初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）方程是--种重要的数学模型，也是重要的数学思想有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。一、知识要点1.形如吃・b方程的解的讨论：⑴若金=0,①当时，方程有无数个解；■②当匸丸吋，方程无解；■⑵若訥,方程的解为＞=*0d2.关于一元二次方程&+虹*・0（/0）根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。⑴若盘乂4＜：・1],则它有一个实数根T=1；若，则它有一个实数根t=—1。⑵运用数形结合思想将方程eGMK.DG絢根的讨论与二次函数ysUMyG丸）的图象结合起來考虑是常用方法。3•涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根（即原分式方程的增根）。4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的儿何意义。5•解决有关方程整数根的问题吋，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。二、例题选讲1•方程整数根的讨论例1•已知且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是0解：设方程的两个实数根为、、J，贝1」90・》十髻■-偽十勺）十巧号・仇_叹升-1）-1,所以仇-叹齐・9■册。因为打、j都是整数，且97是质数，若设则xB-I-1，x,-l-97,\n或，因此最大的根是98。\n评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在冇关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.（2004年四川）已知厂g为整数，关于，的方程”・・*丹4童41・0冇两个相同的实数根，则头一匕等于（）A.l；B.2；C・±l；D.±2・分析：依题意得丄@*4*4&-0-&-0.—4盘4444.0，所以风-1）.2,4由二，A为整数得,或所以二一卍=±1。例2.（2000年全国竞赛）已知关于>的方程的根都是整数，那么符合条件的整数乂有个。解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。①当时，=1，符合题意；②当a.l时，原方程是一元二次方程，易知、汇是方程的一个整数根。设（，是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得1十斗・2_。因为、是整数，所以】_戈=1-A±1,或±2,・•・力=一1,0,2,3o结合①、②得，木题符合条件的整数矢有5个。评注：木例首先对疋项的系数是否为零进行了分类讨论。对于..1时方程解的讨论方法具有一般性，即由吕■丄7是整数判断得、七=±1，或±2。1l-d延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应川到整除知识与分解变形技巧,是初屮数学竞赛常考的内容，如：（2004年信利杯）已知八匕是实数，关于…的方程组有整数解（t,v）,求二、匕满足的关系式。解：原方程组刊化为尸■-x1—'所以（l+Riy■x*，显然方程屮*工一1,因此，■丄・£±1二丄。因为八是整数，所以即」o,或X-I-1X-klx+l\n当r=0时此时二、匕满足的关系式是卜=0（7为任意实数）;当>=—2时，m=8,此时0、匕满足的关系式2«m・D。例3.（2004年全国联赛）已知方程x»-fa-4n*-32.-0的根都是整数，求整数三的值。解：原方程的解为一缸眉'43血小。因为方程式的根都是整数，所以易十g必须是完全平方式。设3#站・0・|»1■（二>°），贝IJ®十的'-，5・・・，所以6十8十*»令8-・）・，5。'：55-1x55-5x11-（-9<-55）-（-9<-10冃為十8十曲>為十卜■，.pN+«+M-55pN*«4-M-!!p»+84n--la--5・・12N44-M-1，（2N44-M-5，12W4-8-3B--55'b”十解得-=10,0,-18,-8O评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初屮数学竞赛题屮较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：类题.（2004年太原）已知&为整数，若关于丫的二次方程AxUQ*十为x1・O有有理根，则的值是o分析：由已知得A.・C»+豹-4fc为完全平方数。设（2fc十胪为正整数），即心皿①将①看作是关于J的二次方程，由题设知冇整数根，故式①的判别式■应为完全平方数。令I®■-正整数，且匕>：：），则■沖■，‘因此严》■!解得［■",所以①可化为，解得.=—2,或卩0（舍却。R1>9・2例4.（2001年全国竞赛）如果次,A为质数，且寸・13*.・D'y-l»4->-n'那么i+-b0的值为（）A.咚；B.空或2；C«l；D.竺或2.22222222解：依题意，「-都是关于二的方程r-i3>+.-D的根。\n若二丸，贝心，&是方程-l3r+«.0两个不相等的实数根，所以«41i-13。因为「J为质数,所以去=2、u=ll或卫=11、4=2,因此巳4■丄=竺；b«22若,贝【J糸=或=h=H＞所以—4*—=2o因此木题答案选B。ba评注：木题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。匸，匕都是关于二的方程«f-l3r+«-0的根，可能有汁匕与/匕这-点容易忽视。两个质数的和是13,这两个数只能是2与11.初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（二）安徽省巢湖市教学研究室张永超2•—元二次方程根的大小分布例5.（2002年全国竞赛）设关于t的方程型口@出购士衍“有两个不相等的实数根、且＞那么糸的取值范围是（）■I■A・_z.＜；；＜二；B.0＞二；C・w＜一二；755711解：设/（r）=or14*（1»依题意，方程的两个不相等的实数根打、—满足^＜1结合二次函数的图彖可知，必须有d>0CD(I)-&"(a+9*~4xax9a>0/(D■卄卄2+9以0)®1a<0&"(a+9*-4xax9a>0/©■卄*2+9d>0解不等式组⑴得，①、③次的取值范围没冇公共部分，因此⑴没冇解;\na<0解不等式组⑵得.-£"Ti评注：本例的解答涉及到解一元二次不等式。解一元二次不等式不在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》范围内，但是《初中数学竞赛大纲》对此有一定的要求。我们对以结合一元二次方程的解法作初步的探索与了解。例6.（2002年全国竞赛）已知Iu为抛物线与t轴交点的横坐标,二<匕，咔-b|的值为O解：要求by咔-对的值，首先要根据—一一匕的正负去掉绝对值符号。根据抛物线表达式可知，当、"时，j—2<0o又因为戈v丁，二次项系数为1,因此我们得到的抛物线的形状大致如右图所示，并n^0,求弋的取值范I节|。\n®72<—2,j>0,所以函数■X*-Qb-3）x+»-4对应的图象如上图所示。因此・/（呵・（7f-Qh-3X-3）+m-4<0解这个不等式组得/09■■-4"®■所以二的収值范围是Z.V二V二。*评注：本题求解过程中根据/<勺、yc刃、三个点的函数值得到一个不等式组，可以保证>0,因此没有再列出根的判别式，这一点需要仔细推敲与感悟。这样处理也避免了解--元二次不等式。本例解答给我们的启示是，解题时首先要认真审题、分析题意，选择蚁优化的解题方法，这样做可以简化计算，提高解题准确率。3.与一元二次方程冇关的最值问题例8.（2004年信利杯）已知二<0,b<0,L->0,且乂，求的最小值。解：-4rw两边平方得护而二亡>°即3*D，用f以*-.★1・0,即ft-iv+lo因为丁三0,所以当匕=0时，护一取得最小值是4。评注：求与一元二次方程有关的最值问题一般将所求问题转化为二次函数的最值问题來解决，或使用一元二次方程根的判别式来解决。延伸拓展：2004年出现了多道用、•一么编拟的竞赛题，女（1：类题.（2004年全国初小联赛）已知护-y是一元二次方程Art+ta4^=O（0*（t»的一个实根，则&的取值范围为（）。\n由题设知,原方程的两个实根m有一个等于护_仕,分析:冇2a或44-心十址。若设・■石禺玄血，那么\n右||・—U4b・D或4-u-i-b"0°因为*■是T实数'因此△=1・8泌之0,解得a0,并且匕20,解得10PS9。所以x*-4F+/*的最大值为9,最小值为1o评注：本题是利用构造法，将「.：•看作是方程#*±E^+bZ.o的两个实数根，122根据根的判别式求解的。本题还可以构造不等式组求解。如由①、②町得③（,+^»=?2£>0,且a-力・=3：3N0,从而l（■寸一3，所以匕、匚是方程屮4•型十4■一3・Q的两个根，因为二，M「是实数,所以/=亠4"7）少解得-2<^<2,故左的最大值为2。例10.（2003年四川）若、、J是方程xf—2Mr+（m>十2»十茅・D的两个实数根'则彳十疥的最小值是O解：依题意得，①②③4=（-2撷『-4阳+2用+3）X0i旺+开2=2用1州心=亦+2用+3\n解①：山②、③得\n-2»*-4»-6-2^-09-8，所以当-=_|时，斗十耳有最小值｝评注：木题的关键在于根据方程冇两个实数根，利用根的判别式求出二的取值范围二<_±,在^<_±的范围内求彳氓的最小值，否则容易错误地认为取二=i得i/+4的最小值为一8。初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）4•其它方程的解的讨论例11.（2003年四川）若关于（的方程_■竺±1只有一个实数解，贝件=—。1-1r-jX解：去分母得,整理得Jkx・-a-2）x-1・D①。当-7=0时，方程①有一个实数根>=1,经检验、=丄是原方程的解;1>0,因此方当沖时，方程①是一元二次方程。因为■卜■■咿■令■吗程①总有两个实数根，其屮一个根是原方程的增根。而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是>=0,或，=1。因为不可能是方程①的解，所以只能是方程①的解，因此k-a-刀“・0,解得i-=lO■）综上所述，当7=0,或r.=L时，原方程只有一个实数根。•?评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。・本例类似的问题有：类题.戈是什么整数时，方程_£_+£rl+2£2±.o只有一个实数根？指出所有这样x-2x2）的玄值，并求出与它相对应的根。分析：方法与例22类似，答案为戈=4,或戈=8。\n例12.（2001年我爱数学夏令营）如果满足的实数i恰有6个，那么实数去的值等于o解：显然齐＞0。原方程可化为p-6x-16|-10±«o若＞10，则原方程等价于卜10七，可化为。十町即x'-tfx-UitQ0+4=0此时原方程只有4个解，不符合题意。若0＜二＜10，则原方程等价于|r9-fiz-lt|-它可以化为如下四个方程：-a"0，x*-0，j＞-6i-26-®-0，此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。若定=10,贝IJ原方程可化为如下三个方程:x&-6x+4-0＞ra-（5ix-30i-0xa-6r-16-0»每个方程各冇两个不同的实数解，所以二=10符合题意。评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。实际上木题用图彖法解答较为简便，方法是：先作函数卜叫的图象，并将函数》■■的图象\n沿.：•轴方向上下平移，不难发现，只有当戈=10时，函数尸■■的图象与函数7-|p-tfx-U卜叫的图象才有6个不同的交点，即原方程恰有6个解；当10<^<15或戈=0吋，原方程恰有4个解；当时，原方程恰有3个解；当0<二<10时，原方程恰有8个解。（如上图所示）延伸拓展：川类似上例的方法可以解决下列问题：类题.（2003年北京）如杲满足|x>.4z-5|-6|-«的实数，恰有「6个值，则实数七的取值范围是（）.A.-6<^<0；B.0<^<3；C.3<^<6；D.6<^<9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.（2001年武汉）方程書却的整数解（）.A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组：D.至少有4组。解：根据二次根式运算的性质nJ知，只有被开方数相同的最简二次根式可以加减（合并）,因此石、万必须被开方数相同，而厕T.辰西7,被开方数中没有能开得尽方的因数,所以方程没有正整数解,只能有匸盂与｛;「两组整数解。评注：若将石冬&■上丽r改为缶■爲丽’则原方程可化为后韦j颍,这时占、JF可分别设为衣・曲1，（其中f：：是整数），则方程五诂■历匝有8组整数解。延伸拓展：有关二次根式的竟赛题，除以被开方数相同为背景外，还可以以其被开方数为非负数来命制试题，如:\n数对（if）的个数是（）A.l；B.2；C.3；D.4分析：由已知等式町得（岳■--o，而£■»•石十£665">0,所以折-4^・Q案选B。故¥・3»3。乂因为2003是质数初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（四）三、练习题1•设.是关于"的-•元二次方程x>+«+->.2两个实数根，则3・2耳）（勺-2巧）的最大值为O2.已知实数戈、丁满足,“口*・1，““-/-沪，那么f的取值范围是o3.若关于>的方程卜x|・J«有解，则实数v的取值范围是—o4.实数—;■>二满足则二的最大值是—o5•满足方程・皿_1“"・0的实数对（t，f）的个数等于o6.方程14-1.*1实数根的个数为（）A.1；B.2：C.3；D.47方程£+2-7.0的整数解冇（）组。X+IA」；B.2；C.3；D.4.8•已知方程£*屮■问T，贝眦方程的正整数解的组数是（）A.l；B.2；C.3；D.4.9•若关于■的方程Q-・％U2«-l・D的所有根都是比1小的正实数根，求实数二的収值范围。\nIO•求满足如下条件的所有丨值，使得关于■的方程的根都是整数。11•匚L知实数w,=,j[两足匕十c■2，dBc■4°⑴求厂丁，「小的最大者的最小者；⑵求忖十屮耳的最小者。12.匸是人于零的实数，己知存在唯一的实数匚-，使得关于丫的二次方程+<*-0的两个根均为质数，求七的值。练习题参考答案L-®:2.-32；10.当牙=0吋，所给方程有整数根1；当列时，设所给方程两个整数根为-、fc-1则*】+'厂*■*■=2所以(丁1)(j-1)=3o》7=・2,或»+»=6,因此■]■丄■—2,或■]■丄・6，解得4=1,或〜=一丄。1212kk7当.-=1,或>=-1时，★炉-440-1)均大于0,因此满足要求的$.值冇三个，它7们是严0,或・=i,或=-Lo711.(1)不妨设糸是二，,L-111的最人者，即齐2丁，处匚。由题意知去>0,且te-lo于是八「可看作方程农的两个实数根，则Z=p_^«_4x*>0oa«0整理得d-4a，0,所以八八「为全大于0或一正一负。\n①若二、J、匚均大于0,则由⑴知，7、「「中的最大者不小于4,这-Mu+-+l-=2■■矛盾。②若W、匸、L-一正一负，设0>0,DV0,L-<0,则由⑴知0仝4,故脸7彳6。当0=4,匕=「=一1时，满足条件J1使得不等式等号成立，故H+HHd的最小值为6。10.设方程的两个质数根为匸、三，由一元二次方程根与系数的关系，有p+4=-9①，pq=l999^^ak②。①+②得，，+0*科・1999,•*.0-»1^+0-34^③。由③知，三、弓显然均不能为2,故必为奇数，・・・与1和乎均为整数，H.号I*罟・2Gy。若吐£为奇数，则必出■”仆=1,2,3),贝Jp.2xZ-l为合数，矛盾。22同理，世也为偶数。因此出和巴均为整数，且2*1.•+1.5>o24444不妨设二「则或5。当竺£■［时，ItL.j1,得戸・3,"499均为质数。当£±1.5时，竽・『，得/■«>，7-»为合数，不合题意。综上用知.・3,q・4W。代入①得F3+SO2.I)④。依题意，方程④有唯一的实数解AA.ff>_4x$02-0°解得a-2^02°