葜菔014届高三第二次调研考试数学试题及答案(理科)

葜菔014届高三第二次调研考试数学试题及答案(理科)

惠州市2014届高三第二次调研考试数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。参考公式：球的体积公式：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数的虚部为（）i>5?否开始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是输出S结束2．设集合，集合为函数的定义域，则（）3．设是等差数列的前项和，,则（）4.按右面的程序框图运行后,输出的应为（）5.“”是“直线:与:平行”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（）正视图俯视图左视图7．采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为,，……，，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为（）数学试题（理科）第9页共9页n8．已知函数且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（　）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．若向量则.10.若，则=.11.已知变量满足约束条件则的最大值为.12.若展开式的常数项是，则常数的值为.13．已知奇函数则的值为.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是________.15.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径延长线上一点，是圆的切线，是切点，，，，=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知函数.(1)求函数的最小正周期和最值；(2)求函数的单调递减区间．17．（本题满分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共只，其中有只合格品，只次品。（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡次，每次取一只灯泡，求次取到次品的概率；（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望．数学试题（理科）第9页共9页n18.（本小题满分14分）四棱锥底面是平行四边形，面面,,,分别为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程的正整数的值．20．（本小题满分14分）已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为线段的中点，求；（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．21．（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.数学试题（理科）第9页共9页n惠州市2014届高三第二次调研考试数学(理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BDBCADAA1.【解析】因为。故选B2.【解析】集合，集合B为函数的定义域，所以，所以（1，2]。故选D3【解析】得，即，所以，选B4.【解析】第一次循环：，不满足条件，再次循环；第二次循环：，不满足条件，再次循环；第三次循环：，不满足条件，再次循环；第四次循环：，不满足条件，再次循环；第五次循环：，满足条件，输出S的值为40.故选C5.【解析】由直线:与:平行，得，所以“”是“直线:与:平行”的充分不必要条件。故选A6.【解析】由题知该几何体是挖去个球的几何体。所以.故选D7.【解析】由系统抽样的原理知将960人分30组，所以第一组抽450/30=15人，第二组抽（750-450）/30=10，第三组抽32-15-10=7人。故选A8.【解析】∵f（x）=1+x﹣，∴当x＜﹣1或x＞﹣1时，f'（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012=＞0．而当x=﹣1时，f'（x）=2013＞0∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0，f（0）=1＞0∴函数f（x）在R上有唯一零点x0∈（﹣1，0）∴b﹣a的最小值为0-（-1）=1.∵圆x2+y2=b﹣a的圆心为原点，半径r=∴圆x2+y2=b﹣a的面积为πr2=π（b﹣a）≤π，可得面积的最小值为π。故选：A数学试题（理科）第9页共9页n二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．（-2，-4）10．11．112．413．-814．15．9.【解析】因为所以10.【解析】得，又11.【解析】由可行域知直线过点（1,0）时取得最大值112.【解析】，由，所以。13.【解析】因为函数为奇函数，所以，即。所以。14.【解析】曲线即，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线=4，即，圆心（1，0）到直线的距离等于，所以点A到直线=4的距离的最小值是。15.【解析】连结PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，所以∠POC=60°，并且AO=2，∠POA=120°，PO=1在△POA中，由余弦定理知，三、解答题：16.（本小题满分12分）解：(1)f(x)…………………………3分…………………………4分当即时，f(x)取最大值2；…………5分当即时，f(x)取最小值-2…………6分(2)由，………………………8分得………………………10分∴单调递减区间为.………………………12分17（本小题满分12分）解：解：设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：……2分有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：………4分（2）依据知X的可能取值为1.2.3………5分数学试题（理科）第9页共9页n且………6分………7………8分则X的分布列如下表：X123p……10分………12分18（本小题满分14分）解:（1）-----2分G,所以---4分---6分N(2)取的中点,---8分是二面角的平面角----------------------------10分知--------------------12分即二面角的余弦值为---------------14分解法二（1）所以数学试题（理科）第9页共9页n………………………………2分建系令,……………………..4分zxy因为平面PAB的法向量…………..6分(2)设平面PAD的法向量为,…………8分…………10分令所以…………12分平面PAB的法向量……13分，即二面角的余弦值为.................14分说明：其他建系方法酌情给分19（本小题满分14分）（1）当时，，由，得……………………1分当时，∵，，…………………2分∴，即　∴…………………………………………5分∴是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………6分故　…………………………………………7分（2），……………9分…………………………………………11分数学试题（理科）第9页共9页n…13分解方程，得…………………………………………14分20（本小题满分14分）解（1）由题意知设右焦点………………2分椭圆方程为………………4分（2）设则①②………………6分②-①，可得………………8分（3）由题意，设直线，即代入椭圆方程并化简得………………10分同理………………11分当时，直线的斜率直线的方程为又化简得此时直线过定点（0，）………13分当时，直线即为轴，也过点（0，）综上，直线过定点（0，）………………14分21（本小题满分14分）解（1）当数学试题（理科）第9页共9页n……………1分变化如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗，……………4分（2）令则………………………6分上为增函数。………………8分…………………9分（3）由（2）知…………………10分令得，…………12分…………13分…………14分数学试题（理科）第9页共9页