初中数学《圆综合》讲义及练习

初中数学《圆综合》讲义及练习

第五讲圆综合中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题知识点睛一、弦切角定理（选讲）1.弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，一边与圆相交的角叫弦切角2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角如下图：切于，为圆的弦，则。二、四点共圆（选讲）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．\n方法4：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．　　上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．重、难点灵活应用圆的性质解决综合题，其中添加恰当的辅助线是难点。例题精讲板块一圆中的全等【例1】如图，等边内接于，是上任意一点，连结．求证：．【解析】解法一：在上取一点，使，连结．∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．解法二：延长到，使，连结．∵是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵∴．\n解法三：延长到，使，连结．方法类似解法二，先证明，从而可得是等边三角形，∴．【例1】已知点、、、顺次在上，，于点，求证：．【解析】证法一：如图，作交延长线于，先证，得，．再由，得，故证法二：如图，延长至，使，而，则，得，且，而，故，则，最后可证得：．证法三：如图，利用对称性把条件转移，仍用”接”的办法证明．在上取一点，使．则．过作交延长线于，先证明，则，且．再证明，则，故有证法四：如图，在上截取，则易证，得，，而，，，故，得，即\n【点评】本题可将条件”“改换成”平分的外角，交于“其结论仍成立．【例1】(三帆中学2007～2008学年度第一学期期中考试)在中，，是它的外接圆上包含点的弧的中点，上的点使得，求证：．【解析】解法一：如图，在上取一点，使得，连接，由，∴，又∵是圆上包含点的弧的中点，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．解法二：如图，过点作交延长线于，连结，∵是圆上包含点的弧的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．(类似此方法还可以”延长到，使，连结“)解法三：如图，延长到，使，连结，∵是圆上包含点的弧的中点，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，\n∴，∴，∴，∴，∴．【点评】圆中也经常会遇到”证明两条线段之和等于第三条线段”的问题，与直线形的处理方法类似，利用我们常说的”截长补短”，由于圆的”对称性”，这里的证明思路会扩展很多．【例1】如图，外接于边长为2的正方形，为弧上一点，且，，求的长．【解析】如图所示延长到，使，连接．圆内接四边形对角互补，则，又则容易证明∴，，∴∴．【例2】圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．【解析】证法一：如图，设四边形内接于圆，且，为之弦心距．作的弦心距，连接、．显然的度数．∵，∴，∴．又，∴．∵，∴．∴，即．证法二：如图，作直径，连接、．∵、为中点，∴．∵，，\n∴，∴，∴．即，∴．证法三：如图，设、交于，为之中点．连接延长垂直于．连接延长必垂直于．连接．∵，，∴，同理．∴为平行四边形，∴．而(∵是斜边上的中线)，∴．板块二　二次函数与圆【例1】（山东滨州卷）已知：抛物线与轴相交于两点，且．（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．解得，．为正整数，．．解法二：由题意知，当时，．（以下同解法一）解法三：，．又．．（以下同解法一．）解法四：令，即，．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，．解得．的取值范围是．解法二：由题意知，当时，．解得：．的取值范围是．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．，．的取值范围是．\nＡＢxＤyOyxＯＰＱＦ7（Ⅲ）存在．解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧，．由切割线定理知，，即．，．解法二：连接．圆心所在直线，设直线与轴交于点，圆心为，则．，．在中，．即．解得．【例1】（四川攀枝花卷）已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。\n∴所求抛物线为：或以下同下。解法二：由题意得C(0,2),设点M的坐标为M（x，y）∵点M在直线上，∴由勾股定理得，∵∴=，即解方程组得∴M（-2，4）或M‘（2，0）当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，∵抛物线过（0，2）点，∴，∴当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为∵抛物线过（0，2）点，∴，∴∴所求抛物线为：或（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴不合题意，舍去。∴抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得（3）∵AB是⊙N的直径，∴r=，N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN=4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴，作NG⊥CM于G，在=r即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径∴直线CM与⊙N相切【例1】(2007襄樊)如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点，是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．\n【解析】⑴由题意得，，的坐标分别为，，．设抛物线解析式为，则∴，，．∴所求抛物线为．对称轴为直线：．⑵设时，与⊙切于点．连结，，，则，．又，分别平分和而，∴，∴∵，∴∽∴即，∴由于时间只能取正数，所以即当运动时间时，与⊙相切此时：，，，⑶点关于直线的对称点为，则直线的解析式为：∴直线交直线于，，此时最小，∴，【巩固】(2007南充)如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．⑴求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求最小值．⑶是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．\n【解析】⑴由已知，得，，∵　抛物线过点和，则　解得　则抛物线的解析式为，故．(说明：抛物线的大致图象要过点、、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)⑵如图①，抛物线对称轴是　．∵，抛物线上，∴．过点作轴于点，则，，∴．又∵与关于对称轴l对称，∴的最小值．CAMBxyODEQPK图①l　　CAMBxyODE图②⑵当在第四象限时，如图②，连结和．由已知，得　．是的切线，∴，则．又∵，∴．∴．又在和中，，则．设所在直线的解析式为，过点，，∴　解得　直线的解析式为．\n又∵直线过原点，且，则的解析式为．当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，∴直线的解析式为【点评】本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．【例1】(2006山东潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．⑴求一次函数与二次函数的解析式；⑵判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；⑶把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【解析】⑴把代入得，∴一次函数的解析式为；∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，∴设二次函数解析式为，∴把代入得，∴二次函数解析式为．⑵由，解得或，∴，，过点分别作直线的垂线，垂足为，，则，∴直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则，，\n∴，∴的长等于中点到直线的距离的2倍，∴以为直径的圆与直线相切．⑶平移后二次函数解析式为，令，得，，，∵过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，，∴，而，∴∴当时，过三点的圆面积最小，最小面积为【点评】本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．【例1】(2008江苏宿迁)（本题满分12分）如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动．⑴当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；⑵当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；⑶设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．【解析】⑴∵四边形为正方形，∴∵、、在同一条直线上，∴，∴直线与相切；⑵直线与相切分两种情况：①如图2，设点在第二象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．由得∴，，∴，故直线的函数关系式为；②如图3，设点在第四象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．由得\n∴，，∴，故直线的函数关系式为．⑶设，则，由得∴∵∴．板块三弦切角定理（选讲）【例1】两圆内切于，大圆的弦切小圆于，则．【解析】证法一：如图，设、交小圆于、，连接、，过作公切线，则，，∴，∴，∴，∴．证法二：如图，连接，作公切线，则，．∴．又，∴．证法三：如图，∵，．而，，∴．证法三：如图，作公切线，延长交大圆于，连接．则，，，∴．∴．【例2】已知：如图所示．与外切于，是过的割线，于．交于，切于，过点作直线交于．求证：．【解析】连接，作内公切线．因为切于，所以，所以，，又∵是直径．所以．即，所以．\n所以．即．【例1】已知圆、外切于，过圆上一点作圆的切线，交圆于，为切点．求证：．【解析】证法一：如图，过作两圆的公切线，交于，延长交圆于，∴，．∴．又，∴．∴是的外角平分线，故．证法二：如图，延长到，使，连接．由首证可知，又公共，∴．∴，，即是的内角平分线．∴，∴．证法三：如图，过作交于，则，，由首证可知：，又．∴，∴．∵，∴．故．证法四：如图，延长交圆于，连接．由首证可知：，而，∴．\n又，∴．∴．⑴显然，∴⑵⑵式÷⑴式得：．证法五：如图，延长，分别交圆于、，连接，则，，∴，，．∴．又，∴．∴，∴．于是，即．故．根据切割线定理有：，，∴，故．∴．板块三四点共圆（选讲）【例1】如图和中，，求证点，，，四点在同一个圆上．【解析】经过，，三点作，假设点不在上则点在内或外．⑴当点在内时，延长交于，连结，则有又∵，∴这与相矛盾∴点不在内．⑵当点在外时，不妨设交于，连结，则，又∵∴这与相矛盾∴点不在圆外．所以综合⑴⑵，点在上．故点，，，四点在同一圆上．【例2】已知在凸五边形中，，且，求证：\n．【解析】连结，∵，∴，∴，∵，∴四点共圆，四点共圆，∴五点共圆，∴．【例1】过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为，所作割线交圆于两点，在之间．在弦上取一点，使．求证：．【解析】如图，连结．∵，又，∴，∴四点共圆，∴，又，且，∴．家庭作业【习题1】已知在中，，的外角平分线交的外接圆于点，过作，垂足为，求证：．【解析】在上取一点使，连结并延长交圆于，连接，\n则有，又∵，∴，于是．又∵，所以，于是，，故．【习题1】已知：如图，与内切于点，的弦交于点和，若，求的长．【解析】过点作两圆的外公切线，∴，∴，∴，∴．【习题2】(2008江苏无锡)（本小题满分10分）如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：⑴点的坐标（用含的代数式表示）；⑵当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【解析】⑴过作轴于，∵，∴，∴，，∴点的坐标为．（2分）⑵①当与相切时（如图1），切点为，此时，∴，∴，∴．（4分）②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，（5分）\n∴，∴．（7分）③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，∴，∴．（8分）过作轴于，则，∴，化简，得，解得，∵，∴．∴所求的值是，和．（10分）