2018_2019学年高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第2课时）弧度制课下能力提升（二）

2018_2019学年高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第2课时）弧度制课下能力提升（二）

课下能力提升(二)[学业水平达标练]题组1　弧度的概念1．下列说法正确的是(　　)A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：选A　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．2．与角－终边相同的角是(　　)A.B.C.D.解析：选C　与角－终边相同的角的集合为αα＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.3．角－π的终边所在的象限是(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D　－π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.题组2　角度与弧度的换算4．下列转化结果错误的是(　　)A．60°化成弧度是B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πD.化成度是15°n解析：选C　对于A,60°＝60×＝；对于B，－＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.5．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为____________．解析：法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.答案：α<β<γ<θ＝φ6．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋.又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为β＝＋2kπ(k∈Z)．又－5π≤β＜0，∴k＝－3，－2，－1.当k＝－3时，β＝－；当k＝－2时，β＝－；当k＝－1时，β＝－.(3)与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)．又0≤γ＜5π，∴k＝0,1.当k＝0时，γ＝；当k＝1时，γ＝.题组3　扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为(　　)A.πB.πC.D.πn解析：选A　240°＝π＝π，∴弧长l＝π×10＝π，选A.8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)A．2B．4C．6D．8解析：选C　设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．解析：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.答案：210.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．解：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.[能力提升综合练]1．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C　－3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限n解析：选C　∵1rad＝°，∴α＝－2rad＝－°≈－114.59°，故角α的终边所在的象限是第三象限．3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)A.B.C.D．2解析：选C　如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝(　　)A．∅B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|0≤α≤π}解析：选B　如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是A∩B＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5．已知扇形的周长为4cm，则当它的半径为________cm，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.解析：设扇形圆心角为α(0<α<2π)，半径为rcm，则2r＋αr＝4，∴α＝－2.∴S扇形＝α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时α＝2.答案：1　2　16．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.答案：，，，n7．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.8．如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．解：所在的圆半径是2dm，圆心角为；所在的圆半径是1dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．