第二章 点、直线、平面之间的位置关系(含答案)

第二章 点、直线、平面之间的位置关系(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1．设a，b为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且la，m，有如下的两个命题：①若a∥b，则l∥m；②若l⊥m，则a⊥b．那么()．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题(第2题)2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°3．关于直线m，n与平面a，b，有下列四个命题：①m∥a，n∥b且a∥b，则m∥n；②m⊥a，n⊥b且a⊥b，则m⊥n；③m⊥a，n∥b且a∥b，则m⊥n；④m∥a，n⊥b且a⊥b，则m∥n．其中真命题的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()．A．1B．2C．3D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面a内，则l∥a②若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行第10页共10页n④若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A．4B．3C．2D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为(　)．A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面a外一点，过P作PO⊥平面a，垂足是O，连PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；第10页共10页n(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；J(第13题)(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．14．直线l与平面a所成角为30°，l∩a＝A，直线m∈a，则m与l所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．16．直二面角a－l－b的棱上有一点A，在平面a，b内各有一条射线AB，AC与l成45°，ABa，ACb，则∠BAC＝．三、解答题17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(第17题)(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；(3)设二面角A－BC－D的大小为q，猜想q为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)第10页共10页n18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.(第18题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝．(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)第10页共10页n20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第10页共10页n第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1．D解析：命题②有反例，如图中平面a∩平面b＝直线n，la，mb，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面a不垂直平面b，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与a无公共点，l与平面a内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．(第5题)6．B解析：设平面a过l1，且l2∥a，则l1上一定点P与l2确定一平面b，b与a的交线l3∥l2，且l3过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO第10页共10页n是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B解析：因为①②④正确，故选B．10．A解析：异面直线，所成的角为60°，直线⊥，过空间任一点P，作直线a’∥a，b’∥b，c’∥c.若a’，b’，c’共面则b’与c’成30°角，否则’与’所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°]．二、填空题11．．解析：设三条侧棱长为a，b，c．则ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3三式相乘：∴a2b2c2＝S1S2S3，∴abc＝2．∵三侧棱两两垂直，∴V＝abc·＝．12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得O为△ABC的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为△ABC的内心；(4)由三角形全等可证得，O为AB边的中点；(5)由(1)知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在∠BAC的平分线上．13．60°．解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l与平面a所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在a第10页共10页n内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．15．．解析：作等积变换：×(d1＋d2＋d3＋d4)＝·h，而h＝．16．60°或120°．解析：不妨固定AB，则AC有两种可能．三、解答题17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，∴BC⊥AD．(第17题)解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝q，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．∵BC⊥平面ADO，且BC平面ABC，∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，∴DE⊥平面ABC．∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．又DO＝BD＝2，在Rt△DEO中，sinq＝＝，故二面角A－BC－D的正弦值为．(3)当q＝90°时，四面体ABCD的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．第10页共10页n(2)解：如图，过E在平面中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－中，∵面ABCD⊥面，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝，(第18题)又OE＝1，所以，tanEFO＝．19*．解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面＝＝，∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝·SA·M底面＝×1×＝．(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱．∵AD∥BC，BC＝2AD，∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线．又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角．∵SB＝＝，BC＝1，BC⊥SB，∴tan∠BSC＝，(第19题)即所求二面角的正切值为．(第20题)20*．解：如图，设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO＝6．∴V斜＝S△PQR·AA1＝·QR·PO·AA1＝·PO·QR·BB1第10页共10页n＝×10×6＝30．第10页共10页