2019年高中数学第二章数列2.4等比数列（第2课时）等比数列的性质及应用巩固提升

2019年高中数学第二章数列2.4等比数列（第2课时）等比数列的性质及应用巩固提升

第2课时等比数列的性质及应用[学生用书P107(单独成册)][A　基础达标]1．已知等比数列{an}的公比q为正数，且2a3＋a4＝a5，则q的值为(　　)A．－1　　　　　　　　　B.2C．－1或2D．3解析：选B.由已知得2a3＋a3q＝a3q2，整理得2＋q＝q2，解得q＝2或q＝－1.又因为q>0，所以q＝2.2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列解析：选C.当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．3．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于(　　)A．38B.39C．9D．7解析：选C.因为a4a8＝a5a7，a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9.4．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于　(　　)A．－B.－3C.D．3解析：选B.因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，所以＝＝－3.5．已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的是(　　)A．|q|<1nB．a1>0，q<1C．a1>0，01D．q>1解析：选C.因为{an}为递减数列，所以an－an－1＝a1qn－2·(q－1)<0(n≥2，n∈N*)，若a1>0，则01.故选C.6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________．解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.答案：3×2n－37．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________．解析：因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)＝a4a2＋2a4a4＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝π2.答案：π28．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，则an＝________．解析：因为数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4，3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan＋1＝2n，解得an＝.答案：9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：因为a1a5＝a，a3a7＝a，所以由题意，得a－2a3a5＋a＝36，同理得a＋2a3a5＋a＝100，所以因为an>0，所以解得或n分别解得或所以an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.10．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数．解：按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2.由已知条件知2(aq＋4)＝a＋aq2.①又a，aq＋4，aq2＋32成等比数列，则(aq＋4)2＝a(aq2＋32)⇒aq＋2＝4a.②联立①②两式，解得或所以这三个数分别为2，6，18或，－，.[B　能力提升]11．计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低，则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为(　　)A．300元B.900元C．2400元D．3600元解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为8100×＝2400(元)．12．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．解析：因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，所以解得a1＝16，q＝，所以an＝16×＝25－n，n所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2，所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1024.答案：102413．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又因为a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.解得d1＝2，d2＝－10.因为等差数列{bn}的各项为正数，所以d＞0，所以d＝2.Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.14．(选做题)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解：(1)设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝或(舍去)，所以an＝8×＝24－n.n(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．