小升初数学典型应用题解析

小升初数学典型应用题解析

小学数学典型应用题 ‎  小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。‎ ‎ 应用题可分为一般应用题与典型应用题。‎ ‎ 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。‎ ‎ 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题：‎ ‎  1、归一问题 ‎  2、归总问题 ‎  3、和差问题 ‎  4、和倍问题 ‎  5、差倍问题 ‎  6、倍比问题 ‎  7、相遇问题 ‎  8、追及问题 ‎  9、植树问题 ‎ 10、年龄问题 ‎ 11、行船问题 ‎12、列车问题 ‎13、时钟问题 ‎14、盈亏问题 ‎15、工程问题 ‎16、正反比例问题 ‎17、按比例分配 ‎18、百分数问题 ‎19、“牛吃草”问题 ‎20、鸡兔同笼问题 ‎ 21、方阵问题 ‎ 22、商品利润问题 ‎23、存款利率问题 ‎24、溶液浓度问题 ‎25、构图布数问题 ‎26、幻方问题 ‎27、抽屉原则问题 ‎28、公约公倍问题 ‎29、最值问题 ‎30、列方程问题 ‎ ‎ ‎1  归一问题 ‎【含义】    在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。‎ ‎【数量关系】    总量÷份数＝1份数量   ‎ ‎                1份数量×所占份数＝所求几份的数量 ‎                另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 ‎【解题思路和方法】   先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。‎ 例1   买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？‎ ‎    解（1）买1支铅笔多少钱？  0.6÷5＝0.12（元）‎ ‎     （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）‎ ‎      列成综合算式   0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）‎ ‎           答：需要1.92元。‎ 例2   3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？‎ ‎ 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？  90÷3÷3＝10（公顷）‎ ‎   （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）‎ ‎      列成综合算式  90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）‎ ‎       答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。‎ 例3   5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？‎ ‎    解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？  100÷5÷4＝5（吨）‎ ‎      （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？   5×7＝35（吨）‎ ‎      （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）‎ ‎        列成综合算式  105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）‎ ‎       答：需要运3次。‎ ‎   2  归总问题 ‎ 【含义】     解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。‎ ‎ 【数量关系】  1份数量×份数＝总量     ‎ ‎               总量÷1份数量＝份数 ‎               总量÷另一份数＝另一每份数量 ‎ 【解题思路和方法】  先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。‎ ‎ 例1    服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？‎ 解  （1）这批布总共有多少米？    3.2×791＝2531.2（米）‎ ‎ （2）现在可以做多少套？          2531.2÷2.8＝904（套）‎ ‎        列成综合算式  3.2×791÷2.8＝904（套）‎ ‎                  答：现在可以做904套。‎ ‎ 例2    小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？‎ ‎ 解  （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）‎ ‎     （2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）‎ ‎                列成综合算式  24×12÷36＝8（天）‎ ‎               答：小明8天可以读完《红岩》。‎ ‎ 例3    食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？‎ ‎ 解  （1）这批蔬菜共有多少千克？  50×30＝1500（千克）‎ ‎（2）这批蔬菜可以吃多少天？  1500÷（50＋10）＝25（天）‎ ‎ 列成综合算式    50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）‎ ‎                答：这批蔬菜可以吃25天。‎ ‎3  和差问题 ‎ 【含义】  已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。‎ ‎【数量关系】  大数＝（和＋差）÷ 2  小数＝（和－差）÷ 2‎ ‎ 【解题思路和方法】  简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。‎ ‎ 例1    甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？‎ ‎      解  甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）‎ ‎          乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）‎ ‎     答：甲班有52人，乙班有46人。‎ ‎ 例2    长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。‎ ‎     解  长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） ‎ ‎         宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）‎ ‎         长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）‎ ‎          答：长方形的面积为80平方厘米。‎ 例3    有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。‎ ‎    解  甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 ‎         甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）‎ ‎         丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）‎ ‎         乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）‎ ‎    答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。‎ 例4    甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？‎ ‎    解  “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此     ‎ ‎ 甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）‎ ‎          乙车筐数＝97－64＝33（筐）‎ ‎    答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。‎ ‎4  和倍问题 ‎【含义】    已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。‎ ‎【数量关系】  总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数  ‎ ‎              总和 － 较小的数 ＝ 较大的数 ‎              较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数 ‎【解题思路和方法】  简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ ‎ 例1    果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？‎ ‎    解  （1）杏树有多少棵？  248÷（3＋1）＝62（棵）‎ ‎        （2）桃树有多少棵？   62×3＝186（棵）‎ ‎          答：杏树有62棵，桃树有186棵。‎ 例2    东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？‎ ‎    解  （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）‎ ‎        （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）‎ ‎        答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。‎ ‎ 例3    甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？‎ ‎ 解  每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，‎ ‎ 那么，几天以后甲站的车辆数减少为    ‎ ‎           （52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）‎ ‎ 所求天数为     （52－28）÷（28－24）＝6（天）‎ ‎       答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。‎ ‎ 例4    甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？‎ ‎ 解  乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。‎ 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；‎ ‎ 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；‎ ‎ 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，‎ ‎           甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28‎ ‎           乙数＝28×2－4＝52‎ ‎           丙数＝28×3＋6＝90‎ ‎         答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。‎ ‎5  差倍问题 ‎【含义】    已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。‎ ‎ 【数量关系】   两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 ‎               较小的数×几倍＝较大的数 ‎【解题思路和方法】  简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ ‎ 例1    果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？‎ ‎     解  （1）杏树有多少棵？    124÷（3－1）＝62（棵）‎ ‎         （2）桃树有多少棵？     62×3＝186（棵）‎ ‎  答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。‎ ‎ 例2    爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？‎ ‎             解  （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）‎ ‎                 （2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）‎ ‎     答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。‎ ‎ 例3    商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？‎ ‎   解  如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此    ‎ ‎        上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）‎ ‎        本月盈利＝18＋30＝48（万元）‎ ‎         答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。‎ ‎ 例4    粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？‎ ‎   解  由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此 ‎      剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）‎ ‎      运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）‎ ‎      运粮的天数＝72÷9＝8（天）‎ ‎    答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。‎ ‎6  倍比问题 ‎【含义】    有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。‎ ‎【数量关系】总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量 ‎【解题思路和方法】  先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。‎ 例1    100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？‎ 解  （1）3700千克是100千克的多少倍？  3700÷100＝37（倍）‎ ‎ （2）可以榨油多少千克？  40×37＝1480（千克）‎ ‎  列成综合算式    40×（3700÷100）＝1480（千克）‎ ‎      答：可以榨油1480千克。‎ 例2    今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？‎ 解  （1）48000名是300名的多少倍？  48000÷300＝160（倍）‎ ‎（2）共植树多少棵？    400×160＝64000（棵）‎ ‎   列成综合算式    400×（48000÷300）＝64000（棵）‎ ‎         答：全县48000名师生共植树64000棵。‎ ‎ 例3    凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？‎ 解  （1）800亩是4亩的几倍？      800÷4＝200（倍）‎ ‎ （2）800亩收入多少元？     11111×200＝2222200（元）‎ ‎（3）16000亩是800亩的几倍？    16000÷800＝20（倍）‎ ‎（4）16000亩收入多少元？    2222200×20＝44444000（元）‎ ‎     答：全乡800亩果园共收入2222200元，‎ ‎        全县16000亩果园共收入44444000元。‎ ‎7  相遇问题 ‎【含义】    两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。‎ ‎ 【数量关系】    相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）‎ ‎                总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 ‎【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ ‎ 例1    南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？‎ ‎            解    392÷（28＋21）＝8（小时）‎ ‎              答：经过8小时两船相遇。‎ 例2    小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？‎ ‎ 解   “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。‎ ‎          因此总路程为400×2‎ ‎    相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）‎ ‎      答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。‎ 例3  甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。‎ ‎ 解  “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，‎ ‎  相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）‎ ‎       两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）‎ ‎           答：两地距离是84千米。‎ ‎ 8  追及问题 ‎【含义】    两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。‎ ‎ 【数量关系】   追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）‎ ‎          追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 ‎【解题思路和方法】  简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ 例1    好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？‎ 解  （1）劣马先走12天能走多少千米？  75×12＝900（千米）‎ ‎（2）好马几天追上劣马？   900÷（120－75）＝20（天）‎ 列成综合算式   75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）‎ ‎          答：好马20天能追上劣马。‎ 例2    小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。‎ 解  小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是   ‎ ‎（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）‎ ‎                      答：小亮的速度是每秒3米。‎ 例3    我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？‎ 解  敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 ‎       追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）‎ ‎               ＝220÷20＝11（小时）‎ ‎        答：解放军在11小时后可以追上敌人。‎ 例4    一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。‎ 解  这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，‎ 这个时间为  16×2÷（48－40）＝4（小时）‎ 所以两站间的距离为     （48＋40）×4＝352（千米）‎ 列成综合算式   （48＋40）×［16×2÷（48－40）］‎ ‎               ＝88×4‎ ‎               ＝352（千米）‎ ‎      答：甲乙两站的距离是352千米。‎ 例5   兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？‎ 解  要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，‎ 那么，二人从家出走到相遇所用时间为 ‎    180×2÷（90－60）＝12（分钟）‎ ‎    家离学校的距离为      90×12－180＝900（米）‎ ‎       答：家离学校有900米远。‎ 例6    孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。‎ 解  手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。‎ 所以步行1千米所用时间为    1÷［9－（10－5）］‎ ‎     ＝0.25（小时）＝15（分钟）‎ 跑步1千米所用时间为    15－［9－（10－5）］＝11（分钟）‎ 跑步速度为每小时        1÷11／60＝5.5（千米）‎ 答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。‎ 第一段路 1千米 那么第2段路上 走路的话会迟到10-5=5分钟 跑步刚好 说明第2段路跑步比走路快了5分钟 而一开始就跑步可以快9分钟 那就是说原来1千米快了4分钟 走路是4千米每小时 ‎ 用掉15分钟了 跑步就是用掉11分钟 那么1/11就是每分钟多少千米了 多简单 求采纳 求好评 还有别说我的答案错了 我只是没把小时=60分钟乘进去！你10千米每小时 你算一下 1千米时6分钟 有木有？ 走路时15分钟 有木有？你已经节约了9分钟！你怎么从家到学校跑步比走路快9分钟？难道家离学校就是1千米么？有木有？你错了！有木有！你傻了！有木有？ 对了 看了下你的方程！你的X是跑步的还是走路的？我靠 （X-1/4）z是什么？假如X是跑步总时间！那应该是(X-1/z)z+1=y ！你怎么不直接XZ=y？假如X是走路总时间那么是(X-1/4)*4+1=y。。。你怎么不4X=y?这就是你所谓的方程。。。。有木有？第2条我更迷茫了，你是迷茫哥还是我是还是5小家伙是？有木有！ 我的改一下就对了： （X/4-X/Y）*60=9; 【(X-1)/Y-(X-1)/4】*60=5‎ ‎ 9  植树问题 ‎【含义】    按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。‎ ‎【数量关系】 线形植树     棵数＝距离÷棵距＋1‎ ‎              环形植树     棵数＝距离÷棵距 ‎              方形植树     棵数＝距离÷棵距－4‎ ‎              三角形植树     棵数＝距离÷棵距－3‎ ‎           面积植树     棵数＝面积÷（棵距×行距）‎ ‎【解题思路和方法】  先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。‎ 例1    一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？‎ ‎               解   136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）‎ ‎             答：一共要栽69棵垂柳。‎ 例2    一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？‎ ‎              解   400÷4＝100（棵）   ‎ ‎               答：一共能栽100棵白杨树。‎ 例3    一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？‎ ‎        解   220×4÷8－4＝110－4＝106（个）‎ ‎            答：一共可以安装106个照明灯。‎ 例4    给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？‎ ‎       解  96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）‎ ‎             答：至少需要400块地板砖。‎ 例5    一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？‎ 解  （1）桥的一边有多少个电杆？  500÷50＋1＝11（个）‎ ‎    （2）桥的两边有多少个电杆？  11×2＝22（个）‎ ‎    （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）‎ ‎    答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。‎ ‎ 10  年龄问题 ‎【含义】    这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。‎ ‎ 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。‎ ‎【解题思路和方法】  可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。‎ ‎ 例1    爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？‎ ‎       解        35÷5＝7（倍）  ‎ ‎               （35+1）÷（5+1）＝6（倍）‎ ‎       答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，‎ ‎           明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。‎ ‎ 例2    母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？‎ 解  （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？   37－7＝30（岁）‎ ‎    （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）‎ ‎    列成综合算式  （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）‎ ‎          答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。‎ ‎ 例3    3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？‎ 解  今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，‎ ‎    今年二人的年龄和为     49＋3×2＝55（岁）‎ 把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为   55÷（4＋1）＝11（岁）‎ ‎   今年父亲年龄为      11×4＝44（岁）‎ ‎  答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。‎ ‎ 例4    甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？‎ 解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：‎ ‎              ‎ 过去某一年 今  年 将来某一年 ‎   甲 ‎   □岁 ‎ △岁 ‎    61岁 ‎   乙 ‎   4岁 ‎ □岁 ‎    △岁 ‎    表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。‎ ‎    因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，‎ ‎    因此二人年龄差为         （61－4）÷3＝19（岁）‎ ‎               甲今年的岁数为  △＝61－19＝42（岁）‎ ‎               乙今年的岁数为  □＝42－19＝23（岁）‎ ‎          答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。‎ ‎11  行船问题 ‎【含义】    行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。‎ ‎ ‎ ‎【数量关系】  （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 ‎              （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 ‎ 顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2‎ ‎  逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2‎ ‎ 【解题思路和方法】  大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1    一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？‎ 解  由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时      320÷8－15＝25（千米）‎ ‎       船的逆水速为      25－15＝10（千米）‎ 船逆水行这段路程的时间为   320÷10＝32（小时）‎ ‎      答：这只船逆水行这段路程需用32小时。‎ 例2    甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？‎ 解由题意得    甲船速＋水速＝360÷10＝36‎ ‎          甲船速－水速＝360÷18＝20‎ ‎ 可见   （36－20）相当于水速的2倍，‎ 所以，  水速为每小时    （36－20）÷2＝8（千米）‎ ‎     又因为， 乙船速－水速＝360÷15，‎ ‎   所以，  乙船速为  360÷15＋8＝32（千米）‎ ‎       乙船顺水速为   32＋8＝40（千米）‎ ‎       所以，  乙船顺水航行360千米需要 ‎ ‎                360÷40＝9（小时）‎ ‎  答：乙船返回原地需要9小时。‎ 例3    一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？‎ 解  这道题可以按照流水问题来解答。‎ ‎        （1）两城相距多少千米？       ‎ ‎               （576－24）×3＝1656（千米）‎ ‎        （2）顺风飞回需要多少小时？‎ ‎                1656÷（576＋24）＝2.76（小时）‎ ‎    列成综合算式 ‎   ［（576－24）×3］÷（576＋24） ＝2.76（小时）‎ ‎   答：飞机顺风飞回需要2.76小时。‎ ‎ 12  列车问题 ‎【含义】    这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。‎ ‎【数量关系】  火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）‎ ‎                        ÷（甲车速－乙车速）‎ 火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）‎ ‎                      ÷（甲车速＋乙车速）‎ ‎ 【解题思路和方法】  大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1    一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？‎ 解  火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。‎ ‎    （1）火车3分钟行多少米？  900×3＝2700（米）‎ ‎    （2）这列火车长多少米？    2700－2400＝300（米）‎ ‎     列成综合算式    900×3－2400＝300（米）‎ ‎                           答：这列火车长300米。‎ ‎ 例2    一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？‎ 解  火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为 ‎                  8×125－200＝800（米）‎ ‎           答：大桥的长度是800米。‎ ‎ 例3    一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？‎ 解  从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为 ‎              （225＋140）÷（22－17）＝73（秒）‎ ‎                          答：需要73秒。‎ 例4    一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？‎ 解  如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。‎ ‎     150÷（22＋3）＝6（秒）‎ ‎         答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。‎ ‎ 例5    一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？‎ 解  车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 ‎     （2000－1250）÷（88－58）＝25（米）‎ ‎   进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，‎ ‎   因此，车长为   25×58－1250＝200（米）‎ ‎     答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。‎ ‎ 13  时钟问题 ‎【含义】    就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。‎ ‎ 【数量关系】   分针的速度是时针的12倍，‎ ‎               二者的速度差为11/12。‎ ‎    通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。‎ ‎ 【解题思路和方法】  变通为“追及问题”后可以直接利用公式。‎ 例1    从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？‎ 解  钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为    20÷（1－1/12）≈ 22（分）‎ ‎    答：再经过22分钟时针正好与分针重合。‎ ‎ 例2    四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？‎ 解  钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走     （5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。 ‎ ‎           （5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）‎ ‎           （5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）‎ ‎        答：4点06分及4点38分时两针成直角。‎ ‎ 例3    六点与七点之间什么时候时针与分针重合？‎ 解  六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。‎ ‎（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）‎ ‎       答：6点33分的时候分针与时针重合。‎ ‎14  盈亏问题 ‎【含义】    根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。‎ ‎【数量关系】  一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：‎ ‎    参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：‎ ‎      参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 ‎      参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 ‎【解题思路和方法】  大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1    给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？‎ 解   按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：‎ ‎（1）有小朋友多少人？  （11＋1）÷（4－3）＝12（人）‎ ‎（2）有多少个苹果？     3×12＋11＝47（个）‎ ‎         答：有小朋友12人，有47个苹果。‎ ‎ 例2    修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？‎ 解  题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 ‎ ‎       （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）‎ 这条路全长为           300×（22＋4）＝7800（米）‎ ‎             答：这条路全长7800米。‎ ‎ 例3    学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？‎ 解  本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 ‎      （1）有多少车？  （30－0）÷（45－40）＝6（辆）‎ ‎      （2）有多少人？   40×6＋30＝270（人）‎ ‎               答：有6 辆车，有270人。‎ ‎15  工程问题 ‎【含义】    工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。‎ ‎ 【数量关系】  解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。‎ ‎            工作量＝工作效率×工作时间    ‎ ‎            工作时间＝工作量÷工作效率 ‎     工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）‎ ‎【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。‎ 例1     一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？‎ 解  题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。‎ 由此可以列出算式：   1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）‎ ‎           答：两队合做需要6天完成。‎ 例2    一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？‎ 解  设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以 ‎（1）每小时甲比乙多做多少零件？‎ ‎              24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）‎ ‎（2）这批零件共有多少个？      ‎ ‎               7÷（1/6－1/8）＝168（个）‎ ‎         答：这批零件共有168个。‎ 解二  上面这道题还可以用另一种方法计算：‎ 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为  1/6∶1/8＝4∶3‎ 由此可知，甲比乙多完成总工作量的  4－3  /  4＋3  ＝1/7‎ 所以，这批零件共有    24÷1/7＝168（个）‎ 例3    一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？‎ 解  必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 ‎     60÷12＝5    60÷10＝6    60÷15＝4          ‎ 因此余下的工作量由乙丙合做还需要      ‎ ‎           （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）‎ ‎       答：还需要5小时才能完成。‎ 例4    一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？‎ 解  注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。‎ 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。‎ 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为    （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1‎ 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为   1×4×5－1×5＝15  ‎ 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为  1×2，   ‎ 所以，2小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？  （15＋1×2）÷（1×2）‎ ‎                       ＝8.5≈9（个）‎ ‎                       答：至少需要9个进水管。‎ ‎ 16  正反比例问题 ‎ 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。‎ ‎ 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。‎ ‎  【数量关系】  判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。‎ ‎ 【解题思路和方法】  解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。‎ ‎ 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。‎ ‎ 例1    修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？‎ ‎ 解  由条件知，公路总长不变。‎ ‎    原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12‎ ‎    现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12‎ ‎ 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为    300÷（4－3）×12＝3600（米）‎ ‎             答： 这条公路总长3600米。‎ ‎ 例2    张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？‎ ‎ 解  做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 ‎     设91分钟可以做X应用题  则有  28∶4＝91∶X ‎          28X＝91×4    X＝91×4÷28     X＝13‎ ‎       答：91分钟可以做13道应用题。‎ ‎ 例3    孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？‎ 解  书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 ‎     设X天可以看完，就有  24∶36＝X∶15  ‎ ‎                     36X＝24×15   X＝10‎ ‎              答：10天就可以看完。‎ ‎ 例4    一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。‎ A                                                ‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎36‎ B ‎16‎ ‎     解   由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，‎ ‎             A∶36＝20∶16        25∶B＝20∶16  ‎ ‎         解这两个比例，得  A＝45  B＝20‎ ‎         所以，大矩形面积为  45＋36＋25＋20＋20＋16＝162‎ ‎                             答：大矩形的面积是162‎ ‎17  按比例分配问题 ‎【含义】    所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。‎ ‎ 【数量关系】  从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。  总份数＝比的前后项之和 ‎ ‎ ‎【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。‎ 例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？‎ ‎ 解  总份数为           47＋48＋45＝140‎ ‎              一班植树    560×47/140＝188（棵）‎ ‎              二班植树    560×48/140＝192（棵）‎ ‎              三班植树    560×45/140＝180（棵）‎ ‎     答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。‎ ‎ 例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？‎ ‎ 解  3＋4＋5＝12    60×3/12＝15（厘米） ‎ ‎                    60×4/12＝20（厘米）‎ ‎                    60×5/12＝25（厘米）‎ ‎  答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。‎ 例3    从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。‎ ‎ 解  如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到  ‎ ‎            1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2‎ ‎            9＋6＋2＝17    17×9/17＝9  ‎ ‎            17×6/17＝6    17×2/17＝2‎ ‎  答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。‎ 例4    某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？‎ ‎   人  数 ‎   80人 一共多少人？‎ 对应的份数 ‎   12－8‎ ‎8＋12＋21‎ ‎      解    80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）‎ ‎               答：三个车间一共820人。‎ ‎  18  百分数问题 ‎ 【含义】    百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。‎ ‎ 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。‎ ‎ 【数量关系】  掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：‎ ‎                 百分数＝比较量÷标准量   ‎ ‎                 标准量＝比较量÷百分数 ‎【解题思路和方法】   一般有三种基本类型：‎ ‎（1）       求一个数是另一个数的百分之几；‎ ‎（2）       已知一个数，求它的百分之几是多少；‎ ‎（3）       已知一个数的百分之几是多少，求这个数。‎ 例1    仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？‎ ‎ 解  （1）用去的占    720÷（720＋6480）＝10%‎ ‎     （2）剩下的占    6480÷（720＋6480）＝90%‎ ‎         答：用去了10%，剩下90%。‎ ‎  例2    红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？   解   本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较 量                                                              所以    （525－420）÷525＝0.2＝20% ‎ ‎               或者  1－420÷525＝0.2＝20%‎ ‎               答：男职工人数比女职工少20%。‎ ‎  例3    红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？   解  本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此   ‎ ‎          （525－420）÷420＝0.25＝25% ‎ ‎         或者  525÷420－1＝0.25＝25%‎ ‎           答：女职工人数比男职工多25%。‎ ‎ 例4    红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？‎ ‎ 解  （1）男职工占  420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%‎ ‎     （2）女职工占  525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%‎ ‎  答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。‎ ‎ 例5    百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：‎ ‎           增长率＝增长数÷原来基数×100%‎ ‎           合格率＝合格产品数÷产品总数×100%‎ ‎           出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%‎ ‎           出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%‎ ‎           缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%‎ ‎           发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%‎ ‎           成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%‎ ‎           出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%‎ ‎           出油率＝油的重量÷油料重量×100%‎ ‎           废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%‎ ‎           命中率＝命中次数÷总次数×100%‎ ‎           烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%‎ ‎           及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%‎ ‎19 “牛吃草”问题 ‎ 【含义】    “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。‎ ‎【数量关系】    草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。‎ ‎ 【解题思路和方法】  解这类题的关键是求出草每天的生长量。‎ ‎  例1    一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？‎ ‎    解  草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？    设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：‎ ‎ （1）求草每天的生长量 ‎ 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 ‎              1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 ‎    同理      1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 ‎    由此可知  （20－10）天内草的生长量为 ‎ ‎          1×10×20－1×15×10＝50‎ ‎    因此，草每天的生长量为    50÷（20－10）＝5‎ ‎ （2）求原有草量 ‎ 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100‎ ‎ （3）求5 天内草总量 ‎ 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125‎ ‎ （4）求多少头牛5 天吃完草 ‎ 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。‎ ‎ 因此5天吃完草需要牛的头数    125÷5＝25（头）‎ ‎         答：需要5头牛5天可以把草吃完。‎ ‎  例2    一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？‎ ‎ 解  这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：‎ ‎ （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 ‎10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为    1×5×10－1×12×3＝14‎ ‎ 因此，每小时的进水量为    14÷（10－3）＝2‎ ‎ （2）求淘水前原有水量 ‎ 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30‎ ‎ （3）求17人几小时淘完 ‎ 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是       30÷（17－2）＝2（小时）‎ ‎         答：17人2小时可以淘完水。‎ ‎20  鸡兔同笼问题 ‎ 【含义】    这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。‎ ‎ 【数量关系】第一鸡兔同笼问题：‎ ‎ 假设全都是鸡，则有 ‎ ‎    兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）‎ ‎ 假设全都是兔，则有 ‎ ‎    鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）‎ ‎ 第二鸡兔同笼问题：‎ ‎ 假设全都是鸡，则有 ‎       兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ ‎ 假设全都是兔，则有 ‎    鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ ‎  【解题思路和方法】  解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。‎ ‎  例1    长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？‎ ‎ 解  假设35只全为兔，则 ‎ ‎             鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）‎ ‎             兔数＝35－23＝12（只）‎ ‎ 也可以先假设35只全为鸡，则 ‎ ‎             兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）‎ ‎             鸡数＝35－12＝23（只）‎ ‎            答：有鸡23只，有兔12只。‎ ‎  例2    2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？‎ ‎ 解  此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 ‎ 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）‎ ‎                          答：白菜地有10亩。‎ ‎  例3    李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？‎ ‎ 解  此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 ‎ 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）‎ ‎     日记本数＝45－15＝30（本）‎ ‎     答：作业本有15本，日记本有30本。‎ ‎  例4    （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？‎ ‎ 解  假设100只全都是鸡，则有 ‎             兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）‎ ‎             鸡数＝100－20＝80（只）‎ ‎                         答：有鸡80只，有兔20只。‎ ‎ 例5    有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？‎ ‎ 解  假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚         （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）‎ ‎         共有大和尚      100－75＝25（人）‎ ‎              答：共有大和尚25人，有小和尚75人。‎ ‎21  方阵问题 ‎ 【含义】    将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。‎ ‎ 【数量关系】  （1）方阵每边人数与四周人数的关系：‎ ‎           四周人数＝（每边人数－1）×4‎ ‎              每边人数＝四周人数÷4＋1‎ ‎               （2）方阵总人数的求法：‎ ‎    实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 ‎   空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） ‎           内边人数＝外边人数－层数×2‎ ‎   （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：‎ ‎            总人数＝（每边人数－层数）×层数×4‎ ‎  【解题思路和方法】    方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。‎ ‎ 例1    在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？‎ ‎      解        22×22＝484（人）    ‎ ‎     答：参加体操表演的同学一共有484人。‎ ‎  例2    有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。‎ ‎         解       10－（10－3×2） ＝84（人）  ‎ ‎              答：全方阵84人。‎ ‎ 例3    有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？‎ ‎   解  （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）‎ ‎       （2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）‎ ‎       （3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）‎ ‎                         答：这队学生共160人。‎ ‎  例4    一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？‎ 解  （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）‎ ‎    （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）‎ ‎    （3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）‎ ‎                         答：棋子有40只。‎ ‎  例5    有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？‎ ‎    解  第一种方法：  1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）‎ ‎        第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）‎ ‎   答：这个三角形树林一共有15棵树。‎ ‎  21  方阵问题 ‎ 【含义】    将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。‎ ‎  【数量关系】  （1）方阵每边人数与四周人数的关系：‎ ‎          四周人数＝（每边人数－1）×4‎ ‎           每边人数＝四周人数÷4＋1‎ ‎        （2）方阵总人数的求法：‎ ‎     实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 ‎   空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） ‎           内边人数＝外边人数－层数×2‎ ‎（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：‎ ‎    总人数＝（每边人数－层数）×层数×4‎ ‎  【解题思路和方法】    方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。‎ ‎  例1    在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？‎ ‎      解        22×22＝484（人）    ‎ ‎         答：参加体操表演的同学一共有484人。‎ ‎  例2    有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。‎ ‎         解       10－（10－3×2） ‎                ＝84（人）  ‎ ‎                 答：全方阵84人。‎ ‎  例3    有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？‎ ‎   解  （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）‎ ‎       （2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）‎ ‎       （3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）‎ ‎                         答：这队学生共160人。‎ ‎  例4    一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？‎ 解  （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）‎ ‎    （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）‎ ‎    （3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）‎ ‎                         答：棋子有40只。‎ ‎ 例5    有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？‎ ‎    解  第一种方法：  1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）‎ ‎        第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）‎ ‎       答：这个三角形树林一共有15棵树。‎ ‎22  商品利润问题 ‎ 【含义】    这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。‎ ‎  【数量关系】    利润＝售价－进货价   ‎ ‎               利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%‎ ‎                 售价＝进货价×（1＋利润率）‎ ‎                 亏损＝进货价－售价   ‎ ‎               亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%‎ ‎ 【解题思路和方法】  简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ ‎  例1    某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？‎ ‎ 解  设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了  1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%‎ ‎              答：二月份比原价下降了1%。‎ ‎  例2    某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？‎ ‎ 解  要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为  52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）‎ ‎ 可以看出该店是盈利的，盈利率为  （52－50）÷50＝4%‎ ‎              答：该店是盈利的，盈利率是4%。‎ ‎  例3    成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？‎ ‎ 解  问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 ‎0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）‎ ‎ 剩下的作业本每册盈利  7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）‎ ‎ 又可知   （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%‎ ‎      答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。‎ ‎ 例4    某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。‎ ‎ 解  设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为  1－10%＝0.9‎ ‎         甲店定价为  0.9×（1＋30%）＝1.17‎ ‎         乙店定价为  1×（1＋20%）＝1.20‎ 由此可得  乙店进货价为  6÷（1.20－1.17）＝200（元）‎ ‎        乙店定价为    200×1.2＝240（元）‎ ‎                答：乙店的定价是240元。‎ ‎23  存款利率问题 ‎ 【含义】    把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。‎ ‎ 【数量关系】  年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%‎ ‎    利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］‎ ‎  【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ ‎  例1    李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。‎ ‎ 解  因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，‎ ‎ 所以总利率为     （1488－1200）÷1200     又因为已知月利率，‎ ‎ 所以存款月数为   （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）‎ ‎   答：李大强的存款期是30月即两年半。‎ ‎  例2    银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？‎ ‎ 解  甲的总利息 ‎ ［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3‎ ‎＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）‎ ‎ 乙的总利息   10000×9%×5＝4500（元）‎ ‎            4500－4461.47＝38.53（元）‎ ‎         答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。‎ ‎  24  溶液浓度问题 ‎ 【含义】    在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。‎ ‎  【数量关系】    溶液＝溶剂＋溶质      ‎ ‎                 浓度＝溶质÷溶液×100%‎ ‎  【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ 例1  爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？‎ 解  （1）需要加水多少克？  50×16%÷10%－50＝30（克）‎ ‎（2）需要加糖多少克？  50×（1－16%）÷（1－30%）－50‎ ‎                            ＝10（克）‎ ‎  答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。‎ ‎  例2    要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？‎ ‎ 解  假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 ‎          600×（30%－25%）＝30（克）‎ ‎ 这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖    100×（30%－15%）＝15（克）   所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）  100×（30÷15）＝200（克）‎ ‎ 由此可知，需要15%的溶液200克。‎ ‎           需要30%的溶液  600－200＝400（克）‎ ‎   答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。‎ ‎  例3    甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。‎ ‎ 解  由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：‎ ‎ ‎ ‎       甲容器 乙容器 原  有 盐水500‎ 盐500×12%＝60‎ 水500‎ 第一次把甲中一半倒入乙中后 盐水500÷2＝250‎ 盐60÷2＝30‎ 盐水500＋250＝750‎ 盐30‎ 第而次把乙中一半倒入甲中后 盐水250＋375＝625‎ 盐30＋15＝45‎ 盐水750÷2＝375‎ 盐30÷2＝15‎ 第三次使甲乙中 盐水同样多 ‎   盐水500‎ ‎   盐45－9＝36‎ ‎   盐水500‎ ‎   盐45－36＋15＝24‎ ‎        由以上推算可知，‎ ‎        乙容器中最后盐水的百分比浓度为  24÷500＝4.8%‎ ‎           答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。‎ ‎25  构图布数问题 ‎ 【含义】    这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。‎ ‎ 【数量关系】   根据不同题目的要求而定。‎ ‎ 【解题思路和方法】  通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。‎ 例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。‎ ‎ 解  符合题目要求的图形应是一个五角星。‎ ‎                        4×5÷2＝10‎ ‎  因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。‎ ‎  例2    九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。‎ ‎ 解  符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，‎ ‎      一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。‎ ‎ 例3    九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。‎ ‎ 解  符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。     4×3－3＝9‎ ‎  例4    把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。‎ ‎ 解  共有五种写法，即  12＝1＋4＋7   12＝1＋5＋6   12＝2＋3＋7‎ ‎                       12＝2＋4＋6   12＝3＋4＋5‎ ‎ 在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：‎ ‎ 26  幻方问题 ‎ 【含义】    把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。‎ ‎  【数量关系】  每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。‎ 三级幻方的幻和＝45÷3＝15   ‎ ‎   五级幻方的幻和＝325÷5＝65‎ ‎  【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。‎ ‎ 例1    把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。‎ ‎ 解  幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 ‎     （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15‎ ‎ 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。‎ ‎ 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以  （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎        即   45＋3Χ＝60  ‎ ‎ 所以     Χ＝5‎ ‎            接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 ‎        分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 ‎        在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。‎ ‎    例2    把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，‎ ‎        使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。‎ ‎            解  只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为 ‎          （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18‎ ‎    假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：    最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3‎ ‎        最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4‎ ‎        最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4‎ ‎        最大数是7： 18＝7＋6＋5     刚好写成8个算式。‎ ‎    首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎3‎ 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。‎ 最后确定其它方格中的数。如图。‎ ‎    27  抽屉原则问题 ‎ 【含义】    把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。‎ ‎ 【数量关系】  基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。‎ ‎ 抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。‎ ‎ 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。‎ ‎ 【解题思路和方法】  （1）改造抽屉，指出元素；‎ ‎                     （2）把元素放入（或取出）抽屉；‎ ‎                     （3）说明理由，得出结论。‎ ‎ 例1  育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？‎ ‎ 解  由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。‎ ‎ 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。‎ ‎ 例2    据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？‎ ‎ 解  人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到 ‎ 3645÷20＝182……5    根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183‎ ‎         答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。‎ ‎  例3    一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？‎ ‎ 解  把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11  看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。‎ 答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。‎ ‎28  公约公倍问题 ‎ 【含义】    需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。‎ ‎  【数量关系】  绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。‎ ‎  【解题思路和方法】  先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。‎ ‎ 例1    一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？‎ ‎ 解  硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。‎ ‎                60和56的最大公约数是4。   ‎ ‎         答：正方形的边长是4厘米。‎ ‎ 例2    甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？‎ ‎ 解  要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。             36、30、48的最小公倍数是720。‎ ‎ 答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。‎ ‎  例3    一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？‎ ‎ 解  相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。‎ ‎ 所以，至少应植树  （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）‎ ‎                           答：至少要植26棵树。‎ ‎ 例4    一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。‎ ‎ 解  如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为 ‎                60×3＋1＝181（个）‎ ‎          答：棋子的总数是181个。‎ ‎   29  最值问题 ‎ 【含义】    科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。‎ ‎ 【数量关系】  一般是求最大值或最小值。‎ ‎ 【解题思路和方法】  按照题目的要求，求出最大值或最小值。‎ ‎ 例1    在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？‎ ‎ 解  先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。‎ ‎             答：最少需要9分钟。‎ ‎ 例2    在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？‎ ‎ 解  我们采用尝试比较的方法来解答。‎ ‎ 集中到1号场总费用为  1×200×10＋1×400×40＝18000（元）‎ ‎ 集中到2号场总费用为  1×100×10＋1×400×30＝13000（元）‎ ‎ 集中到3号场总费用为  1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）‎ ‎ 集中到4号场总费用为  1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）‎ ‎ 集中到5号场总费用为  1×100×40＋1×200×30＝10000（元）‎ ‎ 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。‎ ‎     答：集中到5号煤场费用最少。‎ ‎ ‎ 重庆 武汉 北京 ‎800‎ ‎400‎ 上海 ‎500‎ ‎300‎ ‎     例3    北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，‎ ‎    若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？‎ ‎    解  北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 ‎    往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调 ‎    往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为 ‎              500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）‎ ‎        答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。‎ ‎30  列方程问题 ‎ 【含义】    把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。‎ ‎  【数量关系】   方程的等号两边数量相等。‎ ‎  【解题思路和方法】  可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。‎ ‎ （1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。‎ ‎ （2）设：把应用题中的未知数设为Χ。‎ ‎ （3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。‎ ‎ （4）解；求出所列方程的解。‎ ‎ （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。‎ ‎ （6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。‎ ‎ 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。‎ ‎  例1    甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？‎ ‎ 解  第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。‎ ‎ 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。‎ ‎ 列方程：    90－Χ＝2Χ－30‎ ‎ 解方程得    Χ＝40    从而知     90－Χ＝50‎ ‎ 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。‎ ‎ 列方程       （2Χ－30）＋Χ＝90‎ ‎ 解方程得    Χ＝40    从而得知    2Χ－30＝50‎ ‎         答：甲班有50人，乙班有40人。‎ ‎  例2    鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？‎ ‎ 解  第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程    4Χ＋2（35－Χ）＝94   解方程得   Χ＝12   则35－Χ＝23‎ ‎ 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，‎ ‎ 则有  兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）‎ ‎ 所以  兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）‎ ‎ 鸡数＝35－12＝23（只）‎ ‎               答：鸡是23只，兔是12只。‎ ‎  例3    仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？‎ ‎ 解  第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。  940÷4－125＝110（袋）‎ ‎ 第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。  ‎ ‎（940－125×4）÷4＝110（袋）‎ ‎ 第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 ‎ ‎940÷4－Χ＝125‎ ‎      解方程得    Χ＝110‎ ‎ 第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得 ‎ （125＋Χ）×4＝940         解方程得    Χ＝110‎ ‎                            答：乙汽车每次运110袋。‎ 一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？‎ 解：把全部路程看作单位1，那么客车到达终点行了全程，也就是单位1。‎ 当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七，相同的时间，路程比就是速度比。由此我们可以知道客车货车的速度比=1：7/8=8：7，所以客车行的路程是货车的8/7倍 所以当客车行了全程的4/7时，‎ 货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2‎ 那么甲乙两地相距180/（1/2）=360千米，‎ ‎1/2就是180千米的对应分率 分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比例，这个是基本常识。‎ 43、 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。‎ 解：将全部路程看作单位1，速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的2/3‎ 那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×2/3=2/3，此时距离终点A还有1-2/3=1/3‎ 那么全程=60/（1/3）=180千米，速度和=180/2=90千米/小时，甲的速度=90×3/（3+2）=54千米/小时 乙的速度=90-54=36千米/小时 从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲乙两地相距多少千米？‎ 解：20分钟=1/3小时。30分钟=1/2小时 因为路程一定，时间和速度成反比，那么原来的车速和提高1/9后的车速之比为1：（1+1/9）=9：10‎ 那么时间比为10：9，将原来的时间看作单位1，那么提速1/9后的时间为1x9/10=9/10‎ 所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3小时 第二次行驶完72千米后，原来的速度和提高后的速度比为1：（1+1/3）=3：4，那么时间比为4：3‎ 将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2小时 那么原来行驶72千米用的时间=10/3-2=4/3小时，原来的速度=72/（4/3）=54千米/小时 甲乙两地相距=54×10/3=180千米 14、 清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60‎ 15、 千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？‎ 解：原来的相遇时间=10-4=6小时，乙的速度=60千米/小时 BC距离=60×2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）‎ 原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360千米 甲比原来夺走360-150-210千米，那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小时，那么AB距离=（40+60）×6=600千米，AC距离=600-150=450千米 实际相遇的时间=450/40=11.25小时=11小时15分钟，那么相遇时的时间是15小时15分 乙到达A地需要的时间=450/60=7.5小时=7小时30分 所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分 ‎9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。 ‎ 如果甲不比乙车先行1小时，那么乙要比甲车早1+30/60=1.5小时到达B地 甲乙的速度比=2：5，那他们用的时间比为5：2‎ 将甲用的时间看作单位1，那么乙用的时间是甲的2/5‎ 甲比乙多用1-2/5=3/5‎ 所以甲行完全程用的时间为1.5/（3/5）=2.5小时，乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时 那么乙车的速度=60/1=60千米/小时 ‎10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？ ‎ 解：两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9‎ 时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7‎ 将第一次相遇的时间看做单位1那么第二次相遇小明用的时间为7/9‎ 第一次比第二次多用的时间为1-7/9=2/9那么第一次用的时间为4/（2/9）=18分钟 所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米 方程：设第一次相遇时间为t分 ‎90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18分钟（过程从略）‎ 所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米 ‎11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？‎ 解：将全部路程看作单位1，那么相距196千米时，‎ 客车行驶了全程的1×2/3=2/3，距离目的地还有1-2/3=1/3，货车行驶了全程的1×80%=4/5‎ 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米，客车和货车的速度比=2/3：4/5=5：6‎ 客车和货车的速度和=420/5=84千米/小时，货车的速度=84×6/11=504/11千米/小时 那么货车行完全程需要420/（504/11）=55/6小时=9小时10分钟 客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，两次相遇的地点相距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算式和解题过程） ‎ 解：将全部的路程看作单位1，‎ 货车和客车的速度比=2：3‎ 第一次相遇货车行了全程的2/5，客车行了全程的3/5‎ 因为是2次相遇，所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3，货车行了整个过程的3x2/5=6/5‎ 因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处 第一次相遇是在距离甲地3/5处，那么两处相距3/5-1/5=2/5，甲乙两地距离3000/（2/5）=7500米 ‎12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？‎ 设甲的速度为2a千米/小时，乙的速度为3a千米/小时，总路程=（2a+3a）×3=15a千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a/2-6a=18‎ ‎15a-12a=36 3a=36 a=12‎ 甲的速度=12x2=24千米/小时，乙的速度=12x3=36千米/小时 或者将全部路程看作单位1，那么相遇时甲行了2/5，乙行了1-2/5=3/5，全程=（1/2-2/5）=1/10‎ 全程=18/（1/10）=180千米 甲乙的速度和=180/3=60千米/小时，甲的速度=60x2/5=24千米/小时，乙的速度=60-24=36千米/小时 ‎13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？‎ 解：将全部的路程看作单位1‎ 因为时间一样，路程比就是速度比，所以相遇时，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9，乙行了1-4/9=5/9‎ 此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4‎ 甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2‎ 此时第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7，第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63‎ 距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63 ，AB距离=48/（16/63）=189千米 ‎14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离 解：乙丙的速度差=60-50=10米/分 那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800米 那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟 那么AB距离=（70+60）×180=23400米 ‎15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。‎ 解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的1/2‎ 速度都是上山的速度。那么，原来上山的路程，占总路程的2/3，‎ 下山路程占总路程的1/3，甲返回山脚，乙一共行了全程的2/3+1/3×1/2=5/6，乙的速度是甲的5/6。甲到达山顶，即行了全程的2/3，乙应该行了全程的：2/3×5/6=5/9，实际上乙行了全程的2/3减去500米 所以全程为：500÷（2/3-5/9）=4500米 从山脚到山顶的距离为：4500×2/3=3000米 ‎16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？‎ 解：将原来的时间看到单位1，那么每小时慢5千米，用的时间是1×（1+1/8）=9/8‎ 那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8：1=9：8，那么原来速度和实际速度之比为8：9‎ 那么实际速度是原来速度的8/9，那么 原来的速度=5/（1-8/9）=45千米/小时 第二次速度增加1/3，实际速度与原来的速度之比为为 ‎（1+1/3）：1=4：3‎ 实际用的时间和原来的时间之比为3：4，那么实际用的时间是原来的3/4‎ 原来所用的时间为1/（1-3/4）=4小时，AB距离=45×4=180千米 简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。‎ ‎17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？‎ 解：我们拿从东站出来的车考虑 在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程 第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米 那么整个过程走了45×3=135千米 此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米 将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米。‎