初中数学补优练习题

初中数学补优练习题

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．（1）求证：方程①有两个实数根；（2）求证：方程①有一个实数根为1；（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2-（2m+n）x+m+n的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．已知关于x的一元二次方程4x2+mx+12m-4=0（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且满足6x12+mx1+12m+2x22-8=0，求m的值．如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（-3，1），并与直线y=-23x+m交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，并且x1、x2满足1x1+1x2+13=0．（1）求反比例函数的解析式；（2）求m的值及△AOB的面积\n证明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n∴△=b2-4ac=[-（2m+n）]2-4m（m+n）=4m2+4mn+n2-4m2-4mn=n2（1分）∵无论n取何值时，都有n2≥0∴△≥0∴方程①有两个实数根．（2分） （2）∵原方程可化为：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）∴x1=m+nm，x2=1；∴方程①有一个实数根为1．（4分） （3）由题意可知：方程①的另一个根为x1=m+nm，∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根，∴m=1，∴二次函数的解析式：y=x2-3x+2．（5分）（4）由题意可知：AB=3，由勾股定理得：AC=4∴C点的坐标为（1，4）当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分）∵C在抛物线上，∴4=a2-3a+2a2-3a-2=0∴a=3±172，舍去负值，∴a=3+172；∴△ABC平移的距离：3+172-1=1+172．（7分）（2）解：∵方程的两个实数根为x1和x2，∴x1+x2=-m4，x1x2=12m-44，∵6x21+mx1+12m+2x22-8=0，∴x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴m2-4m=0，解得m=0或4．解：（1）把（-3，1）代入到y=kx，得：k=-3×1=-3，∴反比例函数的解析式为y=-3x；（2）∵反比例函数y=-3x与直线y=-23x+m交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴-3x=-23x+m，整理得：-23x2+mx+3=0，∴x1+x2=3m2，x1•x2=-92，∵1x1+1x2+13=0，\n整理得：x1+x2x1•x2=-13，即：32m-92=-13，解得m=1，∴直线的解析式为y=-23x+1，∴A（3，-1）、B（-32，2），∴直线AB与y轴交于（0，1），∴S△AOB=12×1×（3+32）=94．本题考查了反比例函数的综合知识，特别是与跟与系数的关系的结合更是一个难点