八年级数学下册直角三角形的性质与判定ⅰ第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及应用练习

八年级数学下册直角三角形的性质与判定ⅰ第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及应用练习

课时作业(二)[1.1　第2课时　含30°角的直角三角形的性质及应用]　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．如图K－2－1，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度是(　　)图K－2－1A．10米B．15米C．25米D．30米2．如图K－2－2，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D为斜边AB的中点，则图中与线段AC的长度相等的线段有(　　)　图K－2－2A．0条B．1条C．2条D．3条3．如图K－2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，AB＝4，则BD的值为(　　)图K－2－3A．3B．2C．1D.4．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，若这个三角形的最短边长为，则它的最长边长为(　　)A．2B．2C．3D．35．如图K－2－4，AB⊥BC于点B，AD∥BC，BE⊥CD于点E，CE＝BC，E为CD的中点，那么∠ADB的度数为(　　)　图K－2－4A．75°B．60°C．45°D．无法确定n6．2018·郴州如图K－2－5，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB分别于点C，D；分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP中截取OM＝6，则点M到OB的距离为(　　)图K－2－5A．6B．2C．3D．37．如图K－2－6，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD于点E，2CE＝AC，那么CD的长是(　　)图K－2－6A．2B．3C．1D．1.5二、填空题8．若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1，斜边长为8，则这个直角三角形最短的边长为________．9．如图K－2－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若BC＝AB，则∠DCB＝________°.图K－2－710．如图K－2－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝________．图K－2－811．如图K－2－9，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，AD＝2BC，则∠A＝________°.图K－2－9n12．如图K－2－10，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．图K－2－10三、解答题13．如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF＝4cm.求：(1)∠F的度数；(2)AB的长.图K－2－1114．如图K－2－12，△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系，并说明理由．图K－2－1215．如图K－2－13，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且CD＝AE，ADn与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.图K－2－1316．如图K－2－14，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D.若PC＝4，求PD的长．图K－2－141．分类讨论思想在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD是高，且∠ABD＝30°，求CD的长2．图形全等与变换如图K－2－15，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝15°，点B，E关于CD对称，连接BE交CD于点H，交AC于点G，连接DE交ACn于点F.(1)求∠ADF的度数；(2)求证：AF＝CG.图K－2－15n详解详析课堂达标1．[解析]B　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米，则大树在折断前的高度是5＋10＝15(米)．2．[解析]D　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知，AC＝AB＝AD＝BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD＝AB，所以AC＝AD＝BD＝CD.故选D.3．[解析]C　∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴CB＝AB＝2，∠B＝60°.∵CD是AB边上高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝1.4．[解析]B　设三个内角的度数分别为x°，(2x)°，(3x)°，则x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴这个三角形是直角三角形，30°角所对的直角边为最短边，斜边为最长边．∵最短边长为，∴它的最长边为2.5．[解析]B　由BE⊥CD，CE＝BC，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”得∠EBC＝30°.又由BE垂直平分CD得△BCD为等腰三角形，所以∠DBE＝∠EBC＝30°，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠ADB＝∠DBC＝60°.故选B.6．[解析]C　由作图知，OP是∠AOB的平分线，点M到OB的距离即为垂线段的长，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得点M到OB的距离是3.7．[解析]A　在Rt△AEC中，由＝，可以得到∠1＝∠2＝30°.又∵AD＝BD＝4，得到∠B＝∠2＝30°，从而求出∠ACD＝90°，然后由直角三角形的性质求出CD的长．8．49．[答案]30[解析]∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵CD⊥AB，垂足为D，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝30°.10．[答案]2[解析]∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD.∵CD＝1，∴AD＝2CD＝2，∴BD＝AD＝2.11．[答案]15[解析]连接BD.∵DE垂直平分AB于点E，∴AD＝BD＝2BC，∴在Rt△BCD中，∠BDC＝30°.又∵BD＝AD，∴∠A＝∠DBA＝∠BDC＝15°.12．[答案]3n[解析]如图，过点P作PC⊥MN于点C.∵PM＝PN，∴C为MN的中点，即MC＝NC＝MN＝1.∵在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则OM＝OC－MC＝4－1＝3.13．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABC＝60°.∵BF∥AC，∴∠EBF＝∠C＝90°，∴∠F＝30°.(2)∵∠EBF＝90°，∠F＝30°，EF＝4cm，∴BE＝EF＝2cm.∵E是边BC的中点，∴BC＝4cm.∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8cm.14．解：CE＝AC.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，BC＝AC.∵D是△ABC中BC边的中点，∴BD＝CD.又∵∠C＝60°，DE⊥AC，∴∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝BC＝AC.即CE＝AC.15．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴BA＝AC，∠CAB＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°，∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.n16．解：过点P作PQ⊥OB于点Q，则∠PQO＝∠PDO＝90°.∵∠DOP＝∠QOP＝15°，∠PDO＝∠PQO＝90°，OP＝OP，∴△OPD≌△OPQ，∴PD＝PQ.∵PC∥OA，∴∠QCP＝∠BOD＝∠AOP＋∠BOP＝30°，∴PQ＝PC＝2.故PD＝2.素养提升1．解：分两种情况讨论．(1)如图①，当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，则AD＝AB＝5cm，∴CD＝AC－AD＝5cm.(2)如图②，当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝5cm，∴CD＝AC＋AD＝15cm.2．解：(1)∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBA＝45°.∵∠ACD＝15°，∴∠CDB＝∠ACD＋∠CAD＝60°.∵点B，E关于CD对称，∴∠EDC＝∠CDB＝60°，∴∠ADF＝180°－60°－60°＝60°.(2)证明：如图，过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M，则∠FAM＝90°＝∠GCB，∠MAD＝90°－45°＝45°＝∠CAD.∵∠MAD＝45°，∠ADF＝60°，∴∠M＝60°－45°＝15°＝∠ACD.∵点B，E关于CD对称，∴CD⊥BE，∴∠CHG＝90°，∴∠CGB＋∠ACD＝90°.∵∠GCB＝90°，∴∠CGB＋∠CBG＝90°，∴∠CBG＝∠ACD＝15°＝∠M.在△ACD和△AMD中，∵∠CAD＝∠MAD，∠ACD＝∠M，AD＝AD，∴△ACD≌△AMD，∴AC＝AM.n又∵AC＝BC，∴AM＝BC.在△FAM和△GCB中，∵∠M＝∠CBG，AM＝CB，∠FAM＝∠GCB，∴△FAM≌△GCB，∴AF＝CG.