- 2022-04-07 发布 |
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文档介绍
15 三角形全等的判定(含答案)
1.5三角形全等的判定专题一利用全等探究线段数量关系1.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D.PC和PD有怎样的数量关系,证明你的结论.2.如图,已知AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC,交CD于F.⑴根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.⑵EF平分∠DEC吗?为什么?3.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;(2)求证:BG2-GE2=EA2.5n专题二综合探究题4.(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?(3)深入探究:Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.课时笔记【知识要点】1.全等三角形的判定三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”);两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”);两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”);两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).2.三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时,三角形的形状、大小完全被确定,这个性质叫做三角形的稳定性.5n3.线段的垂直平分线的概念与性质概念:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4.角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.【温馨提示】1.线段的垂直平分线是一条直线,不是射线也不是线段.2.证明两个三角形全等,需写出所需的三组条件,并用大括号括在一起,注意对应位置.3.书写证明过程要注意格式,即:①准备条件:把题中没有直接的条件证明出来;②指明范围:在哪两个三角形中;③摆齐条件:把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好;④得出结论:得出三角形全等的纵论.【方法技巧】1.要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.2.要充分挖掘隐含条件,如公共边,当公共边是对应边时,它们是相等的.3.需要抓住图形特征,有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件,从而证两个三角形全等.[来源:Z#xx#k.Com]5n参考答案:1.解:PC=PD.证明:如图,作PE⊥OC于E,PF⊥OB于F.可得∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF.又∵∠CPE+∠EPD=∠FPD+∠EPD=90°,∴∠EPC=∠FPD.∴△CPE≌△DPF(ASA).∴PC=PD.1.解:⑴可以直接证明△ABC≌△DCB.∵AB=DC,AC=BD,BC=CB,[来源:学科网]∴△ABC≌△DCB.⑵∵△ABC≌△DCB,∴∠ACB=∠DBC.又∵EF∥BC,∴∠ACB=∠FEC,∴∠DBC=∠DEF,即∠FEC=∠DEF.∴EF平分∠DEC.2.证明:(1)BH=AC.∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°,∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC,∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,∴∠HBD=∠ACD.在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA(ASA),∴BH=AC.(2)连接CG,5n∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=90°−∠ABC=45°=∠ABC,∴DB=CD.∵F为BC的中点,∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴EC=EA.在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2-GE2=CE2.∵CE=AE,BG=CG,∴BG2-GE2=EA2.1.解:(1)AF=BD.证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质).同理知,DC=CF,∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中,∴△BCD≌△ACF(SAS).∴BD=AF(全等三角形的对应边相等).(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立.(3)Ⅰ.AF+BF′=AB.证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF′≌△ACD,则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB;Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′.证明如下:在△BCF′和△ACD中,∴△BCF′≌△ACD(SAS).∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等).又由(2)知,AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.5查看更多