江苏省九年级数学.4用一元二次方程解决问题专项练习一（等积变形、面积问题）苏科版

江苏省九年级数学.4用一元二次方程解决问题专项练习一（等积变形、面积问题）苏科版

第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习一一、等积变形、面积问题1：1．.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场．设围成的矩形一边长为x米．(1)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米；(2)请问能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．2．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．3．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.（1）t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；（2）若PQ⊥DQ，求t的值.4．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，与此同时，点n从点出发沿边向点以的速度移动．当点到达点时，点停止移动．（）几秒钟后，．（）几秒钟后，．5．(1)一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为xm，则可列方程为___________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.6．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．．n7．现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是cm，宽是___________cm；8.在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为xcm，则包书纸长为cm，宽为cm（用含x的代数式表示）．（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长xcm．9．小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请说明理由．10．阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n（n﹣3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n﹣3）=20．整理得n2﹣3n﹣40=0；解得n=8或n=﹣5∵n为大于等于3的整数，∴n=﹣5不合题意，舍去．∴n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为什么？n11．一块正方形的铁皮，在它的四角各截去边长为4㎝的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是400㎝3，求原铁皮的边长．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为ts.(1)当t为何值时，△PCQ的面积是△ABC面积的？(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案．n（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x．（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1）（2）有共同特点的设计草图，并加以说明．14．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.n（1）花圃的面积为____（用含的式子表示）；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元答案详解：n1．（1）x为6或10时；（2）不能理由见解析.试题分析：（1）矩形一边长为x，周长为32，另一边为，面积为60，可列出一元二次方程，求出x值；（2）仿照第一问列出方程，根据根的情况作出判定能否围成面积为70的养鸡场.试题解析：（1）由题意得：x（16-x）=60，即x2-16x+60=0,解得：x1=6，x2=10,即当x为6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；(2)不能围成面积为70平方米的养鸡场，理由如下：由题意得：x（16-x）=70，即x2-16x+70=0,因为△=（-16）2-4×1×70=-24＜0，所以该方程无解.故不能围成面积为70平方米的养鸡场.2．14米．试题分析：本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，由此可列方程求解．试题解析：根据题意，得2（x+×400）+2××300+200×80=47200，整理，得﹣39x+350=0，解得=25，=14，∵x=25＞16，∴x=25不合题意，舍去．∵x=14＜16，=＜16，∴x=14符合题意．所以，池长为14米．3．（1）t=2或6；（2）t=2或8试题分析：（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于12cm2列式求值即可；（2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出对应边成比例，再设AP=t，QB=2t，得出方程，求出x即可．试题解析：解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于12cm2．则AP=t，QB=2t，∴PB=6﹣t，∴×（8﹣t）•2t=12，解得x1=2，x2=6．答：2秒或6秒后△PBQ的面积等于12cm2；（2）设t秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴，设AP=t，QB=2t，∴n，∴，解得：x=2或8．当x=8时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：2秒或8秒后PQ⊥DQ．点拨：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．4.试题分析：（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（4-x），令该式=3，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）利用PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，由勾股定理定理可得解．试题解析：（）解：设这时间为，由题可知，即，由题，，，∴，令，则，解得或，即：或后，．（）解：，∴令，解得，（舍），即：秒后，．5．(1)x(x－5)＝150.(2)(x＋1)2－1＝24.试题分析：（1）根据“如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5米，利用矩形的面积公式列出方程即可；（2）把缺口补回去，得到一个边长为x＋1，面积25的正方形，根据正方形面积公式，n观察图形可得图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．试题解析：（1）长减少5m，菜地就变成正方形，∴原菜地的长为x米，则宽为（x-5）米，根据题意得：x（x-5）=150，故答案为：x（x-5）=150．（2）根据题意得：（x+1）2-1=24，故答案为：（x+1）2-1=24．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．6．x2+65x﹣350=0．分析：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据其积为5400，即长×宽=5400，列方程进行化简即可．解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以(80+2x)(50+2x)=5400，即4x2+160x+4000+100x=5400，所以4x2+260x﹣1400=0．即x2+65x﹣350=0．点拨：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．，8．①设折叠进去的宽度为则包书纸的长为宽是故答案为：②由题意，得：；解得：;∴x=2，答：小正方形的边长为2cm．分析：结合图形，列出代数式即可.n①设折叠进去的宽度为列出代数式即可.②根据①所给的条件，用折叠进去的宽度表示出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积列方程，求解即可.详解：词典封皮（包书纸）的长是cm,宽是cm.故答案为：,.①设折叠进去的宽度为则包书纸的长为宽是故答案为：②由题意，得：；解得：;∴x=2，答：小正方形的边长为2cm．点拨：本题考查了列代数式，代数式的求值，一元二次方程的应用；解决此类问题的关键是读懂题意，找到题中所给的等量关系.9．（1）小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形；（2）他的说法对．试题分析：（1）设围成的两个正方形中其中一个边长为xcm，则另一个正方形的边长为cm，由此根据题意可列出方程，解此方程即可；（2）同（1）可得方程：，化为一般形式由“一元二次方程根的判别式”可知该方程无实数根，从而可得结论；试题分析：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm．∴x2+（8﹣x）2=40，即x2﹣8x+12=0．∴x1=2，x2=6．n∴当时，；当时，；∴一个正方形的周长为8cm，另一个正方形的周长为24cm，∴小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．（2）他的说法对．假定两个正方形的面积之和能等于30cm2．根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30．即x2﹣8x+17=0，∵△=82﹣4×17＜0，∴所列方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．10．（1）多边形是七边形；（2）多边形的对角线不可能有10条．试题分析：(1)、根据题意得出关于n的一元二次方程，然后求出n的值，根据n为大于3的整数求出n的值；(2)、根据一元二次方程求出n的值，然后根据n不是正整数，从而得出答案．试题解析：(1)、解：根据题意得：n（n﹣3）=14，整理得：n2﹣3n﹣28=0，解得：n=7或n=﹣4．∵n为大于等于3的整数，∴n=﹣4不合题意，舍去；∴n=7，即多边形是七边形．(2)、解：A同学说法是不正确的，理由如下：当n（n﹣3）=10时，整理得：n2﹣3n﹣20=0，解得：n=，∴符合方程n2﹣3n﹣20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有10条．11．18cm．试题分析：先设原正方形铁皮的边长为x，然后根据题意列出方程4（x-8）2=400，再解方程即可求解．试题解析：设原正方形铁皮的边长为xcm则由题意可得4（x-8）2=400解得x1=18，x2=-2（不合题意，舍去）．答：原正方形铁皮的边长为18cm．12．（1）当t＝2时，△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）PCQ的面积不可能是△ABC面积的n试题分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解．试题解析：（1），,解得（2）当时，∴此方程没有实数根，∴的面积不可能是面积的一半．13．（1）小强的结果不对，理由见解析；（2）5．5；（3）详见解析．试题分析：（1）小强的结果不对．设小路宽x米，由此得到内面的矩形的长、宽分别为（16-2x）、（12-2x），再根据矩形的面积公式即可列出方程求解；（2）从图中知道，四个扇形的半径为x，根据扇形的面积公式可以用x表示它们的面积，然后根据题意即可列出方程求解；（3）有其他的方案．答案比较多，例如可以以每边中点为圆心画半圆，然后根据题意计算它们的半径即可．试题解析：（1）小强的结果不对设小路宽米，则解得：∵荒地的宽为12cm，若小路宽为12m，不合实际，故（舍去）（2）依题意得：（3）n第一个图，A、B、C、D为各边中点；第二个图圆心与矩形的中心重合，半径为m14．(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．试题分析：（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可．试题解析：(1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）；（2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得：m=40∴y1=40x且有，解得：，∴y2=35x+20000．∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920解得a1=2，a2=48（舍去）．答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．点拨：本题是一元二次方程和一次函数的综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题.