八年级数学《轴对称》章末小结与提升试题新人教版

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轴对称章末小结与提升类型1　轴对称及轴对称图形典例1　有如图所示的四个图形,其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】第一个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第二个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第三个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第四个图形是轴对称图形,有3条对称轴.【答案】C【针对训练】1.(盐城中考)下列图形中,是轴对称图形的是(D)2.把△ABC先向下平移3个单位,得△A1B1C1,再作△A1B1C1关于B1C1所在直线的对称图形后得到△A'B'C'(如图).则顶点A的坐标是　(3,7)　. 7n3.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形.(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形.解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.(2)如图所示,△D'E'F'即为所求.类型2　线段的垂直平分线典例2　如图所示,AB=AC,DB=DC,点E是AD延长线上的一点.求证:BE=CE.【解析】连接BC.∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.同理,点D也在线段BC的垂直平分线上.∴直线AD是线段BC的垂直平分线.∴BE=CE.【针对训练】7n如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是(D)A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点类型3　等腰三角形典例3　如图,已知在△ABC中,∠B=∠C,AB=8cm,BC=6cm,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以acm/s的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(s)(0≤t≤3).(1)用含t的代数式表示PC的长度;(2)若点P,Q的运动速度大小相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.【解析】(1)BP=2t,则PC=BC-BP=6-2t.(2)△BPD和△CQP全等.理由:由题意,BP=CQ=2cm,PC=4cm.∵AB=8cm,点D为AB的中点,∴BD=4cm,∴PC=BD.在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△CQP(SAS).7n【针对训练】1.等腰△ABC在平面直角坐标系中,底边的两端点坐标是(-2,0),(6,0),则其顶点的坐标,能确定的是(A)A.横坐标B.纵坐标C.横坐标及纵坐标D.横坐标或纵坐标2.如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:AF=EF.证明:延长AD到点G,使得AD=DG,连接BG.∵AD是BC边上的中线,∴DC=DB,在△ADC和△GDB中,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴∠CAD=∠G,BG=AC.又∵BE=AC,∴BE=BG,∴∠BED=∠G,∵∠BED=∠AEF,∴∠AEF=∠CAD,∴AF=EF.类型4　等边三角形典例4　如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,连接CO.求证:OC平分∠AOE.7n【解析】∵△ABC和△CDE是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE,S△ACD=S△BCE,∴点C到AD,BE的距离相等.∴OC平分∠AOE.【针对训练】如图,已知△ABC是等边三角形,D是边AC的中点,连接BD,EC⊥BC于点C,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,∴BD⊥AC,即∠ADB=90°.∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∠ECD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠DBC,∵在△CBD和△ACE中,∴△CBD≌△ACE(SAS),∴CD=AE,∠AEC=∠BDC=90°,∠CAE=∠BCD=60°,∵D为边AC的中点,∠AEC=90°,∴AD=CD=DE,∴AD=AE=DE,即△ADE是等边三角形.7n类型5　含30°角的直角三角形的性质典例5　如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE;(2)求AD的长.【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC.又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS).∴AD=BE.(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=6,∴BE=BP+PE=7.∴AD=BE=7.【针对训练】1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6cm,则AC等于(D)7nA.6cmB.5cmC.4cmD.3cm2.如图,已知∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=12,点M,N在射线OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=(C)A.3B.4C.5D.6类型6　最短路径问题1.在直角坐标系内,已知A,B两点的坐标分别为A(-1,1),B(3,3),若M为x轴上一点,且MA+MB最小,则点M的坐标是　(0,0)　. 2.如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大.解:如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,并延长交l于点C,则点C即为所求.理由:在直线l上任取一点C'(异于点C),连接CA,C'A,C'A',C'B.因为点A,A'关于直线l对称,所以l为线段AA'的垂直平分线,则有CA=CA',所以CA-CB=CA'-CB=A'B.又因为点C'在l上,所以C'A=C'A'.在△A'BC'中,C'A-C'B=C'A'-C'B

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