2020版高考数学复习第三单元第21讲简单的三角恒等变换练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第三单元第21讲简单的三角恒等变换练习文（含解析）新人教a版

第21讲　简单的三角恒等变换1.若cosπ2-α=23,则cos(π-2α)=(　　)A.29B.59C.-29D.-592.已知sinθ-π4=33,则sin2θ=(　　)A.13B.-23C.255D.-2333.设函数f(x)=sinx+π4+cosx-π4,则(　　)A.f(x)=-fx+π2B.f(x)=f-x+π2C.f(x)fx+π2=1D.f(x)=-f-x+π24.[2018·宿州一模]若sinπ6-α=14,则cos2α-π3的值为　　　　. 5.(1+3tan10°)cos40°=　　　　. 6.已知α∈0,π2∪π2,π,且sinα,sin2α,sin4α成等比数列,则α的值为(　　)A.π6B.π3C.2π3D.3π4n7.[2018·贵州联考]已知sinα-2cosα=102,则tan2α=(　　)A.43B.-34C.34D.-438.[2018·唐山期末]已知cos36°cos72°=14,由此可算得cos36°=(　　)A.5+14B.5-12C.3+14D.3+249.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=22·(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是(　　)A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b10.定义运算a　bc　d=ad-bc.若cosα=17,sinα　sinβcosα　cosβ=3314,0<β<α<π2,则β等于(　　)A.π12B.π6C.π4D.π311.已知sinα=35,α∈π2,π,则cos2α2sinα+π4=　　　　. 12.函数f(x)=3sin23x-2sin213xπ2≤x≤3π4的最小值是　　　　. 13.[2018·四川宜宾期中]已知函数f(x)=cosx-π3-sinπ2-x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈0,π2,且fα+π6=35,求f(2α)的值.n14.[2018·湖南衡阳联考]已知函数f(x)=sin54π-x-cosπ4+x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)已知cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,0<α<β≤π2,求f(β)的值.15.若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=　　　　. 16.在函数y=sin3x+π3cosx-π6-cos3x+π3cosx+π3的图像的对称轴方程中,在y轴左侧,且最靠近y轴的对称轴方程是　　　　. n课时作业(二十一)1.D　[解析]由cosπ2-α=23得sinα=23,所以cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-1-2×29=-59,故选D.2.A　[解析]∵sinθ-π4=33,∴22(sinθ-cosθ)=33,解得sinθ-cosθ=63,两边同时平方可得1-sin2θ=23,∴sin2θ=13.故选A.3.B　[解析]f(x)=sinx+π4+cosx-π4=sinxcosπ4+cosxsinπ4+cosxcosπ4+sinxsinπ4=2(sinx+cosx)=2sinx+π4,∴fx+π2=2sinx+π2+π4=2cosx+π4≠-f(x),A错误.f-x+π2=2sin-x+π2+π4=2sinπ--x+3π4=2sinx+π4=f(x),B正确.同理,C,D错误.故选B.4.78　[解析]∵sinπ6-α=14,∴sinα-π6=-14,cos2α-π3=cos2α-π6=1-2sin2α-π6=1-2×116=78.5.1　[解析](1+3tan10°)cos40°=1+3sin10°cos10°cos40°=3sin10°+cos10°cos10°·cos40°=2sin(10°+30°)cos10°·cos40°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=1.6.C　[解析]∵sinα,sin2α,sin4α成等比数列,∴sin22α=sinαsin4α,∴2sin2αsinα(cosα-cos2α)=0,∵α∈0,π2∪π2,π,∴2α∈(0,π)∪(π,2π),∴sin2α≠0,sinα≠0且sinα≠1,cosα≠1且cosα≠0,∴cosα-cos2α=0,∴2cos2α-cosα-1=0,即(2cosα+1)(cosα-1)=0,解得cosα=-12,cosα=1(舍去),∴α=2π3.故选C.7.C　[解析]∵sinα-2cosα=102,∴sin2α-4sinα·cosα+4cos2α=52,化简得4sin2α=3cos2α,∴tan2α=sin2αcos2α=34,故选C.8.A　[解析]设cos36°=x,则cos36°cos72°=x(2x2-1)=14,即(2x+1)(4x2-2x-1)=0,解得x=-12或x=1±54,显然x>0,所以x=5+14,故选A.9.D　[解析]由三角恒等变换公式,可得a=cos50°cos127°+cos40°cos37°=cos50°cos127°+sin50°sin127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos77°=sin13°,b=22(sin56°-cos56°)=22sin56°-22ncos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=1-sin239°cos239°1+sin239°cos239°=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.因为函数y=sinx,x∈[0°,90°]为增函数,所以sin13°>sin12°>sin11°,所以a>c>b,故选D.10.D　[解析]由题设得sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=3314.∵0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1314.又∵cosα=17,∴sinα=437.故sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-17×3314=32,∴β=π3.11.-75　[解析]cos2α2sin(α+π4)=cos2α-sin2α2(22sinα+22cosα)=cosα-sinα.∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=-45,∴原式=-75.12.3-1　[解析]f(x)=3sin23x-1-cos23x=2sin23x+π6-1,∵π2≤x≤3π4,∴π2≤23x+π6≤2π3,∴f(x)min=f34π=2sin2π3-1=3-1.13.解:(1)f(x)=12cosx+32sinx-cosx=32sinx-12cosx=sinx-π6,∴函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)=sinx-π6,∴fα+π6=sinα+π6-π6=sinα=35.∵α∈0,π2,∴cosα=1-sin2α=1-(35) 2=45,∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425,cos2α=2cos2α-1=2×452-1=725,∴f(2α)=sin2α-π6=32sin2α-12cos2α=32×2425-12×725=243-750.14.解:(1)f(x)=sin54π-x-cosπ4+x=sinx-π4-sinπ2-π4+x=2sinx-π4,由-π2+2kπ≤x-π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z,n故函数f(x)的单调递增区间为-π4+2kπ,3π4+2kπ(k∈Z).(2)方法一:∵cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,且0<α<β≤π2,∴sin(α-β)=-45,sin(α+β)=45.从而cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-925-1625=-1,故cosβ=0,∵0<β≤π2,∴β=π2,∴f(β)=2sinπ4=2.方法二:∵cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,∴cosαcosβ+sinαsinβ=35,①cosαcosβ-sinαsinβ=-35.②由①+②可得cosαcosβ=0,又0<α<β≤π2,∴cosβ=0,∴β=π2,∴f(β)=fπ2=2sinπ2-π4=2.15.3　[解析]cos(α-3π10)sin(α-π5)=sin(α-3π10+π2)sin(α-π5)=sin(α+π5)sin(α-π5)=sinαcosπ5+cosαsinπ5sinαcosπ5-cosαsinπ5=sinαcosαcosπ5+sinπ5sinαcosαcosπ5-sinπ5=2tanπ5cosπ5+sinπ52tanπ5cosπ5-sinπ5=3sinπ5sinπ5=3.16.x=-π6　[解析]y=sin3x+π3cosx-π6-cos3x+π3cosx+π3=sin3x+π3cosx-π6+cos3x+π3sinx-π6=sin3x+π3+x-π6=sin4x+π6,则由4x+π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ4+π12(k∈Z).当k=-1时,直线x=-π6在y轴左侧,且最靠近y轴.