2020版高考数学复习第八单元第43讲双曲线练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第八单元第43讲双曲线练习文（含解析）新人教a版

第43讲　双曲线1.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是(　　)A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x2-y22=1D.x22-y2=12.[2018·珠海模拟]若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为(　　)A.52B.5C.3+12D.3+13.已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的标准方程为(　　)A.x29-y227=1B.y29-x227=1C.y212-x224=1D.y224-x212=14.[2018·石嘴山三中月考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则双曲线的方程为(　　)A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x24-y23=1D.x29-y216=15.[2018·诸暨模拟]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得的弦长为433,则此双曲线的离心率为　　　　. 6.[2018·宁夏平罗模拟]已知双曲线C1:x24-y2=1,双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是(　　)A.32B.4C.8D.167.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,线段MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程是(　　)A.x23-y24=1B.x22-y25=1nC.x25-y22=1D.x24-y23=18.已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线分别交于点A,B,且A(1,3),若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为(　　)A.1B.2C.3D.29.已知A(-2,0),B(2,0),斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为(　　)A.-2B.-12C.12D.210.如图K43-1,过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与E的渐近线交于B,C两点,若BC+2BA=0,则双曲线E的渐近线方程为(　　)图K43-1A.y=±3x　　　　B.y=±4xC.y=±2x　　　　D.y=±2x11.[2018·河南中原名校检测]已知直线x-2y+1=0与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率为(　　)A.2B.62C.52D.312.[2018·银川一中月考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),抛物线y2=4cx与双曲线在第一象限内相交于点P,若|PF2|=|F1F2|,则双曲线的离心率为　　　　. 13.[2018·海南中学月考]已知双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(22,1).n(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,点P(异于A1,A2)为双曲线C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线方程是y=±255x,点A(0,b),且△AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程;(2)直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点P,Q,若|AP|=|AQ|,求实数m的取值范围.15.已知双曲线Γ1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆Γ2:x23+y24=1的离心率为e,直线MN过点F2与双曲线交于M,N两点,若cos∠F1MN=cos∠F1F2M,且|F1M||F1N|=e,则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为(　　)A.30°,150°B.45°,135°C.60°,120°D.15°,165°16.以椭圆x29+y25=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,已知点M的坐标为(2,1),双曲线C上的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满足PF1·MF1|PF1|=F2F1·MF1|F2F1|,则S△PMF1-S△PMF2=(　　)A.2B.4C.1D.-1n课时作业(四十三)1.A　[解析]A中双曲线的渐近线方程为y=±2x;B中双曲线的渐近线方程为y=±12x;C中双曲线的渐近线方程为y=±2x;D中双曲线的渐近线方程为y=±22x.2.B　[解析]直线x+2y-1=0的斜率k=-12,由题意知ba=2,即b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,∴双曲线的离心率e=5,故选B.3.B　[解析]抛物线x2=24y的焦点坐标为(0,6),由题意知双曲线的一个焦点的坐标为(0,6),∴可设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).∵双曲线的渐近线方程为y=±abx,且其中一条渐近线的倾斜角为30°,∴ab=33,又c=6,c2=a2+b2,∴a2=9,b2=27,故双曲线的标准方程为y29-x227=1.4.D　[解析]由题意得c=32+42=5,因为交点(3,4)在渐近线y=bax上,所以4=3ba,即ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为x29-y216=1,故选D.5.3　[解析]不妨设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为bx-ay=0,由bx-ay=0,x24+y2=1可得x=±2aa2+4b2,y=±2ba2+4b2,∴这条渐近线截椭圆x24+y2=1所得的弦长为24a2+4b2a2+4b2,由题意可得24a2+4b2a2+4b2=433,整理得2a2=b2,又b2=c2-a2,∴3a2=c2,∴e=ca=3.6.D　[解析]双曲线C1:x24-y2=1的离心率为52,设F2(c,0),双曲线C2的一条渐近线方程为y=bax,可得|F2M|=bca2+b2=b,则|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,∴a=8,b=4,c=45,∴双曲线C2的实轴长为16.故选D.7.B　[解析]设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),将y=x-1代入双曲线的方程,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),易知b2-a2≠0,则x1+x2=2a2a2-b2,所以x1+x22=a2a2-b2=-23.又由c2=a2+b2=7,得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程是x22-y25=1.8.C　[解析]由题意知A在双曲线的右支上,根据双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a,n∵△ABF2是等边三角形,∴|AF2|=|AB|,∴|BF1|=2a.又∵|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=4a.∵在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×-12=28a2,即c2=7a2,∴b2=c2-a2=6a2,∴双曲线的方程为x2a2-y26a2=1.又点A(1,3)在双曲线上,∴1a2-36a2=1,∴a=22,∴△BF1F2的面积为12×2a×4a×sin120°=23a2=3.9.D　[解析]由题意知M,N是双曲线的右支上的两点,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a=3,c=2,b=1,∴双曲线方程为x23-y2=1.设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1>3,x2>3且x1≠x2,则x1+x2=12,y1+y2=2.将点M,N的坐标分别代入双曲线方程,得x123-y12=1,x223-y22=1,作差可得13×12×(x1-x2)-2(y1-y2)=0,∴k=y1-y2x1-x2=2.10.D　[解析]由题易知A(a,0),直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于点Ba2a+b,aba+b,直线l:y=-x+a与渐近线l2:bx+ay=0交于点Ca2a-b,-aba-b.∵BC+2BA=0,∴AC=3AB,∴a2a-b-a=3a2a+b-a,∴b=2a,∴双曲线E的渐近线方程为y=±2x.11.B　[解析]因为直线x-2y+1=0与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,所以M(1,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=12,y1+y2x1+x2=1,将点A,B的坐标代入双曲线的方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减,整理得1a2-1b2·y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=0,可得b2a2=12,所以a=2b,c=3b,双曲线的离心率为ca=32=62,故选B.12.1+2　[解析]抛物线y2=4cx的焦点与双曲线的右焦点F2(c,0)相同,抛物线y2=4cx的准线方程为x=-c,∵|PF2|=|F1F2|,结合抛物线的定义可知,P(c,2c),∵点P在双曲线上,∴c2a2-4c2b2=1,∴e2-4e2e2-1=1,∴e4-6e2+1=0,又∵e>1,∴e=1+2.n13.解:(1)由渐近线方程可知,双曲线C的方程为x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入可得k=4,所以双曲线C的方程为x24-y2=1.(2)分析可知,当|MN|取到最小值时,点P在双曲线的右支上.由题可得A1(-2,0),A2(2,0),根据双曲线方程可得yx-2·yx+2=14,根据双曲线的对称性,不妨设点P在第一象限,设直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2(k1,k2>0),可得k1k2=14.直线PA1的方程为y=k1(x+2),令x=1,得y=3k1,即M(1,3k1),直线PA2的方程为y=k2(x-2),令x=1,得y=-k2,即N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k2=3,当且仅当3k1=k2,即k1=36,k2=32时等号成立,所以|MN|的最小值为3.14.解:(1)由题可知ba=255,①S△AF1F2=12×2c·b=6,②又a2+b2=c2,③由①②③可得a2=5,b2=4,所以双曲线C的标准方程是x25-y24=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与x25-y24=1联立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得4-5k2≠0,m2-5k2+4>0,④所以x1+x2=10km4-5k2,x1·x2=-5m2+204-5k2,x0=x1+x22=5km4-5k2,y0=kx0+m=4m4-5k2.由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,又A(0,2),所以kAD=y0-2x0=4m4-5k2-25km4-5k2=-1k,化简得10k2=8-9m.⑤将⑤代入④,解得m<-92或m>0,又由10k2=8-9m>0,得m<89.n综上,实数m的取值范围是-∞,-92∪0,89.15.C　[解析]设双曲线Γ1的半焦距为c.由cos∠F1MN=cos∠F1F2M,可得∠F1MN=∠F1F2M,∴|MF1|=|F1F2|=2c,由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a.∵椭圆Γ2:x23+y24=1的离心率e=4-32=12,∴|F1M||F1N|=e=12,∴|NF1|=4c,|NF2|=4c-2a.在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2M=4c2+(2c-2a)2-4c22·2c·(2c-2a)=c-a2c,在△NF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2N=4c2+(4c-2a)2-16c22·2c·(4c-2a)=a2+c2-4ac2c(2c-a),∵∠F1F2M+∠F1F2N=180°,∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0,即c-a2c+a2+c2-4ac2c(2c-a)=0,整理得2a2+3c2-7ac=0,设双曲线的离心率为e1,则3e12-7e1+2=0,解得e1=2或e1=13(舍去),∴a2+b2a2=4,∴3a2=b2,即ba=3,∴双曲线的渐近线方程为y=±3x,∴双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°,120°.故选C.16.A　[解析]由题意知双曲线的方程为x24-y25=1.由PF1·MF1|PF1|=F2F1·MF1|F2F1|,可得MF1在PF1与F2F1方向上的投影长度相等,过点M作MA⊥F1F2交F1F2于A,过点M作MB⊥F1P,交F1P于B,则|F1A|=|F1B|,∠MF1A=∠MF1B,tan∠MF1A=|MA||F1A|=15,∴tan∠PF1A=2tan∠MF1A1-tan2∠MF1A=251-125=512,∴直线PF1的方程为y=512(x+3),即5x-12y+15=0.由5x-12y+15=0,x24-y25=1得x=-6331,y=2562或x=3,y=52,又点P在第一象限,∴P3,52,又F2(3,0),∴PF2⊥x轴,过点M作MG⊥PF2交PF2于G,则|MG|=1,又|MB|=|MA|=1,∴S△PMF1-S△PMF2=12(|PF1|-|PF2|)×1=12×4×1=2.故选A.n