[2006年][高考真题][全国卷II][数学理][答案]

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绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题（1）已知集合，则（A）φ（B）（C）（D）（2）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（A）2π（B）4π（C）（D）（3）（A）（B）（C）i（D）－i（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为n（A）（B）（C）（D）（5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（A）（B）6（C）（D）12（6）函数的反函数为（A）（B）（C）（D）（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则AB：=（A）2：1（B）3：1（C）3：2（D）4：3（8）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为（A）（B）（C）（D）（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（10）若（A）（B）3（C）（D）（11）设是等差数列的前n项和，若，则（A）（B）（C）（D）（12）函数的最小值为（A）190（B）171（C）90（D）45n绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。答在试卷上的答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡上。（13）在的展开式中常数项是。（用数字作答）（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为。（15）过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=。（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3000）（元）月收入段应抽出人。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知向量（Ⅰ）若求；（Ⅱ）求的最大值。（18）（本小题满分12分）n某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1=AC=求二面角A1－AD－C1的大小.（20）（本小题满分12分）设函数若对所有的≥0，都有≥ax成立.求实数a的取值范围.（21）（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值.（22）（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且方程有一根为（Ⅰ）求（Ⅱ）求的通项公式.n2006的普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修II）参考答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.一．选择题（1）D（2）D（3）A（4）A（5）C（6）B（7）A（8）D（9）A（10）C（11）A（12）C二．填空题（13）45（14）（5）（6）25三、解答题（17）解：（I）若，则………………2分由此得，所以；………………4分（II）由得………………10分当取得最大值，即当时，的最大值为.………12分（18）解：（I）ξ可能的取值为0，1，2，3.n…………8分ξ的分布列为ξ0123P（II）所求的概率为…………12分（19）解法一：∥=∥=∥=（I）设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B.所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB.…………2分∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABD，故BC⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分（II）连结A1E.由AA1=AG=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1.又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角.不妨设AA1=2，则AC=2，AB=.ED=OB=1，EF=，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°.所以二面角A1—AD—C1为60°.………………12分解法二：（I）如图，建立直角坐标系O—xyz，其中原点O为AC的中点.设则………3分n又所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.…………6分（II）不妨设A（1，0，0），则B（0，1，0），C（－1，0，0），A1（1，0，2），又，.………………10分，即得的夹角为60°.所以二面角A1—AD—C1为60°.…………12分（20）解法一：令，对函数求导数：，令解得…………5分（i）当时，对所有，上是增函数.又所以对，有，即当时，对于所有，都有.（ii）当，又，即，所以，当综上，的取值范围是…………12分n解法二：令，于是不等式成立即为成立.…………3分对求导数得，令，解得…………6分当为减函数.当…………9分要对所有都有充要条件为由此得，即的取值范围是…………12分（21）解：（I）由已条件，得F（0，1），.设即得①②将①式两边平方并把代入得，③解②、③式得，且有抛物线方程为求导得所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是即解出两条切线的交点M的坐标为…………4分所以=n=0所以为定值，真值为0.………………7分（II）由（I）知在△ABM中，FM⊥AB，因而因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=－1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=于是，………………11分由，且当时，S取得最小值4.………………14分（22）解：（I）当n=1时，有一根为，解得…………2分当n=2时，有一根为，解得…………5分（II）由题设，即当①n由（I）知，，由①可得由此猜想.…………8分下面用数学归纳法证明这个结论.（i）n=1时已知结论成立.（ii）假设n=k时结论成立，即，当时，由①得，即，故时结论也成立.综上，由（i）、（ii）可知对所有正整数n都成立.…………10分于是当时，，又时，，所以的通项公式为…………12分