初中数学竞赛精品标准教程及练习：面积法

初中数学竞赛精品标准教程及练习：面积法

初中数学竞赛精品标准教程及练习（43）面积法一、内容提要1.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。2.面积公式（略）3.两个三角形的面积比定理①等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比②有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。如图△ABC和△ADC有公共边AC，　　　　　M内分BD第三顶点连线BD被公共边AC内分或外分于点M，则　　　　　　　　　　　　　M外分BD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，∠DAC＝30求证：AB2＝AC×BD证明：作高DE，∵∠DAE＝30∴DE＝AD＝AB　　S菱形ABCD＝AB×DE＝AB2S菱形ABCD＝AC×BD，　　　∴AB2＝AC×BD例2.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值　　　　　　　　　已知：△ABC中，AB＝BC＝AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G是垂足　　　　　　　　　求证：DE＋DF＋DG是一个定值　　　　　　　　　证明：连结DA，DB，DC，设边长为a,　　　　　　　　　　S△ABC＝S△DBC＋S△DCA＋S△DABaha＝a（DE＋DF＋DG）　∴DE＋DF＋DG＝ha∵等边三角形的高ha是一个定值，　　∴DE＋DF＋DG是一个定值本题可推广到任意正n边形,其定值是边心距的n倍例3.已知：△ABC中，　求：的值解：∵△ADF和△ABC有公共角A\n∴＝＝＝，同理，　＝，　　　∴＝（本题可推广到：当，，时，＝）例1.如图Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE分成3个三角　　　　　　　　　　形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x。解：∵CE平分∠ACB，∴∵CD是Rt△ABC的高∴△CAD∽△BCD，∴∴解得x1=4,x2=9(两解都适合)例5.　设一直线截△ABC三边AB，BC，CA或延长线于D，E，F那么　（梅涅劳斯Menelaus定理）证明：连结AE，根据三角形面积比定理④得　∴　××＝1　　　　　　　　　　　　　　　　例6.　已知MN是△ABC的中位线，P在MN上，BP，CP交对边于D，E求证　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：连结并延长AP交BC于F，则AP＝PF　　　　　　　　　　　∴S△CPA＝S△CPF，　　S△BPA＝S△BPF　　　　　　　　　　　　　　　　　　例7.如图已知：△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB，△ACM和△BCN都是等边三角形求证：MN被AC平分　　　　　　　　证明：连结AN，∵△ABC中∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB　∴∠ACB=30　　∴∠CAN=90　∠BCM＝90∴S△ACM＝ba,S△CAN=ab　　∴S△ACM＝S△CAN，∵△ACM，△CAN有公共边AC，\n∴MK＝KN　三、练习431.如图△ABC面积是96，D分BC为2∶1，E分AB为3∶1则△ADE面积是＿＿＿2.几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10个相等的线段，同时把三角形分成10个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是＿＿＿＿3.△ABC三边a,b,c上的高分别是ha=6,hb=4,hc=3,那么a∶b∶c=＿＿＿＿4.S正方形ABCD＝k,　M，N分别是边AB，BC的中点AN，CM相交于O，那么S四边形AOCD＝＿＿＿5.平行四边形ABCD中，E分AB为1∶2，F分BC为2∶1，DE和AF交于G，那么＝＿＿＿6.如图平行四边形ABCD中P，Q分别是BC，CD的中点，写出和△ABP等积的三角形　＿＿＿＿＿＿＿＿＿（5）　　　　　　　　　　（6）7.已知：△ABC中AB＝10，D，E分别在边AB，AC上，且在DE∥BC，S△ADE∶S△BDC＝2，求8.如图经过△ABC内一点O，与各顶点A，B，C的直线，把三角形分成6个小三角形，其中的4个面积已标在图中，求△ABC的面积9.如图已知：平行四边形ABCD中，AE＝CF，AE，CF交于G　求证：∠AGB＝∠BGC　　　　　　　　　　　　　　　10.已知：△ABC中，O是形内任一点，AO，BO，CO延长线交对边于D，E，F　求证：①　②　11.如图已知：AC平分∠BAD，AC2＝AB×AD　　　　求证：　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.如图已知：△ABC中，P，Q在BC上，且∠BAP＝∠CAQ求证：AB＝AC　13.△ABC内一点P，过P作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为4，9，49那么△ABC面积是多少？\n2.△ABC中，点D，E，F分别分BC，CA，AB为1∶2，AD，BE，CF相交于P，Q，R求△PQR与△ABC的面积比15.梯形ABCD中AB∥CD，O是对角线的交点，若S△COD＝3，S△AOB＝11求S梯形ABCD　　　16.四边形ABCD的对角线AC＝BD＝15cm，O是交点，∠AOB＝150，求SABCD17.四边形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，DF∶FC＝1，CE∶EB＝2，若S△ADF＝m，S四边形AECF＝n(m>n),则S四边形ABCD＝＿＿＿　　　　　　　　练习43参考答案：1.　48　　2.　200　　3.　2∶3∶4　　4.k　　5.　6.　有五个　　7.　4－2　　8.　315　9.　由等积等底推出等高证全等10.①左边＝＝1②边＝＝…右边＝＝……11.△ABC∽△ACD用三角形面积比③和④12.S△ABP＝S△ACQ，AB×AP＝AC×AQ，，△ABQ∽△ACP…13.三个三角形都相似，……144　　14.　15.设S△AOD＝S△BOC＝x，x=16.作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N是垂足，AM＋AN＝AC……17.　，(连结AC，S△ACF＝m,　S△ACE＝n-m……)\n五一促销方案一．活动主题：购凯莱地板免费游港澳好礼送不停赢取华硕笔记本电脑二．活动时间：2011年4月9日——2011年5月6日三．活动范围：全省凯莱专卖店对于不参加本次促销活动的专卖店兰州公司取消2011全年物料、礼品、人员及促销政策的支持，特此说明！四、活动目标：全省区域销售50000平方米五、活动背景与市场分析：2011年仍是甘肃房地产继续实施宏观调控的一年，是抑制通胀、调结构、保增长、惠民生的又一年，2011年甘肃消费市场在各种因素作用下，但经济整体稳定向好，刚性需求、保障性需求的政策导向决定了2011年市场仍然存在很多机会，特别是对于凯莱这样正在高速成长品牌企业。1.我们分析认为2011年是甘肃地板的洗牌年，品牌的集中度会越来越高，消费者对品牌的消费意识会更强，因此，必须对主销市场实施强有力的组合措施，方能在地板行业的整合年获得我们应由的市场成果。2.2011年春来早，全省凯莱在3.15促销中战绩平平，但是给5.1促销与销售提供了良好的机会，因此尽早投入这场销售的争夺战中，意义重大。从以往的5.1促销经验来看，早启动效果更明显。3.以甘肃地板市场来看，二、三级市场呈现差异性需求，各专卖店因地制宜，针对各级市场特点有效的开展促销活动并组合相应的产品才能谋求最大的市场占有。4.2011年五一促销，重点提升扩大凯莱地板品牌知名度、市场占有率和客户口碑为营销的活动设计地板行业发展分析首先要肯定地板在未来几年的发展前景是辉煌的，为什么这么说呢？我们可以先从以下几点分析：首先，就目前来说全国人民最关心的问题是什么?是房价。上至国家领导，下至普通百姓这一问题已经成为了主题，而房地产作为中国的支柱产业，也在有效的拉动着内需和经济的发展，作为与房地产相伴的建材行业包括木地板行业也会因为房地产的不断升温而不断壮大。纵观全国各地，到处都是旧城改造，新城建设。就甘肃各地来说，房子这几年也是空前的多，据有关部门调查今明两年全省商品房的交易量在50万套以上，经济适用房和廉租房的交付率在20万套左右，如此多的待装修房其中所孕育的商机不言自明，只要有楼房就要装修，只要装修就要用地板，只要用地板我们就有机会，所以有此大好机会就应该及时抓住。其次，就我们所了解到的，和看到的情况是有些地方木地板已普及到了农村，中国作为农业大国，农村的市场比城市还要巨大，近几年由于国家针对农村出台了各种惠民政策，中国的农村也因此以前所未有的速度富了起来，而中国人也有着根深蒂固的习惯，那就是有钱了先修房，而现在的主流就是修完房子了还要装修，而且装修还要有档次，那么木地板作为一种高档消费品的象征，必然会受到广大农村人民的青睐。现在象甘南的某些农村木地板已经大面积使用了，河东各地农村也在逐渐流行，放眼望去木地板在农村的前景也一片大好。而公司也适时获得了建材下乡推进单位的荣誉，这对我们有效占领农村市场提供了很好的帮助。机会是给有准备的人的，眼光要放远些，谋而后动，方能决胜于千里。再次，根据全国发展的速度来看，甘肃的发展还是相对滞后的，相比较发达地区木地板使用的情况来看，甘肃的木地板总体使用量占有率还不是太高。因此从发展滞后、占有率低到发展快、占有率高之间的空间还是非常大的，而这些空间对我们木地板销量的提高也是非常大的。总的来看木地板发展的前景还是非常好的，所以让我们抓住机遇，共同赚钱，共同发展。六、活动细则：买凯莱地板邀您香港澳门免费游1.凡订购凯莱实木区地板（包括：多层实木，多层仿古实木，三层实木，实木）80平米以上均可获赠由凯莱地板提供的香港、澳门旅游（每个订单只限一人）。2.已定单客户在享受免费港澳游前必须先交纳80%的货款。3.若不足80平米由客户补足剩余费用（每平米补差价40元）.4.如已定单客户不想享受免费港澳游，则视为自动放弃。5.参加港澳游的订单客户以实铺面积为准。6.港澳游客户的旅行时间可由自己决定（除五一、十一、元旦等节假日）7.其他事宜按旅行社的规定执行（凯莱地板只负责往返路费、食宿及首道景点门票费用，其他费用均由客户自理）8.特价产品及限量产品除外畅想凯莱品质赢取华硕笔记本奖品：华硕笔记本电脑型号：待定活动日期：2011年4月9日至2011年5月6日在活动期间内订单客户均可获赠由凯莱地板提供的免费华硕笔记本电脑抽奖卷一张，在2011年5月6日下午2点在各专卖店统一抽奖。抽奖规则：按订单先后顺序兰州地区累计500平米抽取电脑一台;其他地区累计688平米抽取电脑一台；特价产品及限量产品除外活动期间凡订单客户都有正常礼品相送，价格史上最惠！七、活动说明：此次活动要求全省联动，各地尽量出现69元/平米（A系列两款裸板价），89元/平米（H系列特款特卖大包价）的特价地板，以最大限度的来收获订单，然后再转化为升级定单，以此来摧毁竞争对手的经营信心，达到多订单对凯莱品牌宣传的目的。订金双倍、十倍翻活动期间内小区意向订金交纳10元当100元使用；交纳100元当200元使用；交纳200元当400元使用。以此来拦截装修业主的意念，把凯莱作为考察的第一对象。礼品支持（礼品有限，欲购从速！）在公司没有礼品的情况下，可自己在当地组织一些礼品。八．活动执行进程控制九.活动物料1.立柱、拱门：各地专卖店在活动期间户外必须立拱门和立柱，活动遮阳伞或帐篷可在专卖店门口或建材市场门口放立，附近并有专人发放活动资料！以此来烘托活动气氛。如没有立柱拱门的经销商可向兰州公司申请借用或购买，如需购买的经销商请在4月2日之前向兰州公司汇款下定单由兰州公司统一去制作，制作时间为十日左右。2海报（喷绘）：请张贴在店面最显眼的位置；必须保证当地最新开盘的所有小区都有张贴;各级经销商在可以的情况下可进行街道、路口、超市等繁华地段进行地毯式的张贴（此规格建议为1.2米*0.8米），以有效告知促销信息，由兰州公司统一提供设计样稿，费用一人一半。数量不限，大小不限！机会只有一次！1.单页：由公司统一设计制作发放到各地，要求各地各店夹报或专人有效散发，不得积压于手中，配置多少，必须全部使用完毕。制作标准：157克A4铜版纸。2.礼品对头：本次活动的礼品堆头请摆放在正门进店一米处位置，整体呈（品）字形堆放，最前面摆放门口垫20个以上（丝带捆绑），正反“礼”字贴放置于礼品堆头的最上方，规格不小于1米*1米。（“礼”字贴制作标准参考图片）5.特价签：针对本次活动，公司单独制作实木地板“免费游港澳”、强化地板“赢取华硕笔记本电脑”、特价产品的促销标签，各店必须明显贴示于展示样板上。6.有条件的（特别是临街店）专卖店一定要用公司统一设计好的喷绘画面将门头包起来，不要把入口挡住，尽量往门头以上位置去做，能做多大就做多大，此目的就是让消费者一定要感觉到震撼，用做特殊宣传的手段放大进店吸引。由兰州公司统一提供设计样稿并制作，费用一人一半。十.渠道宣传要求1.促销喷绘一定要保证当地所有新开盘小区都有悬挂2.横幅悬挂小区/街道/建材市场进行宣传3.单页夹报或有专门人员进小区上门投递4.充气立柱、活动遮阳伞、在小区门口/广场/建材市场门口/专卖店门口放立，附近并有专人发放活动资料5.活动广告管理方法：要求各经销商进行充量的广告投入，必须管控专卖店所有人员制定执行充分宣传。特别说明：要求各地必须无条件参加本次活动，并严格执行公司规定的相关政策。对违反相关规定的和不参加本次促销的经销商按照本方案第三条执行外，对该地区的区域保护公司也不做保证！十一.样板：现无实木样板的经销商抓紧时间在接到通知三日内完成上样工作，每店不少于四款（多层仿古），每款六片起发。十二.奖品成本港澳旅游：3200元／人。定实木区地板80平米以上就可享受免费港澳游，每平米成本40元，建议各经销商把吊牌价提高每平米20元，活动时利润每平米再降20元。建议在店面销售实木区地板时尽量以折扣形式跟客户进行讨价还价，辅料也另算。华硕笔记本电脑：每台2800元左右。按累计订单800平米抽奖一次折算后每平米3.5元。抽奖券由兰州公司统一设计制作，市级发放80张，县级50张。抽奖定在五一黄金周的最后一天下午两点左右，最好在当地聘请一位主持人来活跃现场气氛，现场布置一定要大气，要有节日的气氛。门口红地毯能铺多大就铺多大，音响声音尽量放大，最好选用一些比较劲爆的DJ音乐，开奖时主持人要不停的大声说“凯莱地板促销活动还在继续，没有订单的朋友抓紧时间订单，可能下一台笔记本电脑就是你的”等一些促进客户订单的话语，拱门、立柱、吊旗、礼花、礼品堆头、地毯、条幅等等这些都是营造气氛的道具。以上两项奖项消费者不可兼得。十三.店面宣传全省统一口径：（对外宣传时可用厂家的角度进行）庆祝五一暨凯莱地板十二周年厂庆，全国厂商联动，十二年来价位首破底线，五一长假结束后全球统一调价。全国1800家凯莱地板专卖店同步联欢庆祝凯莱十二周年厂庆，定地板免费游港澳，赢取华硕笔记本电脑，凯莱史上首次，机会只有一次！活动只要订单累积达到688平方米就可抽奖一次（不管十单八单，只要一到立马现场抽奖产生）实木地板，高贵、时尚、典雅，专为成功人士量身打造！今日订单价位史上最低，并且凯莱提供免费、轻松港澳十五日游！凯莱地板，中国地板十大品牌、中国品牌500强、首批出口免验产品，品牌的荣誉保证了凯莱的品质。全省各店面导购人员要自信加勇敢的说：虽然凯莱地板的品牌不是行业的第一，但是凯莱的品质绝对是行业的第一。本次促销活动凯莱厂家计划在全国1800家专卖店（不包括香港、澳门）共抽取3500台华硕笔记本电脑，计划在全国共计2800人参加免费港澳游。机会只有一次。十四.小区、街道横幅内容1.购凯莱地板送港澳游，凯莱史上首次，机会只有一次！2.购凯莱地板赢取华硕笔记本，现场开奖，真实有效！机会只有一次！3.凯莱地板五一全国厂商联动，十二年来价位首破底线，机会只有一次！4.凯莱地板迎五一，泄洪价69元，真的不能再低了！机会只有一次！十五.喷绘广告制作投放补贴说明凯莱兰州公司针对本次促销额外补贴各地经销商制作喷绘广告，按每平米12元1:1投放，既一人一半，制作当时兑现。要求必须广告画面统一，尺寸根据当地规格由兰州公司企划统一制作完成后发往各地，在收到本次促销通知后三日内把所需广告规格尺寸报至兰州公司（0931-8735767或各区域经理），由兰州统一制作。数量不限，大小不限，望各位经销商伙伴充分抓出这次宣传的机会来提高凯莱在当地的知名度！时间紧迫，过期视为自动放弃！五一促销做的好不好直接影响到全年的销售计划，希望各位尊贵的合作伙伴不要轻视本次促销。现在销售的方案有了，想不想赚到钱，就看你的行动了。如有疑问请致电：13609313753苏清乔13919886089孔德宁凯莱地板甘肃品牌管理中心市场部中国·雪狼智援团队2011年3月28日