2020版高考数学复习第四单元专题探究2平面向量的综合应用练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第四单元专题探究2平面向量的综合应用练习文（含解析）新人教a版

专题探究2　平面向量的综合应用1.[2018·株州模拟]在△ABC中,(BC+BA)·AC=|AC|2,则△ABC的形状一定是(　　)A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.[2018·揭阳模拟]已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA·PB=x2,则点P的轨迹是(　　)A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(AB+AC)·BC=0,则△ABC的形状为(　　)A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为平面区域x+y≥2,x≤1,y≤2内的一个动点,则OA·OM的取值范围是(　　)A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2]5.在菱形ABCD中,若AC=4,则CA·AB=　　　　. 6.[2018·成都龙泉一中、新都一中等九校联考]已知向量m=(1,cosθ),n=(sinθ,-2),且m⊥n,则sin2θ+6cos2θ的值为(　　)A.12B.2C.22D.-27.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则S△BCDS△ABD等于(　　)A.16B.13C.12D.238.[2018·台州实验中学模拟]已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y28=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,则EF1·EF2的最大值、最小值分别为(　　)A.9,7B.8,7C.9,8D.17,89.[2018·安徽师大附中模拟]已知函数f(x)=3sinωx(ω>0)的部分图像如图Z2-1n所示,A,B分别是图像上的最高点、最低点,O为坐标原点,若OA·OB=0,则函数f(x+1)是(　　)图Z2-1A.周期为4的奇函数B.周期为4的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数10.[2018·资阳4月模拟]如图Z2-2所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥DC,AB=2,AD=DC=1,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12,且点P在图中阴影部分(包括边界)内运动.若AP=xAB+yBC,其中x,y∈R,则4x-y的取值范围是(　　)图Z2-2A.2,3+324B.2,3+52C.3-24,3+52D.3-172,3+17211.[2018·山西四大名校联考]设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=　　　　. 12.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(2cosθ,2sinθ),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为　　　　. 13.已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足PA·AM=0,AM=-32MQ,当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程.14.[2018·酒泉质检]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)BA·BC=cCB·CA.(1)求角B的大小;(2)若|BA-BC|=6,求△ABC的面积的最大值.n15.[2018·大庆一模]已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b,记|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin,则当b变化时,dmin的最大值为(　　)A.43B.2C.4D.616.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,正三角形ABC内接于圆O:x2+y2=4,直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQ∥BC,则BQ·CP的值为　　　　. 专题集训(二)1.C　[解析]由(BC+BA)·AC=|AC|2,得AC·(BC+BA-AC)=0,即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0,∴AC⊥BA,∴A=90°.又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,故△ABC一定是直角三角形.2.D　[解析]∵PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y),∴PA·PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6,即点P的轨迹是抛物线.3.B　[解析]由内角A,B,C成等差数列,得B=60°,由(AB+AC)·BC=0,可得△ABC为等腰三角形.综上可得,△ABC为等边三角形.4.B　[解析]OA·OM=-2x+y,画出不等式组x+y≥2,x≤1,y≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示.平移直线y=2x易知,当点M的坐标为(1,1)时,OA·OM取得最小值-1,当点M的坐标为(0,2)时,OA·OM取得最大值2.故选B.5.-8　[解析]设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8acosθ,∴acosθ=2,∴CA·AB=4·a·cos(π-θ)=-4acosθ=-8.6.B　[解析]由题意可得m·n=sinθ-2cosθ=0,cosθ≠0,则tanθ=2,所以sin2θ+6cos2θ=2sinθcosθ+6cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ+6tan2θ+1=2.故选B.7.B　[解析]如图,由已知构造▱AFDE,可得点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=12S△ABC,S△ACD=13S△ABC,S△BCD=1-12-13S△ABC=16S△ABC,所以S△BCDS△ABD=13.8.B　[解析]由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(-3≤x≤3),则EF1=(-1-x,-y),EF2=(1-x,-y),所以EF1·EF2=x2-1+y2=x2-1+8-89x2=x29+7.当x=0时,nEF1·EF2有最小值7,当x=±3时,EF1·EF2有最大值8,故选B.9.B　[解析]由题图可得Aπ2ω,3,B3π2ω,-3,由OA·OB=0得3π24ω2-3=0,又ω>0,所以ω=π2,所以f(x)=3sinπ2x,所以f(x+1)=3sinπ2(x+1)=3cosπ2x,它是周期为4的偶函数.故选B.10.B　[解析]以A点为坐标原点,AD,AB的方向为y轴、x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),设点P的坐标为(m,n),A(0,0),B(2,0),C(1,1).由题意可知AP=x(2,0)+y(-1,1),据此可得m=2x-y,n=y,则x=m+n2,y=n.设z=4x-y,则z=2m+n,其中z为直线n=-2m+z的纵截距,当直线与圆相切时,目标函数z取得最大值3+52,当直线过点12,1时,目标函数z取得最小值2,则4x-y的取值范围是2,3+52.11.6　[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),所以FA+FB+FC=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,得x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6.12.3-22　[解析]因为ma+nb=c,所以m(1,1)+n(1,-1)=(2cosθ,2sinθ),所以m+n=2cosθ,m-n=2sinθ,则(m+n)2+(m-n)2=2,即m2+n2=1,所以点P(m,n)在以原点O为圆心,1为半径的圆上,(m-1)2+(n-1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方,由圆的性质知(m-1)2+(n-1)2的最小值是(2-1)2=3-22.13.解:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b>0),则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y),由PA·AM=0,得a(x-a)+3y=0①.由AM=-32MQ,得(x-a,y)=-32(-x,b-y)=32x,32y-32b,∴x-a=32x,y=32y-32b,∴a=-x2,b=y3.∵b>0,∴y>0,把a=-x2代入①中,得-x2x+x2+3y=0,整理得y=14x2(x≠0).∴动点M的轨迹方程为y=14x2(x≠0).14.解:(1)由题意得(2a-c)cosB=bcosC.根据正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,n所以2sinAcosB=sin(C+B),即2sinAcosB=sinA.因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以cosB=22,又B∈(0,π),所以B=π4.(2)因为|BA-BC|=6,所以|CA|=6,即b=6,根据余弦定理及基本不等式,得6=a2+c2-2ac≥2ac-2ac=(2-2)ac(当且仅当a=c时取等号),即ac≤3(2+2),故△ABC的面积S=12acsinB≤32+32,即△ABC的面积的最大值为32+32.15.B　[解析]固定向量a=(3,0),则向量b,c分别在以(3,0)为圆心,r为半径的圆上的直径两端运动,其中,OA=a,OB=b,OC=c,如图,易得点B(rcosθ+3,rsinθ).因为|b|=|b-c|,所以OB=BC,即(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2,整理为r2-2rcosθ-3=0,可得cosθ=r2-32r.令OH=ta,则HB=b-ta,当BH⊥OA时,|b-ta|取得最小值,所以dmin=rsinθ=-r4+10r2-94=4-(r2-5)24≤2,所以dmin的最大值是2,故选B.16.-223　[解析](1)因为圆心O为正三角形ABC的中心,所以△ABC的边长为23,由于直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQ∥BC,因此由三角形重心的性质可得,AP=23AB,AQ=23AC,BQ·CP=(BA+AQ)·(CA+AP)=BA+23AC·CA+23AB=BA·CA+49AC·AB+23AC·CA+23AB·BA=6+83-8-8=-223.