 cm，BC = ‎6 cm，EF = ‎9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ A B C 图（3）‎ ‎（3） ‎ ‎（用圆珠笔或钢笔画图）‎ 真情提示：‎ 亲爱的同学，请认真检查，不要漏题哟！‎ 二○一○年山东省青岛市初级中学学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．‎ ‎2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．‎ ‎3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．‎ ‎4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 A ‎ B ‎ C C ‎ D B A D 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答 案 ‎3‎ ‎48‎ 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答 案 ‎15‎ ‎5.1‎ ‎127‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．正确画出两条角平分线，确定圆心； 2分 确定半径； 3分 正确画出圆并写出结论． 4分 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（本小题满分8分）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎（1）‎ 解：②×4得：，③‎ ‎①＋③得：7x = 35，‎ 解得：x = 5.‎ 把x = 5代入②得，y = 1.‎ ‎∴原方程组的解为 . 4分 ‎（2）解：原式 = ‎ ‎. 4分 ‎17．（本小题满分6分）‎ 解：（1）6元； 2分 ‎（2）3元； 4分 ‎（3）1.5×1000＋3×1700＋3×400 = 1500＋5100＋1200 = 7800（元）.‎ 答：配餐公司上周在该校销售午餐约盈利7800元． 6分 ‎18．（本小题满分6分）‎ 解：（1）P（获得45元购书券） = ； 2分 ‎（2）（元）.‎ ‎∵15元＞10元，‎ ‎∴转转盘对读者更合算． 6分 B ‎37°‎ ‎48°‎ D C A 第19题图 ‎19．（本小题满分6分）‎ 解：设CD = x．‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 在Rt△BCD中，‎ tan48° = ，‎ 则，‎ ‎∴. ……………………4分 ‎∵AD＋BD = AB，‎ ‎∴．‎ 解得：x≈43．‎ 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是‎43米． ………………… 6分 ‎20．（本小题满分8分）‎ 解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：‎ ‎,‎ 解得：.‎ ‎∴（人）. ‎ 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． 3分 ‎（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ‎ ‎， 6分 解这个不等式组，得．‎ ‎∵y取正整数，‎ ‎∴y = 2.‎ ‎∴4－y = 4－2 = 2.‎ ‎∴320×2＋400×2 = 1440（元）.‎ 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． 8分 ‎21．（本小题满分8分)‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴．‎ ‎∴BE＝DF． 4分 A D B E F O C M 第21题图 ‎（2）四边形AEMF是菱形．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴BC－BE = DC－DF. 即．‎ ‎∴．‎ ‎∵OM = OA，‎ ‎∴四边形AEMF是平行四边形．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴平行四边形AEMF是菱形． 8分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y ‎=(x－20)·()‎ ‎.‎ 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 3分 ‎（2）由题意，得：‎ 解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．‎ 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.‎ 法二：∵，‎ ‎∴抛物线开口向下.‎ ‎∴当30≤x≤40时，w≥2000．‎ ‎∵x≤32，‎ ‎∴30≤x≤32时，w≥2000．‎ ‎∵，，‎ ‎∴y随x的增大而减小.‎ ‎∴当x = 32时，y最小＝180.‎ ‎∵当进价一定时，销售量越小，‎ 成本越小，‎ ‎∴（元）.‎ ‎ 6分 ‎（3）法一：∵，‎ ‎∴抛物线开口向下.‎ ‎∴当30≤x≤40时，w≥2000．‎ ‎∵x≤32，‎ ‎∴当30≤x≤32时，w≥2000． ‎ 设成本为P（元），由题意，得：‎ ‎∵，‎ ‎∴P随x的增大而减小.‎ ‎∴当x = 32时，P最小＝3600.‎ 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．‎ ‎ 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：3个； 1分 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼 成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎． ‎ 整理得：， ‎ 可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或 者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分 猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶 嵌？ 6分 验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形 的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分 结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分 ‎24．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分