2020版高考数学复习第五单元专题探究4数列的综合问题练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第五单元专题探究4数列的综合问题练习文（含解析）新人教a版

专题探究4　数列的综合问题1.[2018·南昌模拟]已知数列{an}为等比数列,a1=2,且a5是a3与a7的等差中项,则a1008的值为(　　)A.1或-1B.1C.2或-2D.22.[2018·厦门外国语学校月考]已知公差不为0的等差数列{an}满足a32=a1·a4,Sn为数列{an}的前n项和,则S3-S2S5-S3的值为(　　)A.-2B.-3C.2D.33.[2018·鄂尔多斯一中模拟]如图Z4-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3……以此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=(　　)图Z4-1A.12B.1C.18D.144.[2018·成都模拟]设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=-18,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的前4项和为　　　　. 5.[2018·合肥模拟]已知数列{an}中,an=2n-1(n∈N*),则1a1a2+1a2a3+…+1a9a10=　　　　. 6.[2018·安徽师大附中模拟]已知各项均为正数的数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1·Sn=2SnSn-1(n∈N*且n≥2),则a81=(　　)A.641B.640C.639D.6387.[2018·信阳高级中学模拟]已知直线x+2y+5=0与直线x-dy+115=0互相平行且距离为m.若等差数列{an}的公差为d,且a7·a8=35,a4+a10<0,令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则Sm的值为(　　)A.60B.52C.44D.36n8.[2018·重庆模拟]已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1)·cosnπ2+1(n∈N*),其前n项和为Sn,则S60=(　　)A.-30B.-60C.90D.1209.[2018·吉安三校联考]设Sn为等比数列{an}的前n项和,且关于x的方程a1x2-a3x+a2=0有两个相等的实根,则S9S3=(　　)A.27B.21C.14D.510.对于函数y=f(x),x与y的部分对应关系如下表:x123456789y375961824数列{xn}满足x1=1,且对于任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图像上,则x1+x2+…+x2015=(　　)A.7554B.7549C.7546D.753911.[2018·佛山三水区实验中学月考]在等差数列{an}中,前10项和S10=120,则a3+a8的值是　　　　. 12.[2018·安徽师大附中模拟]给出下面四个结论:①若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),则{an}为等差数列;②若数列{an}是常数列,数列{bn}是等比数列,则数列{an·bn}是等比数列;③在等差数列{an}中,若公差d<0,则此数列是递减数列;④在等比数列中,各项与公比都不能为0.其中正确的结论为　　　　(填序号). 13.[2018·河南豫南豫北二联]已知数列{an}是首项a1=1的等比数列,且an>0,{bn}是首项为1的等差数列,a5+b3=21,a3+b5=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列bn2an的前n项和Sn.14.[2018·上海浦东新区三模]已知各项都不为零的无穷数列{an}满足an+1an+an+1-an=0.(1)证明1an为等差数列,并求当a1=1时,数列{an}中的最大项;(2)若a2018为数列{an}中的最小项,求a1的取值范围.15.[2018·株洲二模]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足anan+1=2Sn,数列{bn}满足nb1=15,bn+1-bn=2n,则数列bnan中第　　　　项最小. 16.[2018·龙岩模拟]数列{an}是首项a1≠0,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,若存在非零实数t,使得对任意n∈N*都有Sn=an+(n-1)t·an恒成立,则t的值为　　　　. 专题集训(四)1.C　[解析]由2a5=a3+a7⇒q4-2q2+1=0⇒q=±1,所以a1008=a1·q1007=±2,故选C.2.C　[解析]∵a32=a1·a4,∴(a1+2d)2=a1(a1+3d),又d≠0,∴a1=-4d,则S3-S2S5-S3=a3a5+a4=a1+2d2a1+7d=-4d+2d-8d+7d=2.故选C.3.D　[解析]由题意得,a1=BA=2,a2=AA1=2,a3=A1A2=1,即数列{an}为等比数列,且首项为2,公比为22,则a7=2×226=14.4.58　[解析]设等比数列{an}的公比为q(q≠1),由a1a2a3=-18,得a23=-18,解得a2=-12,则a3=-12q,a4=-12q2.因为a2,a4,a3成等差数列,所以2a4=a2+a3,解得q=-12(q=1舍去),所以a1=1,所以数列{an}的前4项和S4=58.5.919　[解析]由an=2n-1,得1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12×12n-1-12n+1,所以1a1a2+1a2a3+…+1a9a10=12×1-13+13-15+…+117-119=919.6.B　[解析]因为SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1,所以Sn-Sn-1=2,即{Sn}为等差数列,且首项为1,公差为2,所以Sn=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640,故选B.7.B　[解析]由两直线平行得d=-2,由两平行直线间的距离公式得m=|115-5|1+22=10.∵a7·(a7-2)=35,∴a7=-5或a7=7.又∵a4+a10=2a7<0,∴a7=-5,∴an=-2n+9,∴Sm=S10=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|-1|+|-3|+|-5|+|-7|+|-9|+|-11|=52.故选B.8.D　[解析]因为a4m+1+a4m+2+a4m+3+a4m+4=1-(8m+3)+1+1+(8m+7)+1=8(m∈N),所以S60=15×8=120,故选D.9.B　[解析]根据题意,关于x的方程a1x2-a3x+a2=0有两个相等的实根,则有(a3)2-4a1a2=0,n可得q4-4q=0,即q3=4,则S9S3=a1(1-q9)1-qa1(1-q3)1-q=1-q91-q3=1-431-4=21.故选B.10.A　[解析]由题意可知,f(1)=3,f(3)=5,f(5)=6,f(6)=1,f(1)=3,…,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图像上,则x1=1,x2=3,x3=5,x4=6,x5=1=x1,…,则数列{xn}是周期为4的周期数列.由于2015=4×503+3,且x1+x2+x3+x4=15,故x1+x2+…+x2015=503×15+(1+3+5)=7554.故选A.11.24　[解析]∵S10=10(a1+a10)2=5(a3+a8)=120,∴a3+a8=24.12.③④　[解析]因为等差数列前n项和公式中常数项为零,即Sn=an2+bn+c中c=0,所以①错误;因为等比数列中各项均不为零,所以若数列{an}是各项均为零的常数列,则{an·bn}不是等比数列,②错误;易知③④正确.故正确的结论为③④.13.解:(1)设数列{an}的公比为q,{bn}的公差为d,则由已知条件得q4+1+2d=21,q2+1+4d=13,解得d=2,q=2或d=2,q=-2(舍去),∴an=2n-1,bn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)知bn2an=2n-12n,∴Sn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n①,∴12Sn=122+323+…+2n-32n+2n-12n+1②,①-②得12Sn=12+222+223+…+22n-2n-12n+1=12+12+122+…+12n-1-2n-12n+1=12+121-12n-11-12-2n-12n+1=12+1-12n-1-2n-12n+1,∴Sn=3-2n+32n.14.解:(1)由an+1an+an+1-an=0,得an-an+1=an+1an,即1an+1-1an=1,∴1an是等差数列,且公差d=1.当a1=1时,1an=1a1+(n-1)=n,∴an=1n,则数列{an}为递减数列,∴最大项为a1=1.(2)由(1)知1an=1a1+n-1.当1a1>0时,数列1an是正项递增数列,此数列没有最大项,从而数列{an}中就没有最小项,故1a1<0.∵数列1an是递增数列,且a2018是数列{an}中的最小项,n∴1a2018是数列1an中的最大负项,从而有1a2018<0,即1a1+2017<0,∴-120170,即1a1+2018>0,∴a1<-12018,∴a1的取值范围是-12017,-12018.15.4　[解析]当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,∵an≠0,∴an+1-an-1=2;当n=1时,a1a2=2a1,解得a2=2.∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a1=1,a2=2,进而得到数列{an}为等差数列,其首项为1,公差为1,∴an=1+n-1=n.∵数列{bn}满足b1=15,bn+1-bn=2n,∴当n≥2时,bn=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+15=2×(n-1)n2+15=n(n-1)+15,当n=1时,上式也成立,∴bn=n(n-1)+15,∴bnan=n-1+15n≥215-1(当且仅当n=15时取等号),又n∈N*,且b4a4=3+154,b3a3=7,则数列bnan中第4项最小.16.1或12　[解析]当n=1时,Sn=an+(n-1)t·an恒成立.当n≥2时,当数列{an}的公差d=0时,Sn=an+(n-1)t·an,即na1=a1+(n-1)t·a1,即(n-1)a1=(n-1)·t·a1,则t=1;当数列{an}的公差d≠0时,由Sn=an+(n-1)t·an,得Sn-1=an-1+(n-2)t·an-1,两式作差可得an=an-an-1+(n-1)t·an-(n-2)t·an-1,整理可得(n-1)·t·(an-an-1)=(1-t)an-1,即an-1=(n-1)·t1-td,①则an=n·t1-td,②②-①可得an-an-1=t1-td=d,由于d≠0,故t1-t=1,则t=12.综上可得,t的值为1或12.