2020版高考数学复习第三单元第22讲正弦定理和余弦定理练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第三单元第22讲正弦定理和余弦定理练习文（含解析）新人教a版

第22讲　正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,C=π3,S△ABC=23,则b=(　　)A.3B.2C.23D.42.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形(　　)A.无解B.有两个解C.有一个解D.解的个数不确定3.[2018·北京石景山区一模]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积为(　　)A.43B.4C.23D.224.[2018·北京丰台区一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则cosC=　　　　. 5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2A+cos2B+2sinAsinB=1+cos2C,则角C=　　　　. 6.[2018·承德模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=6,cosC=23,则a=(　　)A.3　B.4　C.5　D.67.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=3,那么△ABC外接圆的半径为(　　)A.2　B.4　C.2　D.18.[2018·南昌质检]在△ABC中,tanA是以-2为第3项,6为第7项的等差数列的公差;tanB是以19为第2项,27为第7项的等比数列的公比.则△ABC是(　　)A.钝角三角形B.锐角三角形　　C.等腰直角三角形D.以上都不对9.[2018·咸阳二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,a=22,则△ABC面积的最大值为(　　)A.2B.23C.6D.310.[2018·合肥三模]若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin(C-A)=12nsinB,b=4,则c2-a2=(　　)A.10　B.8　C.7　D.411.[2018·石家庄质检]如图K22-1所示,平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部,AB=1,BC=2,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为　　　　. 图K22-1图K22-212.[2018·北京朝阳区期末]如图K22-2所示,一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为α和90°-α.后退lm至点P2处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,P1,P2三点在同一条水平线上,则塔CB的高为　　　　m;旗杆BA的高为　　　　m.(用含有α的式子表示) 13.[2018·唐山二模]如图K22-3所示,在平面四边形ABCD中,AB=23,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.图K22-314.[2018·合肥一模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a-2b)cosC+ccosA=0.(1)求C的值;(2)若c=23,求△ABC的周长的最大值.n15.[2018·宁德一检]如图K22-4所示,岛A,C相距107海里.上午9点整有一艘客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处,客轮沿直线方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午9:30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C103海里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为V海里/时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.(1)若V∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得cos∠BAC=-45,sin∠ACB=55.已知速度为V海里/时(V∈(0,30])的小艇每小时的总费用为12V2+V+50元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少需要多少费用?图K22-4课时作业(二十二)1.D　[解析]S△ABC=23=12absinC=12×2×b×32,解得b=4.故选D.2.B　[解析]∵asinA=bsinB,∴sinB=basinA=2418sin45°,∴sinB=223.又aA=45°,∴B有两个值,即三角形有两个解.n3.C　[解析]∵△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,由正弦定理得BCsinA=ACsinB,∴23sin60°=4sinB,解得sinB=1,∴B=90°,C=30°,∴△ABC的面积为12×23×4×sin30°=23,故选C.4.-14　[解析]在△ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,故3a=2b,∴b=3,则cosC=a2+b2-c22ab=-14.5.60°　[解析]由已知得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinAsinB=1+1-2sin2C,由正弦定理得ab=a2+b2-c2,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,所以C=60°.6.A　[解析]由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab,即23=a2+1-62a,整理可得(a-3)(3a+5)=0,结合a>0可得a=3.7.D　[解析]因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.又a=3,由正弦定理可得△ABC的外接圆半径R=12×asinA=12×332=1,故选D.8.B　[解析]设题中等差数列为{an},则a3=-2,a7=6,可得公差d=2,即tanA=2;设题中等比数列为{bn},则b2=19,b7=27,可得公比q=3,即tanB=3.故tanC=-tan(A+B)=1,所以A,B,C都是锐角.故选B.9.B　[解析]在△ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即8=b2+c2-2bccosπ3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤8,当且仅当b=c时,等号成立,所以△ABC的面积S=12bcsinA≤12×8×sinπ3=23,故选B.10.B　[解析]sin(C-A)=12sinB=12sin(A+C),即2sinCcosA-2cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC,即sinCcosA=3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理得c·b2+c2-a22bc=3a·a2+b2-c22ab,即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2,即4c2-4a2=2b2=2×16=32,则c2-a2=8,故选B.11.3　[解析]设∠ABC=α,∠ACB=β,在△ABC中,由余弦定理可得AC2=3-22cosα,由正弦定理可得sinβ=sinα3-22cosα.在△BCD中,由余弦定理可得BD2=2+3-22cosα-2×2×3-22cosα×cos(90°+β)=5-22cosα+22sinα=5+4sin(α-45°),当α=135°时,BD2有最大值9,则BD的最大值为3.12.(1)lsinα　(2)lcos2αsinα　[解析]设BC=xm.在Rt△BCP1中,∠BP1C=α,在Rt△P2BC中,∠P2=α2.∵∠BP1C=∠P1BP2+∠P2,∴∠P1BP2=α2,即△P1BP2n为等腰三角形,P1P2=P1B=lm,∴BC=lsinαm.在Rt△ACP1中,ACCP1=AClcosα=tan(90°-α),∴AC=lcos2αsinαm,则AB=AC-BC=lcos2αsinα-lsinα=l(cos2α-sin2α)sinα=lcos2αsinα(m).13.解:(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=23,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(23)2+12-2×23×1×-32=19,∴BD=19.(2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ.在△ABD中,由正弦定理可知,ADsin∠ABD=ABsin∠ADB,即2cosθsin(60°-θ)=43,即2cosθ32cosθ-12cosθ=43,即232-12tanθ=43,则tanθ=233.14.解:(1)根据正弦定理,由已知得(sinA-2sinB)cosC+sinCcosA=0,即sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC,∴sin(A+C)=2sinBcosC,∵A+C=π-B,∴sin(A+C)=sin(π-B)=sinB>0,∴sinB=2sinBcosC,从而cosC=12.∵C∈(0,π),∴C=π3.(2)由(1)和余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12,即a2+b2-12=ab,∴(a+b)2-12=3ab≤3a+b22,即(a+b)2≤48(当且仅当a=b=23时等号成立),∴a+b≤43.则△ABC周长的最大值为43+c=63.15.解:(1)根据题意得,CD=10,CE=103,AC=107,∠DCE=70°-40°=30°.在△CDE中,由余弦定理得,DE=CD2+CE2-2CD·CE·cos∠DCE=102+(103)2-2×10×103×32=10,所以客轮的航行速度V1=10×2=20(海里/时).因为CD=DE,所以∠DEC=∠DCE=30°,所以∠AEC=180°-30°=150°.在△ACE中,由余弦定理得,AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC,整理得AE2+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(舍去).所以客轮从E处到岛A所用的时间t1=1020=12(小时),n小张到岛A所用的时间至少为t2=10730=73(小时).由于t2>t1+16,所以若小张上午9:30出发,则无法乘上这班客轮.(2)在△ABC中,cos∠BAC=-45,sin∠ACB=55,所以∠ACB为锐角,sin∠BAC=35,cos∠ACB=255,所以sinB=sin[180°-(∠BAC+∠ACB)]=sin(∠BAC+∠ACB)=sin∠BACcos∠ACB+cos∠BACsin∠ACB=35×255-45×55=2525.由正弦定理得,BCsin∠BAC=ACsinB,所以BC=107×352525=1535,所以小张由岛C直接乘小艇去B市的总费用为f(V)=1535V12V2+V+50=153512V+1+50V≥16535(V∈(0,30]),当且仅当12V=50V,即V=10时,f(V)min=16535(元).所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需要16535元.