初中数学老师测试题

初中数学老师测试题

同风教育初中数学综合测试题　一、选择题（共12小题，1～6小题，每小题2分，7～12小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．﹣的倒数是（　　）A.-2B.1C.2D.0.52．化简（﹣a2）5+（﹣a5）2的结果（　　）　A．﹣2a7B．0C．a10D．﹣2a103．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体与“保”字相对的面上的汉字是（　　）我爱油城大庆　A．我B．爱C．大D．庆4．）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）　A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣65．如图已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于（　　）　A．90°B．135°C．150°D．270°6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同，方差分别为，，，．二月份白菜价格最稳定的市场是（　　）　A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为（　　）　A．B．C．D．8．（3分）在菱形ABCD中，两条对角线AC=6，BD=8，则此菱形的边长为（　　）A.5B.6C.8D.105题图7题图8题图9．若点（﹣2，y1）、（1，y2）、（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）　A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y110．如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为（　　）　A．25°B．30°C．45°D．60°11．如图，点D是等边△ABC内一点，将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，则∠EBD的度数是（　　）\n10题图11题图12题图　A．45°B．60°C．90°D．120°12．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（　　）　A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，把答案写在题中横线上）13．在实数范围内分解因式：a﹣4a3=　．14．若规定运算符号“★”具有性质：a★b=a2﹣ab．例如（﹣1）★2=（﹣1）2﹣（﹣1）×2=3，则1★（﹣2）=　　．15．如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为　　．16．一组数据﹣1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是5，那么这组数据的平均数是____　17．如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40mm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为　_________　度．18．将从1开始的正整数按如图方式排列．字母P，Q，M，N表示数字的位置，则2013这个数应排的位置是　　．（填P，Q，M，N）三、解答题（本大题共8个小题；共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．先化简，再求代数式的值．，其中a=（﹣1）2012+tan60°．　\n20．近日从省家电下乡联席办获悉，自2009年2月20日我省家电下乡全面启动以来，最受农户热捧的四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台．根据上述销售情况绘制了两个不完整的统计图：请根据以上信息解答问题：（1）补全条形统计图；（2）四种家电销售总量为　_________　万台；（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角是　_________　度；（4）为跟踪调查农户对这四种家电的使用情况，从已销售的家电中随机抽取一台家电，求抽到冰箱的概率．　21．（8分）如图，AB表示的是某单位办公楼的高，AE表示从楼顶垂挂下的宣传条幅，其长为30米，CD表示张明同学所处的位置与高度，张明同学测得条幅顶端A的仰角为60°，测得条幅底端E的仰角为30°．求张明同学到办公楼的水平距离（精确到整米数）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）　22．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．\n23．（9分）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．　24．（9分）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1求证：AE=CD，AE⊥CD．证明：延长CD交AE于K，在△AEB和△CDB中∵∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE=CD,∠EAB=∠DCB∵∠DCB+∠CDB=90°,∠ADK=∠CDB∴∠ADK+∠DAK=90°∴∠ADK=90°∴AE⊥CD（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．　\n25．（10分）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？　26．（12分）如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC﹣CB交于N，与折线DA﹣AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．（1）用含t的代数式表示b；（2）确定S与t之间的函数关系式；（3）t为何值时，S最大；（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．　\n答案一、选择题（共12小题，1～6小题，每小题2分，7～12小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．解：﹣的倒数为﹣2．故选A．2．解：（﹣a2）5+（﹣a5）2=﹣a10+a10=0．故选：B．3．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中“我”与“城”相对，“爱”与“保”相对，“古”与“定”相对．故选B．4．解：0.0000025=2.5×10﹣6；故选：D．5．解：∵ABED为四边形，∴∠1+∠2+∠A+∠B=360°，又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=270°．故选D．6．解：因为甲、乙、丙、丁四个市场的方差分别为，乙的方差最小，所以二月份白菜价格最稳定的市场是乙．故选B．7、解答：解：如图，在Rt△ADB中，tanA==．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．　8．解：∵菱形对角线互相垂直平分∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，∴AO=3，BO=4，\n∴AB==5，故选A．点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AB的值是解题的关键．　9．解：∵k＜0，函数图象如图，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵﹣2＜1＜3，∴y2＜y3＜y1．故选D．点评：在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．　10．：解：连接OE、OF，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EDF=∠EOF=45°，故选C．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理的应用，关键是求出∠EOF的度数和求出∠EDF=∠EOF．　11．解：∵将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，∴△DBC≌△EBA，∴∠ABE=∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠EBD=∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°．\n故选B．点评：此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．　12．解：①根据图象知，对称轴是直线x=﹣=1，则b=﹣2a，即2a+b=0．故①正确；②根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．连接BA′与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是BA′线段的长度．∵B（0，3），A′（3，0），∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3．故③错误．综上所述，正确的结论是：①②．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．　二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，把答案写在题中横线上）13．（3分）在实数范围内分解因式：a﹣4a3=　a（1+2a）（1﹣2a）　．解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）=a（1+2a）（1﹣2a）．故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．14．（3分）若规定运算符号“★”具有性质：a★b=a2﹣ab．例如（﹣1）★2=（﹣1）2﹣（﹣1）×2=3，则1★（﹣2）=　3　．解：根据题意，1★（﹣2）=12﹣1×（﹣2）=1+2=3．故答案为：3．点评：本题考查了有理数的混合运算问题，根据规定新运算代入进行计算即可，比较简单．\n　15．（3分）（2010•河南）如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为　　．解答：解：连接AE．根据题意，知AE=AD=．则根据勾股定理，得BE=1．根据三角形的内角和定理，得∠BAE=45°．则∠DAE=45°．则阴影部分的面积=﹣﹣．点评：此题综合运用了等腰直角三角形的面积、扇形的面积公式．　16．（3分）（2012•呼和浩特）一组数据﹣1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是5，那么这组数据的平均数是　1.6或0.4　．解答：解：一组数据﹣1，0，2，3，x的极差是5，当x为最大值时，x﹣（﹣1）=5，x=4，平均数是：（﹣1+0+2+3+4）÷5=1.6；当x是最小值时，3﹣x=5，解得：x=﹣2，平均数是：（﹣1+0+2+3﹣2）÷5=0.4．故答案为：1.6或0.4．点评：考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．　17．（3分）（2007•荆州）如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40mm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为　120　度．解答：解：如图，作BE⊥CD于E，根据题意得在Rt△BCE中，\n∴BC=30+50=80，BE=40，∴∠BCE=30°，∴∠ODC=∠BCE=30°，∴∠COD=180°﹣30°×2=120°．故填空答案：120．点评：此题综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质．　18．（3分）将从1开始的正整数按如图方式排列．字母P，Q，M，N表示数字的位置，则2013这个数应排的位置是　N　．（填P，Q，M，N）解答：解：由图可知，每四个数为一个循环组依次循环，P、Q、M为循环组的后三个数，N为下一个循环组的第一个数，∵2013÷4=503…1，∴2013这个数应排的位置是N．故答案为：N．点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出每四个数为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．　三、解答题（本大题共8个小题；共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）先化简，再求代数式的值．，其中a=（﹣1）2012+tan60°．解：原式=•=•=，当a=（﹣1）2012+tan60°=1+时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．　20．（8分）（2010•福州）近日从省家电下乡联席办获悉，自2009年2月20日我省家电下乡全面启动以来，最受农户热捧的四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台．根据上述销售情况绘制了两个不完整的统计图：\n请根据以上信息解答问题：（1）补全条形统计图；（2）四种家电销售总量为　180　万台；（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角是　120　度；（4）为跟踪调查农户对这四种家电的使用情况，从已销售的家电中随机抽取一台家电，求抽到冰箱的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．专题：图表型．分析：（1）由四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台，可计算出销售冰箱、彩电、洗衣机的台数，从而补全直方图；（2）求得四种家电之和即可；（3）由圆心角=360°×所占比例计算；（4）由概率公式计算．解答：解：（1）∵四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，空调已销售了15万台，∴冰箱销售台数=5×15=75万台，彩电销售台数=4×15=60万台，洗衣机销售台数=2×15=30万台，如图所示：（2）四种家电销售总量=75+60+30+15=180万台；（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角=360×=120°；（4）P（抽到冰箱）==．答：抽到冰箱的概率是．\n点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：圆心角度数=相应概率×360°；概率=所求情况数与总情况数之比．　21．（8分）如图，AB表示的是某单位办公楼的高，AE表示从楼顶垂挂下的宣传条幅，其长为30米，CD表示张明同学所处的位置与高度，张明同学测得条幅顶端A的仰角为60°，测得条幅底端E的仰角为30°．求张明同学到办公楼的水平距离（精确到整米数）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先分析图形，根据题意过D点作DF⊥AB于F点构造直角三角形，利用其公共边构造方程求解．解答：解：作DF⊥AB于F点，依题意，得∠FDA=60°，∠FDE=30°，在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=x．在Rt△ADF中，tan60°==，解得：x=15，\n∴DF=x≈26．答：张明同学到办公楼的水平距离约26米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．　22．（8分）（2012•温州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；法2：过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长．解答：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC，又∠DOB为△COD的外角，∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB，\n∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠BDO=90°，∴OD⊥AB，又∵D在⊙O上，∴AB是⊙O的切线；（2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M，如图1，∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°，∴∠DOB=60°，∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC，又∵∠DOB为△ODC的外角，∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，∴∠DCB=30°，∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2，∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2；解法二：过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，∵OM⊥CD，∴CM=DM，又O为EC的中点，∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，∴DE=2OM=2，∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2，∵Rt△BDO中，OE=BE，∴DE=BO，∴BO=BE+OE=2OE=4，∴OD=OE=2，在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2．\n点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的外角性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．　23．（9分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k的几何意义．专题：综合题．分析：（1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值．（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围．（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．\n解答：解：（1）由题意知k2=1×6=6∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）∵x＞0，∴反比例函数的图象只在第一象限，又∵B（a，3）在y=的图象上，∴a=2，∴B（2，3）∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点∴∴故k1的值为﹣3，k2的值为6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，即直线的函数值大于反比例函数值，由图象可知，此时1＜x＜2，则x的取值范围为1＜x＜2；（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE．设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴，∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+OF=m+2∴S梯形OBCD=，即12=∴m=4，又mn=6∴n=，即PE=CE∴PC=PE．点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．\n　24．（9分）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1求证：AE=CD，AE⊥CD．证明：延长CD交AE于K在△AEB和△CDB中∵∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE=CD∠EAB=∠DCB∵∠DCB+∠CDB=90°∠ADK=∠CDB∴∠ADK+∠DAK=90°∴∠ADK=90°∴AE⊥CD（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（2）根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD；（3）根据BC=kAB，DB=kEB，得出=，根据∠DBE=∠ABC=90°，∠ABE=∠DBC，得出△AEB∽△CDB，==，∠EAB=∠DCB，AE=CD，再根据k＞1，得出AE≠CD，最后根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KAO+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD．解答：解：（2）AE=CD，AE⊥CD，∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠DBC，在△AEB和△CDB中，\n∴△AEB≌△CDB，∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，∴∠KOA+∠AOK=90°，∴∠AKC=90°，∴AE⊥CD；（3）AE=CD，AE⊥CD，∵BC=kAB，DB=kEB，∴==，∴=，∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△AEB∽△CDB，∴==，∠EAB=∠DCB，∴AE=CD，∵k＞1，∴AE≠CD，∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，∴∠KAO+∠AOK=90°，∴∠AKC=90°，∴AE⊥CD．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形、全等三角形的判定与性质，关键是能在较复杂的图形中找出相似和全等的三角形．　25．（10分）（2009•三明）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？考点：二次函数的应用．专题：方案型．分析：（1）根据题意得出y1与y2与x的函数关系式；\n（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.05＜0，可求出y2的最大值；（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．解答：解：（1）由题意得：y1=（10﹣a）x（1≤x≤200，x为正整数）（2分）y2=10x﹣0.05x2（1≤x≤120，x为正整数）；（4分）（2）①∵3＜a＜8，∴10﹣a＞0，即y1随x的增大而增大，（5分）∴当x=200时，y1最大值=（10﹣a）×200=2000﹣200a（万美元）（6分）②y2=﹣0.05（x﹣100）2+500（7分）∵a=﹣0.05＜0，∴x=100时，y2最大值=500（万美元）；（8分）（3）∵由2000﹣200a＞500，∴a＜7.5，∴当3＜a＜7.5时，选择方案一；（9分）由2000﹣200a=500，得a=7.5，∴当a=7.5时，选择方案一或方案二均可；（10分）由2000﹣200a＜500，得a＞7.5，∴当8＞a＞7.5时，选择方案二．（12分）点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．　26．（12分）如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC﹣CB交于N，与折线DA﹣AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．（1）用含t的代数式表示b；（2）确定S与t之间的函数关系式；（3）t为何值时，S最大；（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．考点：一次函数综合题．\n分析：（1）设P（t，0），将P点的坐标代入解析式y=x+b就可以求出结论；（2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式；（3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值；（4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可；（5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值．解答：解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），∴0=t+b，∴b=﹣t；（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），∴D（1，3）∴AD=CD=3，AB=7﹣1=6．∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=﹣b，∴OP=|﹣b|，OQ=|b|，∴OP=OQ，∴∠NPB=∠OPQ=45°．过点C作CK⊥AB于K，∴BK=7﹣4=3，CK=AD=3，∴Rt△CKB为等腰直角三角形，∴∠CBO=45°．①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1﹣t，∴BQ=7﹣t，∴S=S△NBP﹣S△PMB=（7﹣t）×3﹣（1﹣t）（7﹣t），=（7﹣t）（2+t），=﹣t2+t+7②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t﹣1，∵∠NPB=∠CBO=45°，∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，∴NE=PB=（7﹣t），∴S=×（7﹣t）×（7﹣t），=（7﹣t）2；（3）①当0≤t≤1时，S=﹣t2+t+7，=﹣（t﹣）2+，∵a=﹣＜0，∴抛物线的开口向下．∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．∵对称轴为直线t=，∴t=1时，S最大=9；\n②当1≤t≤7时，S=（t﹣7）2；∵a=＞0，∴抛物线的开口向上．∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．∵对称轴为直线t=7，∴t=1时，S最大=9，综上所述，t=1时，S最大=9；（4）由题意，得S梯形ABCD=（3+6）×3=．①当0≤t≤1时S=﹣（t﹣）2+=，解得：t=不符合0≤t≤1（舍去），②当1≤t≤7时，S=（t﹣7）2=，解得：t=7±3∵1≤t≤7，∴t=7﹣3．（5）当△POQ∽△PCB时，∴，如图1，在△CBK中，由勾股定理，得BC=3，∵OP=t，PQ=t，BP=7﹣t，∴，解得：t1=0（舍去），t2=1；当△POQ∽△CPB时，∴∠POQ=∠BPC=90°，∴CP⊥AB，∴PC=3，∴AP=3，∴OP=4，∴t=4．∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．\n点评：本题考查直角梯形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．