2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系检测试题（含解析）新人教a版

2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系检测试题（含解析）新人教a版

第二章　点、直线、平面之间的位置关系　检测试题(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.设有直线m,n和平面α,β.下列四个命题中,正确的是(　D　)(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β(C)若α⊥β,m⊂α,则m⊥β(D)若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α解析:A中,m与n可能平行、异面或相交,错误;B中,当m与n相交,才能得出α∥β成立,错误;C中,m与β可能平行,也可能相交不垂直,也可能垂直,错误;D正确.2.下列说法中正确的是(　C　)(A)经过不同的三点有且只有一个平面(B)没有公共点的两条直线一定平行(C)垂直于同一平面的两直线是平行直线(D)垂直于同一平面的两平面是平行平面解析:如果三个点在一条直线上,则有无数个平面,A不正确;没有公共点的两条直线可能平行,也可能异面,B不正确;C正确;垂直于同一平面的两平面可能是平行平面,也可能是相交平面,D不正确.3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　D　)(A)(B)(C)(D)解析:如图,BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.在三棱锥DACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角.设正方体的棱长为a,n则cos∠DD1H==.4.下列命题正确的是(　C　)(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:对于A,两条直线的位置关系不能确定,故错;对于B,两个平面不一定平行,故错;对于C,设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故正确;对于D,这两个平面平行或相交,故错.5.从空间一点P向二面角αlβ的两个面作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小为(　C　)(A)60°(B)120°(C)60°或120°(D)不确定解析:若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°,若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.6.设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列四个论断:①m∥n;②α∥β;③m⊥α;④n⊥β.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,则一共可以写出真命题的个数为(　D　)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:易知②③④⇒①,①②③⇒④,①②④⇒③,①③④⇒②均为真命题.7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等于(　A　)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:如图,取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,其余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.故选A.8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2n,则侧面与底面所成的二面角为(　C　)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:如图,在正四棱锥SABCD中,SO⊥底面ABCD,E是BC边中点,则∠SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tan∠SEO=,所以∠SEO=60°,故选C.9.已知空间两直线a,b和两平面α,β,下列命题一定成立的是(　D　)(A)若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b⊥β(B)若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b∥β(C)若α⊥β,a∥α,b∥β,则a⊥b(D)若α∥β,a⊥α,b⊂β,则a⊥b解析:对于A,B,若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b,β的位置关系不确定;不正确.对于C,若α⊥β,a∥α,b∥β,则a,b的位置关系不确定;对于D,正确.10.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(　D　)(A)PB⊥AD(B)平面PAB⊥平面PBC(C)直线BC∥平面PAE(D)直线PD与平面ABC所成的角为45°解析:A,B,C显然错误.因为PA⊥平面ABC,所以∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形,所以AD=2AB.因为tan∠ADP===1,所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的面数是　　　　,体积是　　　　. n解析:该几何体是一个四棱锥,有5个面.其底面是一个两底分别为2和4,一直角腰为2的直角梯形,顶点在底面的射影恰好在底面直角梯形的一个直角顶点上.高为2,则该几何体的体积为××2×2=4.答案:5　412.如图,在四面体ABCD中,BC=CD,AD⊥BD,E,F分别为AB,BD的中点,则BD与平面CEF的位置关系是　　　　,EF与平面ADC的位置关系为　　　　. 解析:因为E,F分别为AB,BD的中点,所以EF∥AD.又AD⊥BD,所以EF⊥BD.又BC=CD,F为BD的中点,所以CF⊥BD,又EF∩CF=F,所以BD⊥平面CEF.由E,F分别为AB1,BD中点,则EF∥AD,又EF⊄平面ADC,AD⊂平面ADC,所以EF∥平面ADC.答案:垂直　平行13.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有　　　　;与AP垂直的直线有　　　　. 解析:因为PC⊥平面ABC,所以PC垂直于直线AB,BC,AC.因为AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.答案:AB,BC,AC　AB14.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(填上你认为正确的一种情况即可) n解析:底面四边形ABCD各边都相等,所以四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,即有PC⊥BD.故要使平面MBD⊥平面PCD,只需BM⊥PC或DM⊥PC即可.答案:BM⊥PC(答案不唯一)15.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=　　　　时,CF⊥平面B1DF. 解析:由题意可得B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x,由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,解得x=a或x=2a.答案:a或2a16.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是　　　　cm2,体积是　　　　cm3. n解析:几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32,由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2(2×2)=72.答案:72　3217.设直线l⊂平面α,过平面α外一点A且与l,α都成30°角的直线有　　　　条. 解析:如图所示,和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC=∠ACB=30°且BC∥l时,直线AC,AB都满足条件,故有2条.答案:2三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)如图所示,圆柱O1O中,母线AB与底面垂直,BC是☉O的直径,点D是☉O的圆周上异于B,C的点.(1)求证:平面ABD⊥平面ADC;(2)若BD=2,CD=4,AC=6,求圆柱O1O的表面积.(1)证明:由已知可知AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.因为点D是☉O的圆周上异于B,C的点,BC是☉O的直径,所以∠BDC是直角,即BD⊥CD.又因为AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,AB∩BD=B,所以CD⊥平面ABD.因为CD⊂平面ADC,所以平面ABD⊥平面ADC.(2)解:在Rt△BCD中,BD=2,CD=4,∠BDC=90°,BC===2.由(1)知AB⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AB⊥BC,即∠ABC=90°,所以AB===4.所以圆柱O1O的表面积为S表=S侧+2S底=2π··AB+2π·()2=(8+10)π.19.(本小题满分15分)n在四棱锥EABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.(1)求证:DE∥平面ACF;(2)求证:BD⊥AE;(3)若AB=CE=2,求三棱锥FABC的体积.(1)证明:连接OF.由四边形ABCD是正方形可知,点O为BD中点.又F为BE的中点,所以OF∥DE.又OF⊂平面ACF,DE⊄平面ACF,所以DE∥平面ACF.(2)证明:由EC⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以EC⊥BD,由四边形ABCD是正方形可知AC⊥BD,又AC∩EC=C,所以BD⊥平面ACE,又AE⊂平面ACE,所以BD⊥AE.(3)解:取BC中点G,连接FG,在四棱锥EABCD中,EC⊥底面ABCD,因为FG是△BCE的中位线,所以FG⊥底面ABCD,因为AB=CE=2,所以FG=EC=,所以三棱锥FABC的体积V=×S△ABC×FG=××4×=.20.(本小题满分15分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,BB1,B1C1的中点.(1)求证:A1D⊥FG;(2)求二面角A1DEA的正切值.(1)证明:如图,连接B1C,BC1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为F,G分别为BB1,B1C1的中点,所以FG∥BC1,又因为A1D∥B1C,B1C⊥BC1,n所以A1D⊥FG.(2)解:过A作AH⊥ED于H,连接A1H,因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,所以A1A⊥ED,因为AH⊥ED,A1A∩AH=A,所以ED⊥平面A1AH,所以ED⊥A1H,所以∠AHA1是二面角ADEA1的平面角,因为正方体的棱长为2,E为AB的中点,所以AE=1,AD=2,所以在Rt△EAD中,AH===,所以在Rt△A1AH中,tan∠AHA1===.所以二面角A1DEA的正切值为.21.(本小题满分15分)如图所示,正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.解:(1)取AD中点M,连接MO,PM,依条件可知AD⊥MO,AD⊥PO,则∠PMO为所求二面角PADO的平面角.因为PO⊥平面ABCD,所以∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.n所以tan∠PAO=.设AB=a,AO=a,所以PO=AO·tan∠PAO=a,tan∠PMO==.所以∠PMO=60°.(2)连接AE,OE,因为OE∥PD,所以∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.因为AO⊥BD,AO⊥PO,所以AO⊥平面PBD.又OE⊂平面PBD,所以AO⊥OE.因为OE=PD==a,所以tan∠AEO==.(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG,MG.因为BC⊥MN,BC⊥PN,所以BC⊥平面PMN.所以平面PMN⊥平面PBC.又PM=PN,∠PMN=60°,所以△PMN为正三角形.所以MG⊥PN.又平面PMN∩平面PBC=PN,所以MG⊥平面PBC.取AM中点F,因为EG∥MF,所以MF=MA=EG,所以EF∥MG.所以EF⊥平面PBC.n点F为AD的四等分点.22.(本小题满分15分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形CDEF是正方形,AB∥CD,CD=2AB,G为DE的中点.(1)求证:BG∥平面ADF;(2)若CD=2,AB⊥BD,BD=BE,∠DBE=90°,求三棱锥ABDF的体积.(1)证明:设CE与DF的交点为H,则点H为CE的中点,连接HG,AH.在△CDE中,G为DE的中点,H为CE的中点,所以HG∥CD,且CD=2HG.又因为AB∥CD,CD=2AB,所以AB∥HG,且AB=HG,所以四边形AHGB是平行四边形,所以BG∥AH.因为AH⊂平面ADF,BG⊄平面ADF,所以BG∥平面ADF.(2)解:因为AB⊥BD,BD⊥BE,AB,BE⊂平面AFEB,AB∩BE=B,所以BD⊥平面AFEB.在正方形CDEF中,CD⊥DE,AB∥CD,所以AB⊥DE.又因为AB⊥BD,BD,BE⊂平面BDE,BD∩BE=B,所以AB⊥平面BDE,所以AB⊥BE.在Rt△BDE中,∠DBE=90°,BD=BE,DE=CD=2,所以BD=BE=.因为CD=2AB,CD=2,所以AB=1,所以三棱锥ABDF的体积==S△ABF·DB=×AB·BE·DBn=××1××=.