九年级数学相似三角形4.1比例线段第3课时比例中项随堂练习含解析新版浙教版

九年级数学相似三角形4.1比例线段第3课时比例中项随堂练习含解析新版浙教版

4.1__比例线段__第3课时　比例中项1．已知三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项，若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项c的值为(　A　)A．4B．±4C．±16D．16【解析】∵c2＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4(不合题意，舍去)．故选A.2．若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是(　D　)A．x2＝abB.＝C.＝D．ab＝3．如果a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于(　B　)A．4∶3B．3∶2C．2∶3D．3∶4【解析】∵a∶b＝12∶8，b是a和c的比例中项，即a∶b＝b∶c，∴b∶c＝12∶8＝3∶2.故选B.4．如图4－1－7，已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，下列结论中正确的是(　C　)图4－1－7A．AB2＝AC2＋BC2　　　B．BC2＝AC·BAC.＝D.＝5．已知线段AB＝2cm，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　C　)A．(－2)cmB．(3－)cmC．(－1)cmD．(2－)cm【解析】∵C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，∴AC＝AB，∵AB＝2cm，∴AC＝×2＝(－1)cm.故选C.6．如图4－1－8，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金n比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为(　B　)　图4－1－8A．222B．138C．139D．108【解析】由题意，得＝0.618，y＝360－x，∴x＝0.618(360－x)，解得x≈138.故选B.7．[2016·奉贤区一模]线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足＝，那么AP的长为__5－5__cm.【解析】设AP＝xcm，则BP＝(10－x)cm，∵＝，∴＝，∴x1＝5－5，x2＝－5－5(不合题意，舍去)，∴AP的长为(5－5)cm.8．如图4－1－9是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割比．已知AB＝12cm，则AC的长约为__7.4__cm(结果精确到0.1cm)．图4－1－9【解析】由图可知AC＞BC，∴AC＝×12≈0.618×12≈7.4(cm)．9．[2017·台州模拟]如图4－1－10，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若AB＝，则MN＝__－2__．n图4－1－10【解析】在△DAB中，∠ADB＝36°，AD＝BD，即△DAB是“黄金三角形”，∴＝，∴BD＝EC＝1，又∵EN＝MC＝AB＝，∴MN＝EN－(EC－MC)＝－＝－2.10．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值；(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长，并思考两题有何区别．解：(1)∵b是a，c的比例中项，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，∴b＝±.又∵a＝4，c＝9，∴b＝±＝±6；(2)∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD，∴MN＝±.又∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±＝±2.又∵MN不可能为负值，∴MN＝2cm.通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值．11．[2017·江干区一模](1)我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且＝，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为____(填一个实数)；(2)如图4－1－11，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E.求证：点E是线段AB的黄金分割点．n图4－1－11解：(1)设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP＝x，则BP＝1－x，根据题意得＝，解得x1＝，x2＝(舍去)，故＝；(2)证明：设BC＝a，则AB＝2a，则AC＝a，由题意得CD＝BC＝a，∴AE＝AD＝a－a，BE＝AB－AE＝3a－a，∴＝，＝，∴＝，即点E是线段AB的黄金分割点．12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图4－1－12是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她穿多高的鞋子比较好看？(结果精确到1cm，参考数据：黄金分割比为，≈2.236)图4－1－12解：设应该穿xcm高的鞋子．由题意，得＝，解得x≈10.答：她穿10cm高的鞋子比较好看．13．如图4－1－13，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使MEn＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(　D　)图4－1－13A.－1B.3－C.＋1D.－114．[2016·山西]宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图4－1－14所示，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(　D　)图4－1－14A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF中，DF＝，∴FG＝，∴CG＝－1，∴＝，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D.15．如图4－1－15，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2(－1)，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试证明D是线段AC的黄金分割点．n图4－1－15证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，∴BC＝BD＝AD＝2(－1)，∴＝＝，∴D是线段AC的黄金分割点．16．如图4－1－16，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在线段AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．　图4－1－16证明：设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点，∴BE＝1，∴AE＝＝.又∵B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝－1.又∵AB″＝AB′＝－1，∴AB″∶AB＝(－1)∶2，∴B″是线段AB的黄金分割点．17．若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．n(1)操作：请你在图4－1－17所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因)．图4－1－17　　第17题答图解：(1)在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，如答图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形；(2)四边形EBCF是黄金矩形．理由：∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∴四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则＝，∴＝＝－1＝－1＝，∴矩形EBCF是黄金矩形；(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形是黄金矩形．