20132014丰台高三一模(理)试题及答案

20132014丰台高三一模(理)试题及答案

丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高三数学（理科）2014.3第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合,,则等于（A）（B）（C）（D）（2）在极坐标系中，点A（）到直线的距离是（A）1（B）2（C）3（D）4（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为否是开始i=0,x=1i=i+1i=0,x=1输出x结束i≥4（A）（B）（C）（D）n（4）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（A）（B）（C）（D）（5）“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（A），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（B），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（C），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（A）（B）4（C）（D）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（A）24个（B）21个（C）19个（D）18个n第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，则的值为_______________.(10)已知等比数列中,，，则=.(11)如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长为．(12)已知点F,B分别为双曲线C:的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.(13)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，，(),若∥，则=______________.(14)设不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题共13分)已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.n(16)(本小题共13分)年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：健康指数210-160岁至79岁的人数250260652580岁及以上的人数20452015其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.(17)(本小题共14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.n(18)(本小题共13分)已知函数.（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围.(19)(本小题共14分)如图，已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(20)(本小题共13分)从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存n在，证明你的结论.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案2014.3一、选择题题号12345678答案DCACADBB二、填空题9．10.911.12.13.214.三、解答题15.解：（Ⅰ）--------------------------------------------------------------5分所以的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为，所以，当，即时，函数取最大值，当，即时，函数取最小值.所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.--------------13分n16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：X210-1pEX==1.15因为EX<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分17.解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：，所以DA1⊥ED1.-------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为,则，而，所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以所以，所以，解得m=.-----11分n（Ⅲ）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.------14分18.解：（Ⅰ）因为，所以切点为（0，-1）.，，所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分（Ⅱ）（1）当a>0时，令，则.因为在上为减函数，所以在内，在内，所以在内是增函数，在内是减函数，所以的最大值为因为存在使得，所以，所以.（2）当时，<0恒成立，函数在R上单调递减,而，即存在使得，所以.综上所述，的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分19.解：（Ⅰ）由题意可知，，于是.所以，椭圆的标准方程为程.---------------------------------3分（Ⅱ）设，，，即.所以，，，，于是.n因为，所以在直线上.--------------------------8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；设点C的坐标为，则.因为，解得.于是，解得，所以.----------------14分20.解：（Ⅰ）（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.因为，所以.（1）当时，∈（0，1]，且数列是递减数列，所以也为递减数列且∈（0，1]，,令，得，即存在使得，这与∈（0，1]矛盾.（2）当时，≥1，数列是递增数数列，所以也为递增数列且≥1，.因为d为正的常数，且，所以存在正整数m使得.令，则，因为=，所以，即，但这与矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分