江苏省九年级数学.4用一元二次方程解决问题专项练习三（等积变形、面积问题）苏科版

江苏省九年级数学.4用一元二次方程解决问题专项练习三（等积变形、面积问题）苏科版

第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习三三、等积变形、面积问题3：1．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？2．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？n3．学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为xm的小道（图中阴影部分）.（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为m2（用含x的代数式表示）；（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行.若使剩余部分面积为570m2，试求小道的水平宽度x.4．如图，要设计一副宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度都相同，如果使剩余面积为原矩形图案面积的，应如何设计每个彩条的宽度？5．如图，某课外活动小组借助直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边．已知篱笆长为40m，篱笆围成的矩形ABCD的面积为300m2．求边AB的长．n6．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图所示设BC为．用含x的代数式表示AB的长；如果墙长15m，满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．7．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成.（1）要使所围矩形猪舍的面积达到50m2，求猪舍的长和宽.（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到60m2，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？8．如图，某校要在长为，宽为的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽.n9．如图所示，在宽为20米，长为32米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地．现要使草地的面积为540平方米，求水泥路的宽应为多少米？10．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2？（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)问是否存在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．n12．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共　　块瓷砖，第一竖列共有　　块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．n答案详解：1．羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=202．(1)4a2-320a+6000；(2)通道的宽为5米；(3)318000元．  分析：(1)、用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；(3)、根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可．详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2a）（60-2a）=4a2-320a+6000；(2)、由已知可列式：100×60-（100-2a）（60-2a）=×100×60，解得：a1=5，a2=75（舍去），所以通道的宽为5米；(3)、∵方程x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根，∴△=a2-25a+150=0，解得：a1=10，a2=15，∵5≤a≤12，∴a=10．设修建的花圃的造价为y元，y=55.625S；当a=10时，S花圃=80×40=3200（m2）；y花圃=3200×55.625=178000（元），S通道=100×60-80×40=2800（m2）；y通道=2800×50=140000（元），造价和：178000+140000=318000（元）．  点拨：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．3．（1）20（32-x）；（2）小道宽为1米.试题分析：（1）利用平行四边形面积求法直接平移阴影部分得出剩余面积即可；n（2）利用平行四边形的面积求法，平移道路进而得出方程求出即可．试题解析：（1）由题意可得，剩余部分面积为：20（32-x）m2；（2）依题意，得640-40x-32x+2x2=570      解得x1=1，x2=35（不合舍去） 答：小道宽为1米．点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用平行四边形面积公式得出等式方程是解题关键．4．应设计彩条宽为5cm试题分析：设每个彩条的宽度为xcm，根据题意，得解得：x1=5，x2=30（二倍大于30，舍去），应设计彩条宽为5cm，5．10m或30m．试题分析：根据矩形的面积列出方程，求解.试题解析：设边AB的长为xm．根据题意，得x（40﹣x）=300，解得x1=10，x2=30．答：边AB的长为10m．或者30m．6．（1）；（2）不能，理由见解析试题分析：（1）利用长方形的周长即可解答；（2）利用长方形的面积列方程解答即可.试题解析：（1）；（2）不能，理由是：根据题意列方程的，x（40-2x）=200，解得x1=x2=10；n40-2x=20（米），而墙长15m，不合实际，因此如果墙长15m，满足条件的花园面积不能达到200m2.点拨：此题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题，属于综合类题目，灵活利用长方形的周长和面积公式是关键．7．（1）所围猪舍的长是10m，宽是5m；（2）所围猪舍的长是10m，宽是6m.试题分析：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25+1-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可.试题解析：（1）设与住房墙垂直的一边长为m，则与住房墙平行的一边长为()m根据题意，列方程得：()=50，解得：，，当=2.5时，与住房墙平行的一边长=20＞12，不符合题意，舍掉，当=10时，与住房墙平行的一边长=5＜12.5分，答：所围猪舍的长是10m，宽是5m；(2)设与住房墙垂直的一边长为m，则与住房墙平行的一边长为()m根据题意，列方程得：()=60，解得：，，当=3时，与住房墙平行的一边长=20＞12，不符合题意，舍掉，当=10时，与住房墙平行的一边长=6＜12，答：所围猪舍的长是10m，宽是6m.点拨：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．8．2米n试题分析：可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．试题解析：解法一：原图经过平移转化为图1.设道路宽为米.根据题意，得.整理得.解得（不合题意，舍去），.答：道路宽为2米.解法二：原图经过平移转化为图2.设道路宽为米.根据题意，，整理得.解得（不合题意，舍去），.答：道路宽为2米.9．2m试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣x）和（20﹣x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．解：设水泥路的宽为xm，则可列方程为：n（32﹣x）（20﹣x）=540解得：x=2或x=50（不合题意，舍去），答：水泥路的宽为2m．10．（1）x1=1，x2=3；（2）方程无实数根，即不存在满足条件的t．试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2﹣4ac来判断．（1）解：设经过x秒，△CPQ的面积等于3cm2．则x（8﹣2x）=3，化简得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；（2）解：设存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积．则t（8﹣2t）=××6×8，化简得t2﹣4t+12=0，b2﹣4ac=16﹣48=﹣32＜0，故方程无实数根，即不存在满足条件的t．11．(1)两动点运动s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)存在．当运动s或s时，点P与点Q之间的距离为cm.分析：（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49，此时点P应在AB上，才是四边形；根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分：0＜t≤3、3＜t≤4，两种情况讨论.详解：(1)设两动点运动xs后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.根据题意，得BP＝(6－2x)cm，CQ＝xcm，矩形ABCD的面积是12cm2，则有(x＋6－2x)×2＝12×，解得x＝.即两动点运动s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.n(2)存在．设两动点经过ts使得点P与点Q之间的距离为cm.①当0＜t≤3时，则有(6－2t－t)2＋4＝5，整理，得9t2－36t＋35＝0，解得t＝或；②当3＜t≤4时，则有(8－2t)2＋t2＝5，整理，得5t2－32t＋59＝0，此时Δ＝322－4×5×59＝－156＜0，此方程无解．综上所述，当运动s或s时，点P与点Q之间的距离为cm.点拨：本题考查了一元二次方程的应用---几何问题．仔细审题，找出题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.12．（1）（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）n=20；（3）共花1604元钱购买瓷砖；（4）不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．试题分析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，根据发现的规律可得在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有(n+2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个；（2）根据（1）中的结果可得（n+2）(n+3)=506，解方程即可得；（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．试题解析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有(n+2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个，故答案为：（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）根据题意得：（n+2）（n+3）=506，解得n1=20，n2=﹣25（不符合题意，舍去）；（3）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块），故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元），答：共花1604元钱购买瓷砖；（4）根据题意得：n（n+1）=2（2n+3），n解得n=（不符合题意，舍去），∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．