2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数讲义
3．3.3 函数的最大(小)值与导数预习课本P96～98，思考并完成以下问题1．什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？ 2．函数的最值与极值有什么关系？ 3．求函数最值的方法和步骤是什么？ 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．[点睛] 对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．n(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[点睛] 函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值( )(2)开区间上的单调连续函数无最值( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2D．4答案：C3．函数f(x)＝3x＋sinx在x∈[0，π]上的最小值为________．答案：14．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．答案：(－4，－2)求函数的最值[典例] 求下列函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．[解] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，n得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57－由于当x＞时，f′(x)＞0，所以f(x)在上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x02πf′(x)＋0－0＋f(x)0极大值＋极小值－π∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.求函数最值的四个步骤第一步：求函数的定义域．第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．第四步：求极值、端点值，确定最值．[注意] 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． [活学活用]n已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝＋lnx＝－1＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2极小值0－＋ln2∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，∴f－f(2)＝－2ln2＝×(3－4ln2)＝ln＞0，∴f＞f(2)，∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.由函数的最值求参数[典例] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29.求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．当a＞0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝nb＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决． [活学活用]已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解：由题意知f′(x)＝4－＝.又x＞0，a＞0，令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增，即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36.与最值有关的恒成立问题[典例] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．(2)若x∈[－1,2]，不等式f(x)
f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，把(2)中“x∈[－1,2]，不等式f(x)c－，所以f(1)＝c－为最小值．因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)f(1)＝c－，即2c2－2c＋3＞0，解得c∈R.2．[变条件，变设问]已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.(1)求f(x)的单调递增区间．n(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；再由f(2)＝－，得b＝4.所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立． 层级一 学业水平达标1．设函数f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则f(x)( )A．有最大值 B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：选A f′(x)＝2－＝，令f′(x)＝0，得x＝－.n当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜0时，f′(x)＜0，∴x＝－是函数f(x)的极大值点，也是最大值点．故f(x)有最大值，无最小值．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－16解析：选A y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )A．2B．3C.D．2＋解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.4．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.5．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为( )A．0B.C.D.n解析：选B y′＝1－2sinx，令y′＝0，得sinx＝，∵x∈，∴x＝.由y′>0得sinx<，∴0≤x<；由y′<0得sinx>，∴2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.6．函数f(x)＝x2－(x＜0)的最小值是________．解析：f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，得x＝－3.当x＜－3时，f′(x)＜0；当－3＜x＜0时，f′(x)＞0.所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也是最小值，所以f(x)min＝27.答案：277．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，所以f(x)的最小值为0.答案：08．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．n∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：209．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求导函数f′(x)；(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由解得∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，nf′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－21f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )A．0 B.C.D.解析：选C f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D.解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.3．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10B．－71C．－15D．－22n解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.4．已知当x∈时，函数f(x)＝tx－sinx(t∈R)的值恒小于零，则t的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选A f(x)＝tx－sinx＜0在x∈内恒成立，即t＜在内恒成立．令g(x)＝，则g′(x)＝.令φ(x)＝xcosx－sinx，则φ′(x)＝－xsinx，当x∈时，φ′(x)＜0，∴φ(x)在上单调递减，∴φ(x)＜φ(0)＝0，∴sinx＞xcosx，∴g′(x)＜0，∴g(x)在内单调递减，∴t≤＝.5．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)02e2n∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.答案：－7．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝－(舍去)，x2＝，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，n因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.8．已知函数f(x)＝lnx＋.(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．解：函数f(x)＝lnx＋的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，(1)∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝，得a＝.④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；综上所述，a的值为.
