初中经典几何证明练习题(含答案)

初中经典几何证明练习题(含答案)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE∵EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E、G、O、F四点共圆∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO∽△FHG∴=∵GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CD∴∴∵EO=CO∴CD=GF2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。求证：△PBC是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM，连接MP∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵MA=BA，AP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形第9页共9页\n3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG∵CN=DN，CG=DG∴GN∥AD，GN=AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM，AG=CG∴GM∥BC，GM=BC∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．　（1）求证：AH＝2OM；　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G∵OG⊥AF∴AG=FG∵=∴∠F=∠ACB又AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF又AD⊥BC∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD∴四边形OMDG是矩形∴OM=GD∴AH=2OM（2）连接OB、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120°∵OB=OC，OM⊥BC∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO第9页共9页\n2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF∵E、F、C、D四点共圆∴∠AEF+∠FCQ=180°∵EF⊥AG，PQ⊥AG∴EF∥PQ∴∠PAF=∠AFE∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG∵C、D、B、E四点共圆∴∠B=∠D，∠E=∠C∴△ABE∽△ADC∴∴△ABG∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC∵AM=AN，∴OA⊥MN又OG⊥BE，∴∠OAQ+∠OGQ=180°∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ第9页共9页\n4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四边形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=BD=AC=AE∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC∴CE=CF第9页共9页\n2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC，又EG⊥AC∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°在△AFC中∠F=180°-∠FAC-∠ACF=180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∴∠F=∠CEA∴AE=AF∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四边形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=BD=AC=CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG∴HCGF是正方形设AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化简得（x-y）·y=（x-y）·z∵x-y≠0∴y=z即BP=FG∴△ABP≌△PGF∴CG=GF∵AP⊥FP∴∠APB+∠FPG=90°∵∠APB+∠BAP=90°∴∠FPG=∠BAP又∠FGP=∠PBA∴△FGP∽△PBA∴FG：PB=PG：AB4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，连接OH、MH、EC∵EH=FH∴EM=KM∵EK∥BD∴∴OB=OD又AO=CO∴四边形ABCD的对角线互相平分∴ABCD是平行四边形∴AB=DC，BC=AD∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°又PC⊥OC，∴∠POC=90°∴P、C、H、O四点共圆∴∠HCO=∠HPO又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK∴∠HCM=∠HEM∴H、C、E、M四点共圆∴∠ECM=∠EHM又∠ECM=∠EFA∴∠EHM=∠EFA∴HM∥AC∵EH=FH第9页共9页\n经典题(四)1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．（初二）解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ则△BPQ是正三角形∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5∴△PQC是直角三角形∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°∴∠APB=∠BQC=150°2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，两平行线相交于点E，连接BE∵PE∥AD，AE∥PD∴ADPE是平行四边形∴PE=AD，又ABCD是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又∠ADP=∠ABP∴∠AEP=∠ABP∴A、E、B、P四点共圆∴∠BEP=∠PAB∴∠PAB=∠PCB又PE∥AD，AD∥BC∴PE∥BC∴BCPE是平行四边形∴∠BEP=∠PCB∵ADPE是平行四边形∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD∵=∴∠CAD=∠CBD∴△BEC∽△ADC∴∴AD·BC=BE·AC……………………①∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE即∠BCA=∠ECD①+②得AB·CD+AD·BC=DE·AC+BE·AC=（DE+BE）·AC=BD·AC∵=,∴∠BAC=∠BDC△BAC∽△EDC∴∴AB·CD=DE·AC……………………②第9页共9页\n4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且PAE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE∴S△ADE=AE·DG，S△FDC=FC·DH又S△ADE=S△FDC=S□ABCD∴AE·DG=FC·DH又AE=CF∴DG=DH∴点D在∠APC的角平分线上∴∠DPA＝∠DPC经典题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，∵BP=BE，∠PBE=60°∴△PBE是正三角形。∴PE=PB又EF=PC∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=∴L=PA+PB+PC≤（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则△ADG是正三角形∴∠ADP=∠AGP，AG=DG∵∠APD＞∠AGP∴∠APD＞∠ADP∴AD＞PA…………………………①又BD+PD＞PB……………………②CG+PG＞PC……………………③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L∵AB=AC=1∴L＜2由（1）（2）可知：≤L＜2．第9页共9页\n2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE，则△BPE是正三角形∴PE=PB∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）此时AF=PA+PE+EF过点F作FG⊥AB的延长线于G则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°∴GF=，BG=∴AF===∴PA＋PB＋PC的最小值是3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ则△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB=×2a=2a又QC=AP=a∴QP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2∴△PQC是直角三角形∴∠BQC=135°∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC=PB2+PA2-2PB·PAcos135°=4a2+a2-2×2a×a×(-)解得BC=∴正方形的边长为第9页共9页\n4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60°∴△BCG是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF∴∠AFE=∠AEF=（180°-∠A）=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG∠BGD=∠BDG=（180°-∠ABE）=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD∴∠BED=∠FED=∠FEG=×60°=30°5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。解：∵∠ACD=∠BCD∴=∴AD=BD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=10∴AD=AB·cos∠DAB=10×=5又AE⊥CD，∠ACD=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×=3在△ADE中，DE2=AD2-AE2∴DE2=∴DE=∴CD=CE+DE=3+=∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴∴PC=PD，PA=PD∵PC=PA+AC∴PD=PD+6解得PD=第9页共9页