2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和（第2课时）数列求和巩固提升

2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和（第2课时）数列求和巩固提升

第2课时数列求和[A　基础达标]1．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)A．2　　　　　　　　　　B．－2C.D．－解析：选D.因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1－1，4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－.2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　)A．11　　　　　　　　　　B．99C．120D．121解析：选C.因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令－1＝10，得n＝120.3．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)A.B.C.D.解析：选B.依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝(　　)nA．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解析：选D.因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)A．990B．1000C．1100D．99解析：选A.当n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；当n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.答案：2n－1－7．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：1008．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列的前n项和Tn＝________．解析：令bn＝，由数列的递推公式，可得＝，且b1＝＝1，则bn＝b1××××…×＝1××××…×＝，所以Tn＝1＋＋＋…＋＝1＋2n＝1＋2＝.答案：9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(2)由题意得数列{an＋bn}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＋(b1＋b2＋…＋bn)＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.10．(2019·广东深圳调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，若数列的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)因为an＋1＝2＋Sn(n∈N*)，所以an＝2＋Sn－1(n≥2)，所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an(n≥2)，又因为a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)证明：因为bn＝1＋log2(an)2，则bn＝2n＋1，所以＝，所以Tn＝＝＝.[B　能力提升]11．(2019·石家庄期末检测)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2019的值为(　　)A．0B．1C．6D．4解析：选C.由题意可得a1＝2，a2＝3，a3＝1，a4＝－2，a5＝－3，a6＝－1，a7＝2，a8＝3，a9＝1，…，则数列{an}是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2019＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＝6.故选C.n12．已知lnx＋lnx2＋…＋lnx10＝110，则lnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝________．解析：由lnx＋lnx2＋…＋lnx10＝110.得(1＋2＋3＋…＋10)lnx＝110，所以lnx＝2.从而lnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝2＋22＋23＋…＋210＝＝211－2＝2046.答案：204613．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＋an＝4n－1，n∈N*.求数列{an}的前n项和Sn.解：由条件an＋1＋an＝4n－1，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－1，两式相减，得an＋2－an＝4(常数)．这表明数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，且a2＝2.当n为偶数时，Sn＝×1＋×4＋×2＋×4＝n2－.当n为奇数时，Sn＝×1＋×4＋×2＋×4＝n2－.故Sn＝14．(选做题)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．(1)求数列{anbn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解：(1)因为an＝3n－1，所以a1＝1，a2＝3，a3＝9.因为在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，所以3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，所以(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.因为bn>0，所以d＝－10应舍去，所以d＝2，所以b1＝3，所以bn＝2n＋1.n故anbn＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1　①，3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n　②，①－②，得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.所以Tn＝n·3n.等比数列(强化练)一、选择题1．已知等比数列{an}的公比q＝，a2＝8，则其前3项和S3的值为(　　)A．24　　　　　　　　　　B．28C．32D．16解析：选B.在等比数列{an}中，因为公比q＝，a2＝8，所以a1＝＝＝16，a3＝a2q＝8×＝4，则S3＝a1＋a2＋a3＝16＋8＋4＝28.2．已知数列{an}是等比数列，若a2＝2，a3＝－4，则a5等于(　　)A．8B．－8C．16D．－16解析：选D.设等比数列{an}的公比为q.因为a2＝2，a3＝－4，所以q＝＝－＝－2.由a2＝a1q，得a1＝－1.则a5＝a1q4＝－1×(－2)4＝－16.故选D.3．在正项等比数列{an}中，a3＝，a5＝8a7，则a10等于(　　)A.B.C.D.n解析：选D.q2＝＝，即q＝，所以a10＝a3·q7＝·＝，选D.4．在等比数列{an}中，已知a5a14＝5，则a3a4a15a16等于(　　)A．10B．25C．50D．75解析：选B.法一：因为a3a16＝a4a15＝a5a14＝5，所以a3a4a15a16＝52＝25.法二：由已知得a1q4·a1q13＝aq17＝5，所以a3a4a15a16＝a1q2·a1q3·a1q14·a1q15＝a·q34＝(aq17)2＝25.5．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an解析：选D.在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.6．已知数列{an}满足：＝，且a2＝2，则a4等于(　　)A．－B．23C．12D．11解析：选D.因为数列{an}满足：＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是等比数列，公比为2.则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.7．(2019·中山一中调研)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝(　　)A.B．16C．15D.解析：选A.由等比数列的性质，知a1a4＝a2a3＝2a1，得a4＝2.因为a4＋2a7＝2×17＝34，所以a7＝16，所以q3＝＝＝8，即q＝2.由a4＝a1q3＝8a1n＝2，得a1＝，所以S6＝＝.故选A.8．在等比数列{an}中，若a2a5＝－，a2＋a3＋a4＋a5＝，则＋＋＋＝(　　)A．1B．－C．－D．－解析：选C.数列{an}是等比数列，a2a5＝－＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝，所以＋＋＋＝＋＝＝－.9．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1解析：选C.因为数列{an}为等比数列，设数列{an}的公比为q，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒(q－1)2＝0⇒q＝1.由a1＝2得an＝2，所以Sn＝2n.10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为(　　)A．20%　369B．80%　369C．40%　360D．60%　365解析：选A.设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得解得b＝125，a＝20%，m＝369.n二、填空题11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．解析：因为S3＋3S2＝0，所以＋＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．答案：－212．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于________．解析：在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，即＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以an＝2×2n－1＝2n.所以bn＝log22n＝n.则数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.答案：5513．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为________．解析：设此数列的公比为q，则⇒故此数列共有5项．答案：514．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．解析：设数列{an}的公比为q，因为{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝，所以＝q3＝，所以q＝，所以a1＝4，又{an}是等比数列，所以{anan＋1}也是等比数列，且首项为a1a2＝8，公比q′＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．n答案：(1－4－n)三、解答题15．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，S10＝45.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2－an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，S10＝45，所以解得所以an＝n－1.(2)由(1)知bn＝2－an＝2－(n－1)＝，所以数列{bn}是等比数列，且首项b1＝1，公比q＝.所以Tn＝＝2－.16．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.17．数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1，数列{bn}，{cn}满足bn＝log3，cn＝.(1)求数列{an}的通项公式；n(2)数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn

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