2018_2019学年高中数学课时跟踪检测(十一)函数的极值(含解析)北师大版
课时跟踪检测(十一)函数的极值1.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y=x-ln(1+x2)的极值情况是( )A.有极小值 B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值解析:选D ∵y′=1-·(1+x2)′=1-=≥0,∴函数y=x-ln(1+x2)无极值.2.函数f(x)=x2-lnx的极值点为( )A.0,1,-1B.C.-D.,-解析:选B 由已知,得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=3x-=,令f′(x)=0,得x=.当x>时,f′(x)>0;当0
0D.b<解析:选A f′(x)=3x2-3b.因f(x)在(0,1)内有极值,所以f′(x)=0有解,∴x=±,∴0<<1,∴00,即f′(x)<0;当x∈(-3,0)时,xf′(x)<0,即f′(x)>0;当x∈(0,3)时,xf′(x)>0,即f′(x)>0;当x∈(3,+∞)时,xf′(x)<0,即f′(x)<0.故函数f(x)在x=-3处取得极小值,在x=3处取得极大值.5.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=________.解析:f′(x)==,由题意得f′(1)==0,解得a=3.经检验,a=3符合题意.答案:36.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是________.①当x=时函数取得极小值;②f(x)有两个极值点;③当x=2时函数取得极小值;④当x=1时函数取得极大值.解析:由图像可知,当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时,函数取得极大值,故只有①不正确.答案:②③④7.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-x2-3x+4;(2)f(x)=x3ex.解:(1)∵f(x)=x3-x2-3x+4,∴f′(x)=x2-2x-3.令f′(x)=0,得x1=3,x2=-1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化,如表所示:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+nf(x)极大值极小值∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.∴f(x)极大值=f(-1)=,f(x)极小值=f(3)=-5.(2)f′(x)=3x2·ex+x3·ex=ex·x2(x+3),由f′(x)=0得x=0或x=-3.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如表所示:x(-∞,-3)-3(-3,0)0(0,+∞)f′(x)-0+0+f(x)极小值无极值由表可知x=-3是f(x)的极小值点.f(x)极小值=f(-3)=-27e-3,函数无极大值.8.已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.解:∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a),令f′(x)=0,得x=或x=.(1)当a>0时,<,则随着x的变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:xf′(x)+0-0+f(x)极大值极小值∴当x=时,函数取得极大值f=;当x=时,函数取得极小值f=0.(2)当a<0时,<,则随着x的变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:xf′(x)+0-0+nf(x)极大值极小值∴当x=时,函数取得极大值f=0;当x=时,函数取得极小值f()=.综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=,在x=处取得极小值f=0;当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=0,在x=处取得极小值f=.