全国卷Ⅱ试题及答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地)(文)

全国卷Ⅱ试题及答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地)(文)

2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I卷球的表面积公式S=4其中R表示球的半径，球的体积公式V=，其中R表示球的半径参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1－P)n－k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合=（）A．{}B．{}C．{}D．{}2．函数的反函数是（）A．B．C．D．3．曲线在点（1，－1）处的切线方程为（）A．B．C．D．全国卷数学（文）第13页（共8页）n4．已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（）A．B．C．D．5．已知函数的图象过点，则可以是（）A．B．C．D．6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°7．函数的图象（）A．与的图象关于轴对称B．与的图象关于坐标原点对称C．与的图象关于轴对称D．与的图象关于坐标原点对称8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．9．已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|=（）A．1B．C．D．10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．函数的最小正周期为（）A．B．C．D．212．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）A．56个B．57个C．58个D．60个全国卷数学（文）第13页（共8页）n第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知a为实数，展开式中的系数是－15，则.14．设满足约束条件：则的最大值是.15．设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}，（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和Sn.全国卷数学（文）第13页（共8页）n18．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC中，（Ⅰ）求证；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.全国卷数学（文）第13页（共8页）n19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.全国卷数学（文）第13页（共8页）n20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.全国卷数学（文）第13页（共8页）n21．（本小题满分12分）若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.全国卷数学（文）第13页（共8页）n22．（本小题满分14分）给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.全国卷数学（文）第13页（共8页）n2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题CABCACDBDBBC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．14．515．16．②④三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组解得所以的通项公式为（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.于是得的前n项和18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分.（Ⅰ）证明：所以（Ⅱ）解：，即，将代入上式并整理得全国卷数学（文）第13页（共8页）n解得，舍去负值得，设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为故有一组恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=又BB1=1，A1B=2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，全国卷数学（文）第13页（共8页）n∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.∴FG=，FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，所以△BB1D是边长为1的正三角形.于是B1G⊥BD，B1G=∴∠B1GF是所求二面角的平面角，又B1F2=B1B2+BF2=1+（=，∴即所求二面角的大小为解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（，M（，1，0），则∴CD⊥A1B，CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.全国卷数学（文）第13页（共8页）n（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（），、、），所以所求的二面角等于21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数的导数令，解得为增函数.依题意应有当所以解得所以a的取值范围是[5，7].22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得设则有全国卷数学（文）第13页（共8页）n所以夹角的大小为（Ⅱ）由题设得①②即由②得，∵∴③联立①、③解得，依题意有∴又F（1，0），得直线l方程为当时，l在方程y轴上的截距为由可知在[4，9]上是递减的，∴直线l在y轴上截距的变化范围为全国卷数学（文）第13页（共8页）