2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.2.1条件概率与独立事件教案（含解析）北师大版

2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.2.1条件概率与独立事件教案（含解析）北师大版

2．1　条件概率与独立事件条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．问题1：试求P(A)，P(B)，P(A∩B)．提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格的概率．提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生．问题4：试探求P(B)，P(A∩B)，P(A|B)间的关系．提示：P(A|B)＝.条件概率(1)概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．(2)公式P(A|B)＝(其中，A∩B也可记成AB)．(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.n独立事件有这样一项活动：甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸出白球}．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)．提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝.问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？提示：P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.问题4：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：相等，由P(B|A)＝＝，可得P(B|A)＝P(B)．独立事件(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)．2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．n条件概率[例1]　一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨]　先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析]　(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P(A)＝＝，P(AB)＝＝.∴P(B|A)＝＝.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1.∴P(A1)＝＝，P(A1B1)＝＝.∴P(B1|A1)＝＝＝.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.[一点通]　求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A为“三次抽到的号码之和为6”，事件Bn为“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)＝(　　)A.　　　　　　　　　B．C.D.解析：选A　用列举法将所有情况全部列出(略)，可知共有27种情况，其中事件A有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,2,2)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共7种情况，事件B有(2,2,2)，共1种情况，所以P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，根据条件概率公式P(B|A)＝＝＝.2．甲、乙二人参加一项测试，已知甲通过该项测试的概率为，他们同时通过该项测试的概率为.若甲先参加并顺利通过测试，则乙也通过测试的概率是________．解析：设“甲通过测试”为事件A，“乙通过测试”为事件B.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.答案：3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)＝＝≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝＝＝0.60.n独立事件的判断[例2]　分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令A＝{硬币甲出现正面}，B＝{硬币乙出现正面}，验证事件A，B是相互独立的．[思路点拨]　判定两个复杂事件是否独立应借助定义判断，即判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，再作出结论．[精解详析]　掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．事件A中含2个基本事件，事件B中含2个基本事件，事件AB中含1个基本事件．∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.∴P(AB)＝P(A)P(B)．∴事件A，B是相互独立的．[一点通]　(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．4．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，则A与B，与B，A与，与”中，满足相互独立的有(　　)A．1对B．2对C．3对D．4对解析：选D　由于A与B是两个相互独立事件，所以根据相互独立事件的性质可知，A与，与B，与也是相互独立事件，故有4对相互独立事件．5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．解：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.独立事件的概率[例3]　某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100nm跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大？[思路点拨]　若用A，B，C表示甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．[精解详析]　记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.(2)三人都不合格的概率：P0＝P()＝P()P()P()＝××＝.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.结合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．[一点通]　(1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝nP(A1)P(A2)…P(An)．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为和P，且乙投球2次均未命中的概率为.求：(1)乙投球的命中率P；(2)甲投球2次，至少命中1次的概率．解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，则A，B相互独立．(1)法一：由题意，得(1－P(B))2＝(1－P)2＝.解得P＝或P＝(舍去)．∴乙投球的命中率为.法二：由题意，得P()·P()＝.∴P()＝或P()＝－(舍去)，∴P(B)＝1－P()＝1－＝.即乙投球的命中率为.(2)由题意知，P(A)＝，P()＝.法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为1－P(·)＝1－P()P()＝1－×＝.法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P(A＋A＋AA)＝P(A)＋P(A)＋P(AA)＝×＋×＋×＝.7．某选修课的考试按A级、B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加Bn级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．解：设“A级第一次考试合格”为事件A1，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件B1，“B级补考合格”为事件B2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)＝×＝.即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为.(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C，则C＝A1B2＋A1　＋A2B2，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P(C)＝P(A1B2＋A1＋A2B2)＝P(A1B2)＋P(A1　)＋P(A2B2)＝××＋××＋××＝＋＋＝.即该考生一共参加3次考试的概率为.1．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系：名称区别联系定义事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上①n两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；③两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是(　　)A．相互互斥事件B．相互独立事件C．既相互互斥又相互独立事件D．既不互斥又不独立事件解析：选B　A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．2．把一枚硬币抛掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现反面”，则P(B|A)的值为(　　)A.　　　　　　　　B．C.D．1解析：选A　P(B)＝P(A)＝，P(AB)＝，P(B|A)＝＝＝.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为(　　)A．0.02　　　　　　　　B．0.08C．0.18D．0.72解析：选D　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得nP(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么等于(　　)A．甲、乙都击中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D　设“甲、乙都击中靶心”为事件A，则P(A)＝×＝，甲、乙不全击中靶心的概率为P()＝1－P(A)＝1－＝.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题．∴P＝1－＝.答案：　6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝6×9＝54，n(AB)＝6×5＝30，∴P(B|A)＝＝＝.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P＝.答案：7．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对Cn各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知，P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A，“只购买乙种商品”为事件B，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D.(1)因为C＝(A)＋(B)，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5.(2)因为＝，所以P()＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.所以P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率．解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D.则P(D)＝1－P()＝1－P()P()P()n＝1－××＝.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P()＝P()P()P()＝××＝，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P(A　)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为＋＝.