2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的应用3.2.3空间的角的计算讲义

2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的应用3.2.3空间的角的计算讲义

3．2.3　空间的角的计算山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？提示：设异面直线AC与BD所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|.问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？提示：设地面的法向量为n，则sinα＝|cos〈，n〉|.问题3：如何求水平地面与斜坡面所成的二面角β？提示：cosβ＝cos〈，〉．异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a、b.则cosθ＝直线与平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sinθ＝二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cosθ＝对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识(1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是；(2)设在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||·cosθ；n(3)平面α的法向量n与所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．利用空间向量求异面直线所成的角　　[例1]　如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成的角的余弦值的大小．[思路点拨]　→→，坐标→cos〈，〉→.[精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝－＝(－，1，－)，＝－＝(，－1，－)．∴cos〈，〉＝＝＝－.异面直线A1B与AO1所成的角的余弦值为.[一点通]求异面直线所成的角的方法及关注点：(1)方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．(2)n关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算．1.如图所示，已知在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成的角的余弦值．解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，(1)证明：＝(0,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(－1，，0)．∵·＝0，·＝0，∴OA⊥BD，OA⊥BC.又BD∩BC＝B，∴AO⊥平面BCD.(2)＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)．∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.2.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求直线AC1与AC所成角的余弦值．解：＝＋＋，＝＋，||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°×3＝6，||2＝2＋2＋2·＝1＋1＋1＝3，∴||＝，||＝.·＝(＋)·(＋＋)＝2＋·＋·＋·＋2＋·＝1＋＋＋＋1＋＝4，∴cos〈，〉＝＝＝，n即AC1与AC所成角的余弦值为.求线面角　　[例2]　(湖南高考)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．[思路点拨]　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(1)求出和，证明·＝0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．[精解详析]　(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x＝1，则n＝(1，－，)．n设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.[一点通]　利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式cos〈a，b〉＝，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将〈a，b〉转化为所求的线面角．3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．解：(1)证明：根据题意，CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝BC＝CC1＝a，则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，A(a，0,0)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)，＝.于是·＝0，·＝0，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.(2)因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又＝(0，－a，a)，则cos〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝60°.n故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.4．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．解：(1)证明：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系H－xyz如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，D(0，m,0)，E.可得＝，＝(m，－1,0)．因为·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知条件可得m＝－，n＝1，故C，D，E，P(0,0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n＝(1，，0)．又＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.求二面角[例3]　(江苏高考)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．n[思路点拨]　(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值．[精解详析]　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.[一点通]　用向量法求二面角的大小时，应注意两个问题：一是建系后两个平面的法向量求解正确；二是求出了两法向量夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角大小．5．(天津高考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE;(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．n(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.(2)可知＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝.所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝，所以AM＝.6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．n(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形．∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)，∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1＝＝(2,2，－2)，平面BAP的法向量n2＝＝(0,2，0)，∴n1·n2＝8.设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，∴θ＝45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.1．两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．2．直线的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面成角为θ，则sinθ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了绝对值符号．3．利用两平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后要根据图形判断二面角是锐角还是钝角．[对应课时跟踪训练(二十五)]　1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CDn所成角的余弦值为________．解析：＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴直线AB，CD所成角的余弦值为.答案：2．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：3．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，则二面角A－PB－C的余弦值为________．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒⇒令x＝1，则m＝(1，－，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，n则⇒⇒令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝＝.答案：4．(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.答案：5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．所以＝(－1,0,1)，＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝.答案：6.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．n解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)．∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)，∵n⊥，n⊥，∴即解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．又设AB与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.即AB与平面BDF所成角的正弦值为.7．(江西高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，n从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因为PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，则解得即n1＝.设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则解得即n2＝(1，，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝.8.如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.(1)求证：DM⊥EB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角M－BD－A的余弦值．解：以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，设CB＝a，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，n所以M(a，a，)，(1)证明：＝(a，a，－)，＝(－2a,2a,0)，∴·＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，∴⊥，即DM⊥EB.(2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)，设异面直线AB与CE所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)∵DA⊥平面EAB，AD⊂平面DAB，∴平面DAB⊥平面EAB，∵EA⊂平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，EA⊥AB.∴EA⊥平面DAB.∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量．设平面MBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(a，a，－)，＝(0，－2a,2a)，则即令z＝a，则n＝，设二面角M－BD－A的平面角为α，则cosα＝＝＝.即二面角M－BD－A的余弦值为.