巧用配积法推广一类初中数学竞赛题

巧用配积法推广一类初中数学竞赛题

2010年第2期9命题与解题巧用配积法推广一类初中数学竞赛题石
岩吴
康
(华南师范大学数学科学学院2007级研究生,510631)(华南师范大学数学科学学院,510631)中图分类号:O122

文献标识码:A

文章编号:1005-6416(2010)02-0009-03[2]题2原解
考虑到M中a、b、c的#地1
问题原解abbcca位平等∃知,++的值取决于两题1
已知实数a、b!0,令|ab||bc||ca|abababcx=++.个数积的符号,的值取决于三个数积的|a||b||ab||abc|[1]则x的最大值与最小值的和是.符号.故可按a、b、c中正数的个数分类:(第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初(1)当a、b、c均为正数时,M=7.一复赛)(2)当a、b、c中有两个正数、一个负数时,题2
已知a、b、c是非零实数,且abc++=1,|a||b||c|abcabbccaabcM=++++++.|a||b||c||ab||bc||ca||abc|abbccaabc++=-1,=-1.[2]|ab||bc||ca||abc|求M的值.题1原解[1]
按a、b中负数的个数,可从而,M=-1.(3)当a、b、c中有一个正数、两个负数时,分三种情况:(1)a、b均正,则x=3;a+b+c=-1,|a||b||c|(2)a、b一正一负,则x=-1;abbccaabc(3)a、b均负,则x=-1.++=-1,=1.|ab||bc||ca||abc|综上,x的最大值为3,最小值为-1.从而,M=-1.故所求为2.(4)当a、b、c全为负数时,M=-1.

收稿日期:2009-05-22综上,M的值为-1或7.


OCDOAB
DCAB.PAPMMP===.PDPNPN(1)若DC=AB,易得从而,以OP为直径的圆是线段MN的ME=MF=NF=NE.阿氏圆.(2)若DC!AB,则四边形ABCD为梯再注意到OEAP,OFBP,易得形.不妨设DC0;|a||b|=|x|-1,x<0-1,a、b中至少有一个为负数;=3,a>0,b>0.可知,x1、x2、x3只能取∋1.通过分类讨论的方法,即得结果.若将二元、三元推广到任意题2新解
令xabc1=,x2=,x3=.|a||b||c|n(n>3)元,再用上述的方法求解,其工作量则M=x1+x2+x3+x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3可想而知.=(1+x1)(1+x2)(1+x3)-1本文介绍一种新的方法(((配积法,先abc将原式化简,再进行讨论,进而得到更一般的=1+1+1+-1|a||b||c|结论.-1,a、b、c中至少有一个为负数;=2
问题新解7,a>0,b>0,c>0.%总结&用配积法解此类问题,可以简化21
配积法介绍繁杂的分类讨论过程,揭示问题的本质,且更注意到容易将其推广.2(t+x)(t+y)=t+t(x+y)+xy.令t=1.则3
问题推广(1+x)(1+y)=1+x+y+xy.现给出与n元初等对称和式同理,(1+x)(1+y)(1+z)f1(x1,x2,+,xn)=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz.n故x+y+xy=(1+x)(1+y)-1,)=xi1xi2+xikk=11,i10;yi==(i=1,2,+,n).abcdabac|xi|-1,xi<0B=--+++-|a||b||c||d||ab||ac|则g1(x1,x2,+,xn)=f1(y1,y2,+,yn)adbcbdcdabc-+++-n|ad||bc||bd||cd||abc|=yiyi+yi12kk=11,i1

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