2014年高考数学冲分练及答案 (20)
2014年高考数学冲分练及答案(20)集合、逻辑用语、函数与导数易错点1 遗忘空集致误例1 已知A＝{x∈R|x<－1或x>4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是________．错解 由A∪B＝A知，B⊆A，∴，解得a<－4或2
a＋3，解得a>3.综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝∅和A≠∅两种情况讨论．补偿练习1 (1)已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m组成的集合是( )A．{0，－1,2}B.C．{－1,2}D.答案 A解析 当m＝0时，B＝∅，符合题意；当m≠0时，B＝，若B⊆A，则∈，∴m＝－1或m＝2.故m＝0，或m＝－1，或m＝2.(2)已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R*＝∅，则实数pn的取值范围为____________．答案 (－4，＋∞)解析 由于A∩R*＝∅，先求A∩R*≠∅的情况有即解得p≤－4.故当A∩R*＝∅时，p的取值范围是(－4，＋∞)．易错点2 忽视元素互异性致误例2 已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有________种情况．( )A．1B．2C．3D．4错解 由x2＝2，解得x1＝，x2＝－.由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1.∴选D.错因分析 当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．正解 ∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或－或0，共3种情况，选C.易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．补偿练习2 若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x为________．答案 ±或0解析 由已知得B⊆A，∴x2∈A且x2≠1.①x2＝3，得x＝±，都符合．②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴x＝0.综合①②，共有3个值．易错点3 忽视区间的端点致误例3 记f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围是________．错解 由2－≥0，得x<－1或x≥1.∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x－a－1)(2a－x)>0得(x－a－1)(x－2a)<0.且a<1，∴2a1或a＋1<－1，∴a>或a<－2.∴a∈∪(－∞，－2)．错因分析 从B⊆A求字母a的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．正解 ∵2－≥0，得≥0，∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．∵(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)．∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2.故所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.补偿练习3 设A＝{x|1a}，若AB，则a的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 因为A⊆B且A≠B，利用数轴可知：a≤1.易错点4 对命题否定不当致误例4 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数错解 C错因分析 “x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．补偿练习4 已知集合M＝{x|<0}，若2D∈/M，则实数a的取值范围是________．答案 a≥n解析 若2∈M，则<0，即(2a－1)(2a2＋1)<0，∴a<，∴当2D∈/M时，a的取值范围为a≥.易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误例5 若p：a∈R，|a|<1，q：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件错解 B错因分析 由p⇒q应得p是q的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件．正解 将两条件化简可得p：－10.正解 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．易错突破 在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．补偿练习6 若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．(，)B．(1，)C．(，]D．[1，)答案 D解析 由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，解得x＝.所以函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．故有解得1≤k＜.易错点7 忽视二次项系数为0致误例7 函数f(x)＝(k－1)x2＋2(k＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是__________．错解 由题意知Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0.即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.∴k的取值集合是{－3,0}．错因分析 未考虑k－1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．正解 当k＝1时，f(x)＝4x－1，其图象与x轴只有一个交点.当k≠1时，由题意得Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0，即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.∴k的取值集合是{－3,0,1}．易错突破 对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．补偿练习7 函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )nA．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪{1}D．(－∞，1)答案 B解析 当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.故选B.易错点8 分段函数意义不明致误例8 已知：x∈N*，f(x)＝，求f(3)．错解 ∵f(x)＝，∴f(x＋2)＝(x＋2)－5＝x－3，故f(x)＝，∴f(3)＝3－3＝0.错因分析 没有理解分段函数的意义，f(x)＝x－5在x≥6的前提下才成立，f(3)应代入x<6化为f(5)，进而化成f(7)．正解 ∵f(x)＝，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.补偿练习8 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2013)的值为( )A．－1B．0C．1D．2答案 B解析 f(2013)＝f(2012)－f(2011)＝f(2011)－f(2010)－f(2011)＝－f(2010)＝f(2007)＝f(3)＝－f(0)＝0.易错点9 函数单调性考虑不周致误例9 函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________．错解 (－∞，1)∪(1，＋∞)错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小．正解 若函数在R上单调递减，则有解之得a≤－；若函数在R上单调递增，则有解得11)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则tan的值是________．答案 －2解析 因为a>1，tanα＋tanβ＝－4a<0，tanα·tanβ＝3a＋1>0，所以tanα<0，tanβ<0.又α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，则∈.又tan(α＋β)＝＝＝，n又tan(α＋β)＝＝，整理，得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2或tan＝(舍去)．易错点14 图象变换混乱致误例14 要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝(cos3x－sin3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解 右 或右 错因分析 y＝(cos3x－sin3x)＝sin＝sin.题目要求是由y＝sin→y＝sin(－3x)．右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．正解 y＝(cos3x－sin3x)＝sin＝sin，要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可，因而是对y＝(cos3x－sin3x)向左平移个单位．易错突破 函数图象的左右平移是自变量x发生变化，如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±，所以平移的距离并不是φ.补偿练习14 将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin答案 C解析 将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)n，所得图象的函数解析式是y＝sin.故选C.易错点15 解三角形多解、漏解致误例15 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.(1)若C＝，求A；(2)若A＝，求b，c.错解 (1)在△ABC中，＝，∴sinA＝＝，∴A＝或.(2)由＝得sinC＝＝，∴C＝，由C＝知B＝，∴b＝＝2.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.这样就出现漏解的错误．正解 (1)由正弦定理得＝，即sinA＝＝.又aAC，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，于是S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×2×1＝2.当C＝120°时，A＝30°，于是S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×2×＝.故△ABC的面积是2或.易错点16 向量夹角定义不明致误例16 已知等边△ABC的边长为1，则·＋·＋·＝________.错解 ∵△ABC为等边三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝.∴·＋·＋·＝.错因分析 数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，这里θ是a与b的夹角，本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图与的夹角应是∠ACD.正解 如图与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD，即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1，所以·＝||||cos120°＝－.同理得·＝·＝－.故·＋·＋·＝－.易错突破 在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题．补偿练习16 在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.答案 解析 方法一 在△ABD中，由余弦定理得nAD2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD＝，cos∠BAD＝＝，∴·＝||·||·cos∠BAD＝3××＝.方法二 ∵＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋||||·cos120°＝9＋3×1×＝.易错点17 忽视向量共线致误例17 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cosθ＝＝.因θ为锐角，有cosθ>0，∴>0⇒2λ＋1>0，得λ>－，λ的取值范围是.错因分析 当向量a，b同向时，θ＝0，cosθ＝1满足cosθ>0，但不是锐角．正解 ∵θ为锐角，∴00且a，b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a，b不反向．补偿练习17 设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．解 ∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)．由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0，∴－70.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q10>0的等比数列．∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，∴r2＋r－6＝0，∴r＝2，r＝－3(舍去)，∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150.易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，Sn中q≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{an}的前n项和为Sn，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比为q10>0.补偿练习19 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q＝________.答案 1或－1解析 ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，得＋＝∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.易错点20 数列最值意义不清致误例20 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．错解 2－1错因分析 忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别．正解 an＝n2－n＋33，∴＝n＋－1.又f(x)＝x＋－1(x>0)在[，＋∞)上为增函数，在(0，]上为减函数．又n∈N*，f(5)＝，f(6)＝，∴min＝f(6)＝.易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值．n补偿练习20 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{nan}中数值最小的项是第________项．答案 3解析 当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10(n－1)＝2n－11.可以统一为an＝2n－11(n∈N*)故nan＝2n2－11n，该关于n的二次函数的对称轴是n＝，考虑到n为正整数，且对称轴离n＝3较近，故数列{nan}中数值最小的项是第3项．易错点21 数列递推关系转化不当致误例21 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，bn＝，n∈N*，求数列{bn}的通项公式．错解 ∵f(x)＝，∴an＋1＝f(an)＝，∴an＋1an＋an＋1－2an＝0，an(an＋1－2)＋an＋1＝0.错因分析 递推关系转化不当，无法求出bn.正解 ∵f(x)＝，∴an＋1＝f(an)＝，∴＝＋.∴－1＝(－1)，又bn＝，∴＝－1，∴＝·，∴bn＋1＝2bn，又b1＝＝2，∴{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴bn＝2n.易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．①an＋1＝qan＋k形式可用待定系数法：an＋1＋λ＝q(an＋λ)；②an＋1＝形式可用取倒数法；③观察法，如an＋1＝2(1＋)2an⇒＝2·.补偿练习21 已知数列{an}满足a1＝，an＋1an＝2an＋1－an，Sn表示数列{an}前n项和．求证：Sn<1.证明 由a1＝≠0，易知对于任意的n，an≠0.nan＋1an＝2an＋1－an可化为－＝1，－1＝2.令bn＝－1，则b1＝2，bn＋1＝2bn.所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．bn＝－1＝2n，所以an＝，则Sn＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1－<1.易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误例22 函数y＝x＋的值域是________．错解 [2＋1，＋∞)错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x－1>0时的情况被忽视．正解 当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立；当x<1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1≥2－1＝2－1，∴y≤1－2；当且仅当1－x＝，即x＝1－时等号成立．∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x－1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式≥时，首先应考虑a，b是否为正值．补偿练习22 函数f(x)＝1＋logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．答案 2解析 因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)，由题意，知点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以，m＋n－2＝0，即m＋n＝2.n而＋＝(＋)×(m＋n)＝(2＋＋)，因为mn＞0，所以＞0，＞0.由基本不等式，可得＋≥2＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，所以＋＝×(2＋＋)≥×(2＋2)＝2，即＋的最小值为2.易错点23 解含参数不等式讨论不当致误例23 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.错解 原不等式化为a(x－)(x－1)<0.∴当a>1时，不等式的解集为.当a<1时，不等式的解集为.错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时，若a<0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合．正解 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}．当a≠0时，不等式化为a(x－1)<0.当a<0时，原不等式等价于(x－1)>0，不等式的解集为{x|x>1或x<}；当01时，<1，不等式的解集为{x|1时，不等式的解集为.易错突破 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式，应对系数a分a>0，a＝0，an<0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集．补偿练习23 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．解 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)．①当Δ<0，即－10，即a<－1或a>2时，设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x10，所以由基本不等式得k≥＝－1.又k<0，所以－1≤k<0，即－1≤tanα<0，所以≤α<π.易错点30 忽视直线斜率的特殊情况致误例30 a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？错解 (1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋与y＝x－，∴当－＝且≠－，n即a＝时，两直线平行．(2)当－＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a为何值时，两直线都不垂直．错因分析 (1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况．正解 (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，直线l1的斜率为k1＝－，直线l2的斜率为k2＝，要使两直线平行，必须解得a＝.综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．(2)方法一 ①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3⊥l4.②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．易错突破 求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进行讨论，这是避免出错的重要方法．补偿练习30 已知直线l1：x＋ysinθ－1＝0和直线l2：2xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解 (1)A1B2－A2B1＝0，即1－2sin2θ＝0，∴sin2θ＝，∴sinθ＝±.由B1C2－B2C1≠0，即1＋sinθ≠0，n即sinθ≠－1，∴θ＝kπ±，k∈Z，∴θ＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.(2)由A1A2＋B1B2＝0，即2sinθ＋sinθ＝0，得sinθ＝0.∴θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.易错点31 忽视曲线中的隐含条件致误例31 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．错解 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝.∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.当点A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，∴|AC|>r，即>，化简得a2＋a＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0，∴a∈R.错因分析 错解中只考虑了点A在圆C外部，而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程，x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．正解 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝，∴>0，①∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，∴|AC|>r，即>，化简得a2＋a＋9>0.②由①②得－0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的，都要考虑参数的条件．n补偿练习31 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程．解 依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则e2＝＝＝1－＝，∴＝，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋2＝a2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3.若b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值．于是()2＝2，从而解得b＝－>，与b<矛盾．所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值．所以4b2＋3＝()2，解得b2＝1，a2＝4.于是所求椭圆的方程为＋y2＝1.易错点32 忽视圆锥曲线定义中的条件致误例32 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．错解 x2－＝1错因分析 错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC2|－|MC1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M的轨迹方程为x2－＝1.正解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1n的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．易错突破 应注意平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于定长2a(a>0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a<|F1F2|时，表示的只是双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，表示的是一条射线；当2a>|F1F2|时，点的轨迹不存在．补偿练习32 “－30，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．错解 如图，设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ<π)，由条件得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cosθ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.所以e＝＝＝.又－1a>0)，直线l过点A(a,0)和B(0，b)，且原点到直线l的距离为c(c为半焦距)，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 因为直线l过点A(a,0)和B(0，b)，所以其方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.又原点到直线l的距离为c，所以＝c.又a2＋b2＝c2，所以4ab＝c2，即16a2(c2－a2)＝3c4.所以3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.又b>a>0，e2＝＝>＝2.所以e2＝4，故e＝2.易错点34 忽视Δ>0致误例34 已知双曲线x2－＝1，过点B(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．错解 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，代入双曲线方程得①－②化简得k＝＝.∵中点B(1,1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴k＝2.∴满足题设的直线存在，且方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.错因分析 错解中没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－＝1是否相交．正解 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，代入双曲线方程得①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．∵B(1,1)为Q1Q2的中点，∴k＝＝2.∴直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立消去y得2x2－4x＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，∴所求直线不存在．易错突破 n用点差法求直线方程时，只是承认了直线与曲线相交，而事实上，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否相交．当然，就本题来讲，也可以不用点差法求解．直接设直线的方程，利用待定系数法求解．遇见直接用直线与曲线方程联立解方程组的问题，就比较容易联想用判别式求解．补偿练习34 若抛物线y＝x2上存在关于直线y＝m(x－3)对称的两点，求实数m的取值范围．解 设直线l：y＝－x＋b，l与y＝x2的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得mx2＋x－mb＝0.∴Δ＝1＋4m2b＞0，且x0＝＝－，y0＝－·＋b＝＋b.则线段AB的中点M.又点M在直线y＝m(x－3)上，∴＋b＝m，即b＝－－3m－.又∵Δ＝1＋4m2b>0，∴Δ＝1＋4m2＝－12m3－2m2－1>0，∴12m3＋2m2＋1<0，即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0.∴m<－，即m的取值范围是.概率与统计易错点35 抽样方法理解不清致误例35 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A．简单随机抽样法 B．抽签法C．系统抽样法D．分层抽样法错解 A错因分析 没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住．正解 显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选D.易错突破 简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样．分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大．补偿练习35 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、n职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3500)月收入段应抽出________人．答案 40解析 根据图可以看出月收入在[2500,3500)的人数的频率是(0.0005＋0.0003)×500＝0.4，故月收入在[2500，3500)的应抽出100×0.4＝40(人)．易错点36 “基本事件”概念不清致误例35 先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为________．错解 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；∴出现“两正一反”的概率为.错因分析 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的．正解 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八种，而“两正一反”事件含三个基本事件，∴P＝.易错突破 对于公式P(A)＝(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性．补偿练习36 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率．解 掷两枚骰子可能出现的情况：(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，基本事件总数为6×6＝36.在这些结果中，事件A只有两种可能的结果(1,2)，(2,1)，∴P(A)＝＝.易错点37 互斥事件概念不清致误例37 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．错解 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.错因分析 事件A、B不是互斥事件，使用加法公式错误．正解 将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件nC，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.易错突破 在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以转化为互斥事件，再用公式．补偿练习37 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．解 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B，随机选取两种的情况为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，…，(4,5)，共15种．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)．故P(A)＝.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)．故P(B)＝1－＝.答 所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率为，所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3的概率为.易错点38 分不清排列、组合问题致误例38 如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解 对于有一个中心的结构形式有A，对于四个岛依次相连的形式有A，∴共有2A＝48(种)．错因分析 没有理清题目中的顺序关系，混淆排列与组合．正解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C种方法．n对于第二种结构，有CA种方法．∴总共有C＋CA＝16(种)．易错突破 对于排列、组合的混合问题，可以通过分类，画图等搞清其中的顺序．补偿练习38 有大小、形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？解 方法一 8个小球排好后对应着8个位置，题中要求的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56(种)排法．方法二 将8个小球全排列有A种方法，3个红球之间不应该排序，除以A；5个白球之间也不应该排序，除以A，所以共有＝56(种)排法．易错点39 二项式系数与系数混淆致误例39 已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则n的取值所构成的集合为____________．错解 由已知条件可得2C＝C＋C，化简可得n2－5n＋2＝0，此方程无整数解，故没有满足条件的n值．故填∅.错因分析 错解中前三项的二项式系数成等差数列，没有搞清二项展开式中二项式系数和系数的概念．正解 由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．易错突破 在解此类问题时，关键要抓住：在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Can－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C，C，C，…，C.补偿练习39 在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A．－7B．－28C．7D．28答案 C解析 因为第5项的二项式系数最大，所以n＝8.设二项展开式的通项为Tr＋1＝C()8－r·(－x－)r＝(－1)r··x8－r，令8－r＝0，得r＝6，常数项为＝7.易错点40 事件分拆混乱致误例40 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”．甲，乙，n丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)错解 (1)设甲，乙，丙至少两人合格为事件A，P(A)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.402.(2)设三人都合格为事件B，P(B)＝0.9×0.8×0.7＝0.504.错因分析 事件分拆错误．“至少两人合格”要分析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和；三人课程考核合格要写成六个独立事件的积．正解 记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)＝P(A1A2＋A1A3＋A2A3＋A1A2A3)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D，P(D)＝P[(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)]＝P(A1B1)·P(A2B2)·P(A3B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9＝0.254016≈0.254.所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.易错突破 对复杂事件的概率计算问题要将事件分拆成几个互斥事件的和，再把每个事件分成若干独立事件的积．分拆过程中要明确事件的实质，全面准确地分拆事件．补偿练习40 一般的军用直升机是双发动机，只要一个发动机能够正常工作，这个直升机就能够正常飞行．在研制某种型号的直升机时，采用了甲、乙两种型号的发动机，已知发动机甲能正常工作的概率是0.9，发动机乙能正常工作的概率是0.95，则这架直升机能正常飞行的概率是________．答案 0.995解析 方法一 显然甲、乙正常工作是相互独立的．记事件A为“发动机甲能正常工作”，事件B为“发动机乙能正常工作”，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.95，直升机正常飞行是事件(AB)∪(B)∪(A)，而事件AB，B，A是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，得直升机能够正常飞行的概率是nP(AB＋B＋A)＝P(AB)＋P(B)＋P(A)＝0.9×0.95＋0.1×0.95＋0.9×0.05＝0.995.方法二 直升机不能正常飞行就是两个发动机都不能正常工作．记事件A为“发动机甲能正常工作”，事件B为“发动机乙能正常工作”，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.95.直升机不能正常飞行是事件，根据独立事件的概率乘法公式P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝0.1×0.05＝0.005，故直升机能够正常飞行的概率是1－0.005＝0.995.易错点41 随机变量的意义理解不清致误例41 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(2)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．错解 (1)设方案甲所需化验次数为η，则η的所有可能值为1,2,3,4,5.根据方案甲，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列为：η12345P0.20.20.20.20.2错因分析 没有理解随机变量的意义．结合题意考虑，逐个化验，直到确定患病动物为止，最多化验次数为4.正解 (1)设ξ1、ξ2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则方案甲中ξ1的分布列为ξ11234P×＝××＝××＝方案乙中ξ2的分布列为ξ2123P0×＋＝×＝若甲化验次数不少于乙化验次数，则P＝P(ξ1＝1)×P(ξ2＝1)＋P(ξ1＝2)×[P(ξ2＝1)＋P(ξ2＝2)]＋P(ξ1＝3)×[P(ξ2＝1)＋P(ξ2＝2)＋P(ξ2＝3)]＋P(ξ1＝4)＝0＋×＋×＋＝＝0.72.n(2)E(ξ)＝1×0＋2×＋3×＝＝2.4.易错突破 在解决有关分布列问题时，求随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列．在写出分布列后，还要检验所有的概率之和是否为1.解题时要注意正确求出ξ的分布列，准确记忆期望和方差公式，同时注意培养运算能力．补偿练习41 (2013·课标全国Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解 (1)记该批产品通过检验为事件A；则P(A)＝C4·4＋4·＝.(2)X的可能取值为400,500,800；P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝，则X的分布列为X400500800PE(X)＝506.25.
