南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学答案

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学答案

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2}2．－33．4．555．6．y＝±x7．68．9．必要不充分10．x＋y－3＝011．－.12．[，e]13．{}14．二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4．……………2分因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，即ab＝4．……………4分解方程组得a＝2，b＝2．……………7分（2）由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以sinBcosA＝2sinAcosA．当cosA＝0时，A＝．所以B＝．所以a＝，b＝．……………10分当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，所以b＝2a．解方程组得a＝，b＝．……………13分所以△ABC的面积S＝absinC＝．……………14分16．证：（1）连结AC1交A1C于点O，连结OE，OF．因为正三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以OA1＝OC．因为F为AC中点，所以OF∥AA1∥CC1，OF＝AA1＝CC1．高三数学答案第7页共7页n因为E为BB1中点，所以BE∥CC1，BE＝CC1．所以OF＝BE，OF∥BE．所以BEOF是平行四边形．所以BF∥OE．………………4分因为BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC．………………7分（2）因为AB＝CB，F为AC中点，所以BF⊥AC．因为AA1⊥平面ABC，BF平面ABC，所以AA1⊥BF．………………9分由（1）知BF∥OE．所以OE⊥AC，OE⊥AA1．而AC，AA1平面ACC1A1，AC∩AA1＝A，所以OE⊥平面ACC1A1．………………12分因为OE平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1．………………14分17．解：（1）由题意得，………………4分解得9≤x≤15．所以x的取值范围是[9，15]．………………7分（2）记“环岛”的整体造价为y元．则由题意得y＝a×π×(x2)2＋ax×πx2＋[104－π×(x2)2－πx2]＝[π(－x4＋x3－12x2)＋12×104]．………………10分令f(x)＝－x4＋x3－12x2．则f′(x)＝－x3＋4x2－24x．由f′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝10或x＝15．………………12分列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f′(x)－0＋0f(x)↘极小值↗所以当x＝10，y取最小值．答：当x＝10m时，可使“环岛”的整体造价最低．………………14分18．解：（1）由题意，得2a＝＋＝4，即a＝2．………………2分因为c＝1，所以b2＝3．高三数学答案第7页共7页n所以椭圆C的标准方程为＋＝1．………………5分（2）因为F(1，0)，B(，)，所以P(－，－)．所以直线AB的斜率为．所以直线AB的方程为y＝(x－1)．………………7分解方程组得点A的坐标为(0，－)．…………………9分所以直线PA的方程为y＝－x－．…………………10分（3）当直线AB的斜率k不存在时，易得yM·yN＝－9．当直线AB的斜率k存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B(－x2，－y2)．所以＋＝1，＋＝1．两式相减，得＋＝0．所以＝－＝kPAk．所以kPA＝－．…………………12分所以直线PA的方程为y＋y2＝－(x＋x2)．所以yM＝－(4＋x2)－y2＝－－y2．直线PB的方程为y＝x，所以yN＝．…………………14分所以yM·yN＝－－．因为＋＝1，所以4y＝12－3x．所以yM·yN＝=－9．所以yM·yN为定值－9．…………………16分19．解：（1）因为f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1．又f(0)＝1，所以y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1．…………………2分因为g′(x)＝2ax＋b，所以g′(0)＝b．又g(0)＝1，所以y＝g(x)在x＝0处的切线方程为y＝bx＋1．所以当aR且b＝1时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线．…………………4分（2）当a＝1时，h(x)＝，高三数学答案第7页共7页nh′(x)＝＝－．…………………7分由h′(x)＝0，得x＝1或x＝1－b．所以当b＞0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)．当b＝0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)．当b＜0时，函数y＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b，＋∞)．…………………10分（3）当a＝0时，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex－bx－1，φ′(x)＝ex－b．①当b≤0时，φ′(x)≥0，函数φ(x)在R上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x＜0时，φ(x)＜0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．…………………12分②当b＞0时，由φ′(x)＞0，得x＞lnb，φ′(x)＜0，得x＜lnb，所以函数φ(x)在(－∞，lnb)上是减函数，在(lnb，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b＜1时，lnb＜0，φ(0)＝0，所以φ(lnb)＜0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．（Ⅱ）当b＞1时，同理φ(lnb)＜0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．（Ⅲ）当b＝1时，lnb＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．所以φ(x)≥φ(0)＝0．故b＝1满足题意．综上所述，b的取值的集合为{1}．…………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋15d＝22，a1＝2，所以d＝．………………2分所以Sn＝．an＝(n＋2)………………4分（2）因为数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{ak}的公比q＞1．要使q最小，只需要k2最小即可．若k2＝2，则由a2＝，得q＝，此时ak＝{an}，所以k2＞2，同理k2＞3．………………6分若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时ak＝2n．因为ak＝(kn＋2)，所以kn＝3×2n－1－2．………………10分（3）因为ak＝(kn＋2)＝2qn－1，所以kn＝3qn－1－2(q＞1)．当q不是自然数时，kn不全是正整数，不合题意，所以q≥2，q∈N*．.不等式6Sn＞kn＋1有解，即＞1有解．经检验，当q＝2，3，4时，n＝1都是＞1的解，适合题意．…………………12分高三数学答案第7页共7页n以下证明当q≥5时，不等式≤1恒成立．设bn＝．则＝＝＝(1＋)＝(1＋)＝(1＋)．因为f(n)＝(n＋3)－－1在n∈N*上是增函数，所以f(1)≤f(n)＜＋∞，即≤f(n)＜＋∞．所以＜≤．……………………14分因为q≥5，所以＜1．所以数列{bn}是递减数列．所以bn≤b1＝＜1．综上所述，q的取值为2，3，4．……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2014.01高三数学答案第7页共7页n说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲解：因为P为AB中点，所以OP⊥AB．所以PB＝＝．………………5分因为PC·PD＝PA·PB＝PB2，PC＝，所以PD＝．………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C上一点(x′，y′)对应于曲线C′上一点(x，y)．由＝，得x′－y′＝x，x′＋y′＝y．…………………5分所以x′＝(x＋y)，y′＝(y－x)．因为x′y′＝1，所以y2－x2＝2．所以曲线C′的方程为y2－x2＝2．…………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的普通方程为4x－3y－2＝0，圆C的直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2．…………………5分由题意，得＝|a|，解得a＝－2或a＝．………………10分D．选修4—5：不等式选讲证：因为x1，x2，x3为正实数，所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2．即＋＋≥1．…………………10分22．（本小题满分10分）解：（1）由点A(1，2)在抛物线M∶y2＝2px上，得p＝2．高三数学答案第7页共7页n所以抛物线M的方程为y2＝4x．…………………3分设B(，y1)，C(，y2)．所以－＋＝－＋＝－＋＝1．…………………7分（2）设D(，y3)．则－＋－＝－＋－＝0．…………………10分23．设m是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)中，ai＝2或－2(1≤i≤2m)．（1）求满足“对任意的1≤k≤m，都有＝－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数A；（2）若对任意的1≤k≤l≤m，都有|ai|≤4成立，求满足“存在1≤k≤m，使得≠－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数B．解：（1）因为对任意的1≤k≤m，都有＝－1，所以(a2k－1，a2k)＝(2，－2)或(a2k－1，a2k)＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数A＝2m．…………………5分（2）当存在一个k时，那么这一组有2C种，其余的由（1）知有2m－1种，所有共有2C2m－1种．当存在二个k时，因为对任意的1≤k≤l≤m，都有|ai|≤4成立，所以这两组共有2C种，其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C2m－2种．…依次类推得：B＝2C2m－1＋2C2m－2＋…＋2C＝2(3m－2m)．…………………10分高三数学答案第7页共7页