2013海南省中考数学试题及答案解析

2013海南省中考数学试题及答案解析

海南省2013年初中毕业生学业考试数学科试题（答案解析）一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）（2013•海南）﹣5的绝对值是（　　）　A．B．﹣5C．5D．﹣考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可．解答：解：﹣5的绝对值是5．故选C．点评：本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．　2．（3分）（2013•海南）若代数式x+3的值为2，则x等于（　　）　A．1B．﹣1C．5D．﹣5考点：解一元一次方程分析：根据题意，列出关于x的一元一次方程x+3=2，通过解该方程可以求得x的值．解答：解：由题意，得x+3=2，移项，得x=﹣1．故选B．点评：本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．　3．（3分）（2013•海南）下列计算正确的是（　　）　A．x2·x3=x6B．（x2）3=x5C．x2+x3=x5D．x6÷x3=x3考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法求出每个式子的值，再进行判断即可．解答：解：A、x2•x3=x5，故本选项错误；B、（x2）3=x6，故本选项错误；C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、x6÷x3=x3，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．　4．（3分）（2013•海南）某班5位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是35、40、37、38、40．则这组数据的众数是（　　）n　A．37B．40C．38D．35考点：众数分析：根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案．解答：解：在这组数据35、40、37、38、40中，40出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是40，故选B．点评：此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．　5．（3分）（2013•海南）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为（　　）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图分析：找到从上面看所得到的图形即可．解答：解：此几何体的俯视图有2列，从左往右小正方形的个数分别是2，2，故选A．点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．　6．（2分）（2013•海南）下列各数中，与的积为有理数的是（　　）　A．B．3C．2D．2﹣考点：实数的运算分析：根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可．解答：解：A、×=，故本选项错误；B、×3=3，故本选项错误；C、×2=6，故本选项正确；D、×（2﹣）=2﹣3，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是实数的运算，熟知实数运算的法则是解答此题的关键．　7．（3分）（2013•海南）“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　）　A．675×102B．67.5×102C．6.75×104D．6.75×105考点：科学记数法—表示较大的数n分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将67500用科学记数法表示为6.75×104．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　8．（3分）（2013•海南）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）　A．BO=DOB．CD=ABC．∠BAD=∠BCDD．AC=BD考点：平行四边形的性质分析：根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．解答：解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，正确，不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，正确，不符合题意；D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意；故选D．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．　9．（3分）（2013•海南）一个三角形的三条边长分别为1、2，则x的取值范围是（　　）　A．1≤x≤3B．1＜x≤3C．1≤x＜3D．1＜x＜3考点：三角形三边关系分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．解答：解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1，即1＜x＜3．故选D．点评：考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．　10．（3分）（2013•海南）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获8600kg和9800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg？设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程（　　）n　A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程分析：根据关键描述语是：“两块面积相同的荔枝园”；等量关系为：甲试验田的面积=乙试验田的面积，假设出甲试验田每亩收获荔枝x千克，求出即可．解答：解：设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程：=．故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．　11．（3分）（2013•海南）现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是（　　）　A．B．C．D．考点：列表法与树状图法分析：根据概率的求法，先画出树状图，求出所有出现的情况，即可求出答案．解答：解：用A表示没蛋黄，B表示有蛋黄的，画树状图如下：∵一共有12种情况，两个粽子都没有蛋黄的有6种情况，∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是=故选B．点评：此题主要考查了画树状图求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　12．（3分）（2013•海南）如图，在⊙O中，弦BC=1．点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是（　　）　A．1B．2C．D．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质分析：连接OB，OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再OB=OC判断出△BOC的形状，故可得出结论．n解答：解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=1．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．　13．（3分）（2013•海南）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（　　）　A．AB=BCB．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°考点：菱形的判定；平移的性质分析：首先根据平移的性质得出ABCD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．解答：解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形．故选：A．点评：此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ABCD是解题关键．　14．（3分）（2013•海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（　　）n　A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．解答：解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE=3，CE=AF=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC===5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，=，解得CD=，在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，∴BD===．故选A．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．n　二、填空题（共16分，每小题4分）15．（4分）（2013•海南）因式分解：a2﹣b2=　（a+b）（a﹣b）　．考点：因式分解-运用公式法专题：因式分解．分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）．点评：此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．　16．（4分）（2013•海南）点（2，y1），（3，y2）在函数y=﹣的图象上，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征分析：根据反比例函数图象所经过的象限与函数图象的增减性进行填空．解答：解：∵函数y=﹣中的﹣2＜0，∴函数y=﹣的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∴点（2，y1），（3，y2）同属于第四象限，∵2＜3，∴y1＜y2．故填：＜．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．解答该题时，利用了反比例函数图象的增减性．当然了，解题时也可以把已知两点的坐标分别代入函数解析式，求得相应的y值后，再来比较它们的大小．　17．（4分）（2013•海南）如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=　40　°．考点：平行线的性质；等腰三角形的性质专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠C=∠EFB=110°，再利用邻补角的定义得∠AFE=180°﹣110°=70°，由AE=AF，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠AFE=70°，然后根据三角形内角和定理计算∠A．解答：解：∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=110°，∴∠AFE=180°﹣110°=70°，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE=70°，∴∠A=180°﹣∠E﹣∠AFE=40°．n故答案为40．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．也考查了三角形内角和定理以及等腰三角形性质．　18．（4分）（2013•海南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，∠B=60°，则BC=　10　．考点：梯形分析：作DE∥AB交BC与点E．则四边形ABCD是平行四边形，△DEC是等边三角形，即可求得CE，BE的长度，从而求解．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°．如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD，AB=DE，∴DE=DC，∴△DEC是等边三角形．∴EC=DC=AB=5．∴BC=BE+EC=2AD=10．故答案是：10．点评：本题考查等腰梯形的有关计算，正确作出辅助线，转化成平行四边形与等边三角形是关键．　三、解答题（共6小题，满分62分）19．（10分）（2013•海南）计算：（1）4×（﹣）﹣+3﹣2；（2）a（a﹣3）﹣（a﹣1）2．考点：整式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂分析：（1）根据算术平方根的定义以及负指数幂的性质分别化简求出即可；（2）首先去括号，进而合并同类项即可．解答：解：（1）4×（﹣）﹣+3﹣2=﹣﹣5+n=﹣﹣5+=﹣5；（2）a（a﹣3）﹣（a﹣1）2=a2﹣3a﹣（a2﹣2a+1）=﹣a﹣1．点评：此题主要考查了实数的计算以及整式的混合运算，熟练掌握公式是解题关键．　20．（8分）（2013•海南）据悉，2013年财政部核定海南省发行的60亿地方政府“债券资金”，全部用于交通等重大项目建设．以下是60亿“债券资金”分配统计图：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，a=　36.7　，b=　20.5　（都精确到0.1）；（3）在扇形统计图中，“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为　64　°（精确到°1）考点：条形统计图；扇形统计图．分析：（1）根据60亿“债券资金”分配统计图，利用条形图数据得出城乡“债券资金”即可；（2）根据条形图数据直接得出交通和城乡部分所占百分比即可；（3）根据扇形统计图中，“教育文化”所占比例，即可得出对应的扇形圆心角的度数．解答：解：（1）∵是60亿“债券资金”分配统计图，∴城乡“债券资金”为：60﹣22﹣10.7﹣6.3﹣3.3﹣5.4=12.3，如图所示：n（2）由题意可得出：×100%≈36.7%，×100%=20.5%，则a=36.7，b=20.5，（3）“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为：360°×17.8%≈64°．点评：此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据图象得出正确的信息是解题关键．　21．（9分）（2013•海南）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是　（1，4）　；点C2的坐标是　（1，﹣4）　；过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是　π　（保留π）．考点：作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；n（3）根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标，利用勾股定理求出OC的长，再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，列式计算即可得解．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）C1（1，4），C2（1，﹣4），根据勾股定理，OC==，过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，的长=π．故答案为：（1，4）；（1，﹣4）；π．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．　22．（8分）（2013•海南）为迎接6月5日的“世界环境日”，某校团委开展“光盘行动”，倡议学生遏制浪费粮食行为．该校七年级（1）、（2）、（3）三个班共128人参加了活动．其中七（3）班48人参加，七（1）班参加的人数比七（2）班多10人，请问七（1）班和七（2）班各有多少人参加“光盘行动”？考点：一元一次方程的应用．3718684分析：首先确定相等关系：该校七年级（1）、（2）、（3）三个班共128人参加了活动，由此列一元一次方程求解．解答：解：设七（2）班有x人参加“光盘行动”，则七（1）班有（x+10）人参加“光盘行动”，依题意有（x+10）+x+48=128，解得x=35，则x+10=45．答：七（1）班有45人参加“光盘行动”，七（2）班有35人参加“光盘行动”．点评：此题考查的知识点是一元一次方程组的应用，关键是先确定相等关系，然后列方程求解．　23．（13分）（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；n（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；（3）设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得S1=（n2﹣1），S2=（n﹣1），所以S1=（n+1）S2结论成立．解答：证明：（1）在△BCP与△DCE中，，∴△BCP≌△DCE（SAS）．（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°，∴∠FPD=∠CPE=45°，∴∠PFD=45°，∴FD=DP．∵CD=2PC，∴DP=CP，∴FD=CP．在△BCP与△CDF中，，∴△BCP≌△CDF（SAS）．∴∠FCD=∠CBP，∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°，∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．易知△FDP为等腰直角三角形，∴FD=DP=n﹣1．nS1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP=（BC+FD）•CD﹣BC•CP﹣FD•DP=（n+n﹣1）•n﹣n×1﹣（n﹣1）2=（n2﹣1）；S2=DP•CE=（n﹣1）×1=（n﹣1）．∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），∴S1=（n+1）S2．证法二：∵AD∥BE，∴△FDP∽△ECP，∴=，∴S1=S△BEF．如下图所示，连接BD．∵BC：CE=CD：CP=n，∴S△DCE=S△BED，∵DP：CP=n﹣1，∴S2=S△DCE，∴S2=S△BED．∵AD∥BE，∴S△BEF=S△BED，∴S1=（n+1）S2．点评：本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的难度不大．　24．（14分）（2013•海南）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，n①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等，则直线PQ不能平分∠AQC，所以直线PQ不能垂直平分线段MN．解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），∵抛物线经过点C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1．∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中，当x=﹣4时，y=3，∴P（﹣4，3）．∵P（﹣4，3），C（0，3），∴PC=4，PC∥x轴．∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，∴Q（4，0），OQ=4．∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，∴四边形POQC是平行四边形，∴∠OPC=∠AQC．（3）解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，n∴△QND∽△QCO，∴，即，解得：ND=3﹣t．设S=S△AMN，则：S=AM•ND=•3t•（3﹣t）=﹣（x﹣）2+．又∵AQ=7，∴点M到达终点的时间为t=，∴S=﹣（x﹣）2+（0＜t≤）．∵﹣＜0，＜，且x＜时，y随x的增大而增大，∴当t=时，△AMN的面积最大．②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1．此时点M与点O重合，如答图2所示：设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平行四边形，∴OE=CE．∵点E到CQ的距离小于CE，∴点E到CQ的距离小于OE，而OE⊥x轴，∴PQ不是∠AQC的平分线，这与假设矛盾．∴直线PQ不能垂直平分线段MN．点评：n本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．