新人教版六年级上册数学知识点分类汇总,精品2套

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新人教版六年级上册数学知识点分类汇总,精品2套 ‎ 新人教版六年级上册数学知识点分类汇总 第一单元 分数乘法 ‎ ‎（一）、分数乘法的计算法则：‎ ‎1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）‎ ‎2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。‎ ‎3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。‎ 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。‎ ‎（二）、规律：（乘法中比较大小时）‎ 一个数（0除外）乘大于1的数， 积大于这个数。‎ ‎ 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。‎ ‎ 一个数（0除外）乘1， 积等于这个数。‎ ‎（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。‎ ‎（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。‎ 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )‎ 乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000 ‎ 加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子 ‎ 0.875++ ++0.8 0.4×33× 23×0.375× ‎=++ =++ =×33× =23×× ‎=++ =+(+) =××33 =23 ×(×)‎ ‎=1+ =+1 =1×3 =23×2‎ 含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式 ‎ 0.875+++ 0.375××× 35× 101× ‎=+++ =××× = (36-1) × = (100+1) × ‎=++ + =××× =36×-1× =100×+1× ‎= (+)+ (+) = (×)×(×) =5- =1+ ‎=1+1 =2×1 ‎ 乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项) ‎ ‎101×0.9-×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9- 52×+29×-0.625 ‎ ‎=101×-×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101×- =52×+29×- ‎ ‎=101×-1× =80÷1.6 =101×-1× =52×+29×-1× ‎ ‎=(101-1) × =800÷16 =(101-1) × =(52+29-1)× ‎ ‎=100× =100× =80× ‎ 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式 ‎18--0.375 1--0.75 12-(+0.4) 0.56×125‎ ‎=18-- =1-- =12-(+) =0.7×0.8×125‎ ‎=18-(+) =1-- =12-- =0.7×(0.8×125)‎ ‎=18-1 =1- =12- =0.7×100‎ 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式 ‎3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333‎ ‎=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333‎ ‎=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999‎ 同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)‎ ‎1+- 250÷0.8×0.4 1-+ 29×0.25÷0.29‎ ‎=1-+ =250×0.4÷0.8 =1+- =29÷0.29×0.25‎ ‎=1+ =100÷0.8 =2- =100×0.25‎ 二、分数乘法的解决问题 ‎（如果单位1是已知的, 要求它的几分之几，就用乘法）‎ ‎1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面 ‎2、求一个数的几倍： 一个数×几倍； ‎ 求一个数的几分之几是多少： 一个数×几分之几 。‎ ‎3、写数量关系式技巧： ‎ ‎（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”‎ ‎（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量 ‎（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 + - 分率）=分率对应量 第二单元 位置与方向 ‎1位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。‎ ‎2东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。‎ ‎3确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。‎ ‎4根据方向和距离确定物体位置的方法：‎ ‎（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；‎ ‎（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；‎ ‎（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。‎ ‎5要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。‎ ‎6绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即 代表多长距离。‎ ‎7在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。‎ ‎8描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。‎ ‎9两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南30°100米，则乙在甲西偏北30°100米）‎ ‎10描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。‎ ‎11在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：‎ ‎（1）确定好观测点及单位长度；‎ ‎（2）找准方向；‎ ‎（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。‎ ‎12以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离 ‎13绘制路线图的步骤 ‎①画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺( )‎ ‎②确定起点的位置。‎ ‎③根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点 ‎④以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。‎ ‎⑤标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) ‎ 第三单元 分数除法 ‎ ‎1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。‎ 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。‎ ‎（要说清谁是谁的倒数）。‎ ‎2、求倒数的方法：‎ ‎（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。‎ ‎（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。‎ ‎3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何数都得0， （分母不能为0）‎ ‎4、对于任意数a(a≠0)，它的倒数为。非零整数a的倒数为。分数的倒数是 ‎ ‎5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。‎ 一、分数除法 ‎1、分数除法的意义：‎ ‎ 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。‎ ‎2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。‎ ‎3、 规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1， 商小于被除数；‎ ‎ 当除数小于1（不等于 ０），商大于被除数； ‎ ‎ 当除数等于 1， 商等于被除数。‎ ‎4、 “[ ] ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。‎ 二、分数除法解决问题 ‎（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）‎ ‎1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：‎ ‎（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量 ‎（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 +-分率）=分率对应量 ‎2、解法：（建议：最好用方程解答）‎ ‎（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。‎ ‎（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 ‎ ‎3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数 ‎4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： ‎ ‎①求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数 ‎ 或①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数 ② 求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数 求的不是单位“1” 单位“1”的量×对应分率 单位“1”的量×对应分率 ‎ ‎ 200 × 200 × 25%‎ ‎ 200 ×( 1+ ) 200 ×( 1+ 25%)‎ ‎ 200 ×( 1- ) 200 ×( 1-25%)‎ 求的是单位“1” 分率对应量 ÷ 对应分率 分率对应量 ÷ 对应分率 ‎ 200 ÷ 200 ÷ 25%‎ ‎ 200 ÷( 1+ ) 200 ÷( 1+ 25%)‎ ‎ 200 ÷( 1- ) 200 ÷( 1-25%)‎ 第四单元 比和比的应用 ‎ ‎（一）、比的意义 ‎1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。‎ ‎2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。‎ 例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）‎ ‎ ∶ ∶ ∶ ∶ ‎ ‎ 前项 比号 后项 比值 ‎3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。‎ ‎4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。‎ 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。‎ ‎5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。‎ ‎6、　比和除法、分数的联系： ‎ 比 前 项 比 号 “：” 后 项 比 值 除 法 被除数 除 号“÷” 除 数 商 分 数 分 子 分数线“—” 分 母 分数值 ‎7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。‎ ‎8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 ‎ 体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。‎ ‎（二）、比的基本性质 ‎1、根据比、除法、分数的关系：‎ 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。‎ 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。‎ 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。‎ ‎2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。‎ ‎3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。‎ ‎4.化简比： ‎ ‎①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。‎ ‎②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。‎ ‎③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。‎ ‎（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。‎ 如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2‎ ‎5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。‎ 如： 已知两个量之比为a ：b ，则设这两个量分别为 a b ‎6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）‎ ‎ 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。‎ ‎（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）‎ 第五单元 圆 ‎ ‎1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。‎ ‎2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。‎ 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．‎ ‎3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。‎ 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。‎ ‎4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。‎ 直径是一个圆内最长的线段。‎ ‎5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。‎ ‎6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。‎ ‎7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 ‎ 用字母表示为：d＝2r或r ＝ d ‎ ‎8、轴对称图形：‎ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。‎ 折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）‎ ‎9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。‎ ‎10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。‎ 只有2条对称轴的图形是： 长方形 只有3条对称轴的图形是： 等边三角形 只有4条对称轴的图形是： 正方形;‎ 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。‎ 二、圆的周长 ‎1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。‎ ‎2、圆周率实验：‎ 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。‎ 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。‎ ‎3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。‎ 用字母π（pai） 表示。‎ ‎（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。‎ 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。‎ ‎（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。‎ ‎（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。‎ ‎4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π 或C=2πr r = C÷2÷π ‎5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。‎ 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。‎ ‎6、区分周长的一半和半圆的周长：‎ ‎（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2πr ÷ 2 即 πr ‎ ‎（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r ‎ 三、圆的面积 ‎1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。‎ ‎2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。‎ ‎3、圆面积公式的推导：‎ ‎（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。‎ ‎（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。‎ ‎（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。‎ 圆的半径 = 长方形的宽 ‎ 圆的周长的一半 = 长方形的长 ‎ 因为： 长方形面积 = 长 × 宽 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径 ‎ S圆= πr × r ‎ 圆的面积公式： S圆= πr² ‎ ‎4、环形的面积：‎ ‎ 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）‎ S环 = πR²－πｒ²　 或 S环 = π（R²－ｒ²）‎ ‎5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。‎ 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：‎ 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。‎ ‎6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：‎ 两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9‎ ‎7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π ‎8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。‎ ‎9、确定起跑线：‎ ‎（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。‎ ‎（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）‎ ‎（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度 ‎（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。‎ C长=(a+b)×2 a=C÷2-b b=C÷2-a ‎ C正 =a×4 a=C÷4 ‎ S长=a×b a=S÷b b=S÷a S正 =a×a S圆=πr² ‎ C圆 =πd C圆 =2πr r=d÷2 r=C÷2÷π d=C÷π 圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷π 半圆周长=(π+2)r ‎ r=半圆周长÷(π+2) S环=π(R²－ｒ²) ‎ L弧=πr× C扇=πr×+2r S扇= πr²‎ ‎11、常用各π值结果： ‎ ‎ π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98‎ ‎8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 16π = 50.24 25π = 78.5 36π = 113.04 ‎ ‎49π =153.86 64π = 200.96 81π= 254.34 100π = 314 ‎ ‎12、常用平方数结果 ‎ 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 ‎ ‎ 16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20²=400‎ ‎ 第六单元 百分数（一）‎ 一、百分数的意义和写法 ‎1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。‎ 百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。‎ ‎2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。‎ ‎3、 百分数和分数的主要联系与区别：‎ ‎（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。‎ ‎（2） 区别：‎ ‎①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；‎ 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。‎ ‎②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；‎ 分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。‎ ‎4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。‎ 二、百分数和分数、小数的互化 ‎（一）百分数与小数的互化：‎ ‎1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。‎ ‎2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。 ‎ ‎（二）百分数的和分数的互化 ‎1、百分数化成分数：‎ 先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。‎ ‎2、分数化成百分数：‎ ‎① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。‎ ‎②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。‎ ‎（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 ‎ = 0.5 = 50% = 0.25 = 25% = 0.75 = 75% ‎ ‎ = 0.2 = 20% = 0.4 = 40% = 0.6 = 60% = 0.8 = 80% ‎ ‎ = 0.125 = 12.5% = 0.375 = 37.5% = 0.625 = 62.5% = 0.875 = 87.5%‎ ‎ = 0.0625 = 6.25% =0.05= 5﹪ =0.04= 4﹪ =0.02=2﹪ ‎ 三、用百分数解决问题 ‎（一）一般应用题 ‎1、常见的百分率的计算方法：‎ ‎①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100% ‎ ‎③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100% ‎ ‎⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100% ‎ ‎⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%‎ ‎⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%‎ 百分率表示两个数的比，是没有单位名称的 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）‎ ‎2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：‎ 数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：‎ ‎（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量 ‎（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量 ‎3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。‎ ‎ 解法：（建议：最好用方程解答）‎ ‎（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。‎ ‎（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 ‎ ‎4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：‎ 两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100% ‎ ‎①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数 ‎ ‎②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数 第七单元 扇形统计图 一、扇形统计图的意义：‎ 用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。‎ 也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。‎ 二、常用统计图的优点：‎ ‎1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。‎ ‎2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。‎ ‎3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。‎ 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）‎ 第八单元数学广角——数与形 在解决问题中，计算基于图形，画个图形，关系就变得非常明晰 第九单元补充内容 ‎（一）位置 ‎1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。 ‎ ‎2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。 ‎ ‎3、数对表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。例如：（7，9）表示第七列第九行。 ‎ ‎4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一列上。如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。 ‎ ‎5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。‎ ‎6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平移的各数。 物体向下、上平移，列数不变，行数减去或加上平移的各数 ‎（二）数学广角——鸡兔同笼 ‎（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：‎ ‎（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；‎ 总头数-兔数=鸡数。‎ 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；‎ 总头数-鸡数=兔数。‎ ‎（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 ‎（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；‎ 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；‎ 总头数-鸡数=兔数。‎ ‎（3）已知总头数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式 每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；‎ 总头数-兔数=鸡数。‎ 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；‎ 总头数-鸡数=兔数。‎ ‎（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：‎ ‎（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 或者是 总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数 ‎（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）‎ ‎（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：‎ ‎〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数 ‎〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数 + - × ÷ = ( ) ² ³ πr² ‎ ‎（6）方程解法：假设鸡兔一共8只，设鸡有只，则兔有8－只 ‎ 解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3 ；如果消×3，方程两边就同时÷3)‎ ‎1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一 ‎ ‎2：如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几 ‎ ‎(如果有“-几”，就把“-几”消去，如果没有“-几”，就把较小的消去掉)‎ ‎3：消去 “-几”， 消去“÷” ‎ ‎4：把这边的数字全部消掉，先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×” ‎ ‎(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字) ‎ 解方程方法二：移项(＋3移到另一边就变成－3，×3移到另一边就变成÷3) ‎ ‎1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一 ‎ ‎2：如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边 ‎ ‎(如果有“-几”，就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”，就把较小的移到另一边)‎ ‎3：把“-几”移到另一边，把 “÷”移到另一边”‎ ‎4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×” ‎ ‎(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字) ‎ 高级单位化低级单位： 高级单位的数×它们之间的进率 低级单位聚高级单位： 低级单位的数÷它们之间的进率 长度单位换算 km m dm cm mm ‎ ‎1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²‎ ‎1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 ‎ ‎1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 ‎ 体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³‎ ‎1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 ‎1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 ‎ 质量单位换算 t kɡ ɡ ‎1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 ‎ 人民币单位换算 ‎ ‎1元=10角 1角=10分 1元=100分 ‎ 时间单位换算 h min s ‎1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 ‎ 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 ‎ ‎1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 ‎ 第五单元 圆 ‎ ‎1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。‎ ‎2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。‎ 一般用字母 表示。它到圆上任意一点的距离都相等．‎ ‎3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 表示。‎ 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。‎ ‎4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 表示。‎ 直径是一个圆内最长的线段。‎ ‎5、圆心确定圆的 ，半径确定圆的 。‎ ‎6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有直径都相等。‎ ‎7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 ‎ 用字母表示为：d＝2r或r ＝ ‎ ‎8、轴对称图形：‎ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。‎ 折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）‎ ‎9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。‎ ‎10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。‎ 只有2条对称轴的图形是： 长方形 只有3条对称轴的图形是： 等边三角形 只有4条对称轴的图形是： 正方形;‎ 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。‎ 二、圆的周长 ‎1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 表示。‎ ‎2、圆周率实验：‎ 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。‎ 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。‎ ‎3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。‎ 用字母π（pai） 表示。‎ ‎（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。‎ 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 。‎ ‎（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。‎ ‎（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。‎ ‎4、圆的周长公式： C= πd d = ‎ 或C= r = ‎ ‎5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。‎ 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。‎ ‎6、区分周长的一半和半圆的周长：‎ ‎（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法： 即 πr ‎ ‎（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法： ‎ 三、圆的面积 ‎1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。‎ ‎2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。‎ ‎3、圆面积公式的推导：‎ ‎（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。‎ ‎（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。‎ ‎（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。‎ 圆的半径 = 长方形的宽 ‎ 圆的周长的一半 = 长方形的长 ‎ 因为： 长方形面积 = 长 × 宽 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径 ‎ S圆=πr × r ‎ 圆的面积公式： S圆=πr² ‎ ‎4、环形的面积：‎ ‎ 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）‎ S环 = πR²－πｒ²　 或 S环 = π（R²－ｒ²）‎ ‎5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。‎ 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：‎ 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。‎ ‎6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：‎ 两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是 ∶ ‎ ‎7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π ‎8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。‎ 公式变形：‎ C长=(a+b)×2 a= b= ‎ C正 =a×4 a= ‎ S长=a×b a= b= ‎ S正 =a×a S圆= ‎ C圆 =πd C圆 =2πr r= r= d= ‎ 圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷ ‎ 半圆周长=(π+2)r r=半圆周长÷ ‎ ‎11、常用各π值结果： ‎ ‎ π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 ‎ ‎6π = 18.84 7π = 21.98 8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 ‎ ‎ ‎ ‎12、常用平方数结果 ‎ 11² = 12² = 13² = 14² = 196 15² = ‎ ‎ ‎ ‎ 16² = 17² = 289 18² = 19² = 361 20²= ‎ 第六单元 百分数（一）‎ 一、百分数的意义和写法 ‎1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。‎ 百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。‎ ‎2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。‎ ‎3、 百分数和分数的主要联系与区别：‎ ‎（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。‎ ‎（2） 区别：‎ ‎①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；‎ 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。‎ ‎②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；‎ 分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。‎ ‎4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。‎ 二、百分数和分数、小数的互化 ‎（一）百分数与小数的互化：‎ ‎1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。‎ ‎2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。 ‎ ‎（二）百分数的和分数的互化 ‎1、百分数化成分数：‎ 先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。‎ ‎2、分数化成百分数：‎ ‎① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。‎ ‎②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。‎ ‎（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 ‎ = 0.5 = 50% = 0.25 = 25% = 0.75 = 75% ‎ ‎ = 0.2 = 20% = 0.4 = 40% = = % = 0.8 = 80% ‎ ‎ = = % = 0.375 = 37.5% = = % = 0.875 = 87.5%‎ ‎ = = % =0.05= 5﹪ = = ﹪ =0.02=2﹪ ‎ 三、用百分数解决问题 ‎（一）一般应用题 ‎1、常见的百分率的计算方法：‎ ‎①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100% ‎ ‎③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100% ‎ ‎⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100% ‎ ‎⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%‎ ‎⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%‎ 百分率表示两个数的比，是没有单位名称的 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）‎ ‎2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：‎ 数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：‎ ‎（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量 ‎（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量 ‎3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。‎ ‎ 解法：（建议：最好用方程解答）‎ ‎（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。‎ ‎（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 ‎ ‎4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：‎ 两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100% ‎ ‎①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数 ‎ ‎②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数 第七单元 扇形统计图 一、扇形统计图的意义：‎ 用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。‎ 也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。‎ 二、常用统计图的优点：‎ ‎1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。‎ ‎2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。‎ ‎3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。‎ 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）‎ 单位换算：‎ 面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²‎ ‎1平方千米= 公顷 1公顷= 平方米 1平方米= 平方分米 ‎ ‎1平方分米= 平方厘米 1平方厘米= 平方毫米 ‎ 体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³‎ ‎1立方米= 立方分米 1立方分米= 立方厘米 1升= 毫升 ‎1立方米= 升 1立方分米= 升 1立方厘米= 毫升 ‎ 质量单位换算 t kɡ ɡ ‎1吨= 千克 1千克= 克 1千克= 公斤 ‎ 人民币单位换算 ‎ ‎1元= 角 1角= 分 1元= 分 ‎ 时间单位换算 h min s ‎1世纪= 年 1年= 月 ‎ 大月(31天)有: 、 、 、 、 、 月 ‎ 小月(30天)的有: 、 、 、 、 月 ‎ 平年2月 天, 闰年2月 天 平年全年 天, 闰年全年 天 ‎ ‎1日= 小时 1时= 分 1分= 秒 1时= 秒 ‎ 新课标人教版六年级数学上册知识点总复习 第一单元   分数乘法 （一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 例如： ×7表示:求7个 的和是多少？或表示： 的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。    注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 例如：× 表示: 求的是多少？ 9  ×  表示: 求9的是多少？ a  ×  表示: 求a的 是多少？ （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）‎ ‎ （2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） 注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 （3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数） （4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （三）积与因数的关系： 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a. 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c1时，ca  (a≠0  b≠0) ③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c  当b=1时，c=a 三、分数除法混合运算 1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。 2、运算顺序： ①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。 ②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。 注：（a±b）÷c=a÷c±b÷c 第四单元 比 比的意义 ‎：两个数相除也叫两个数的比 1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。 注：连比如：3：4：5读作：3比4比5 2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。 例：12∶20= ＝12÷20= =0.6     12∶20读作：12比20‎ 注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。    比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。 3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。 4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。 （1）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 （2）、 两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。 （3）、 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。 5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。 6、比和除法、分数的区别： 除法 被除数 除号（÷） 除数（不能为0） 商不变性质 除法是一种运算 分数 分子 分数线（——） 分母（不能为0） 分数的基本性质 分数是一个数 比 前项 比号（∶） 后项（不能为0） 比的基本性质 比表示两个数的关系 附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大 小不变。 7、分数除法和比的应用 （1）、已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的 ，乙是25，求甲是多少？即：甲=乙×（15× =9） ‎ ‎（2）、未知单位“1”的量用除法。例: 甲是乙的 ，甲是15，求乙是多少？即：甲=乙× （15÷ =25）（可列方程答） （3）、分数应用题基本数量关系（把分数看成比） ①甲是乙的几分之几？  甲＝乙×几分之几  （例：甲是15的 ，求甲是多少？15× ＝9） 乙＝甲÷几分之几  （例：9是乙的 ，求乙是多少？9÷＝15） 几分之几＝甲÷乙   （例：9是15的几分之几？9÷15＝ ）（“是”字相当“÷”号，乙是单位“1”） ②甲比乙多（少）几分之几？ A 差÷乙= （“比”字后面的量是单位“1”的量）（例：9比15少几分之几？（15-9）÷15＝ ＝ ＝ ） B 多几分之几是： –1   （例： 15比9少几分之几？15÷9＝ -1＝ –1＝ ） C 少几分之几是：1–    （例：9比15少几分之几？1-9÷15＝1–＝1–＝）‎ D 甲=乙±差=乙±乙× =乙±乙× =乙（1± ） （例：甲比15少 ，求甲是多少？15–15× ＝15×（1– ）＝9（多是“+”少是“–”） E 乙=甲÷(1±  )‎ ‎（例：9比乙少 ，求乙是多少？9÷（1- ）＝9 ÷ ＝15）（多是“+”少是“–”）【求单位“1”的量，用除法】 （例：15比乙多 ，求乙是多少？15÷（1+ ）＝15 ÷ ＝9）（多是“+”少是“–”） （4）‎ ‎、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。    例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？         方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21  乙：5×7＝35         方法二：甲：56×＝21   乙：56× ＝35 例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？ 方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35         方法二：甲乙的和21÷ ＝56   乙：56× ＝35         方法二：甲÷乙＝   乙＝甲÷ ＝21÷＝35   （5）、画线段图： （1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。 （2）分析数量关系。 （3）找等量关系。 （4）列方程。 注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。 第五单元  圆 一、.圆的特征 1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，. 2、圆的特征：外形美观，易滚动。 3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。 直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。 同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或  r=d÷2= d= 【易错点】 4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。    同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。 5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形 有四条对称轴的图形：正方形 有无条对称轴的图形：圆，圆环 ‎ ‎6、画圆 （1）圆规两脚间的距离是圆的半径。 （2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。 二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。 1、圆的周长总是直径的三倍多一些。 2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。    即：圆周率π= =周长÷直径≈3.14 所以,圆的周长(C)=直径(d)×圆周率(π) ——周长公式： C=πd, C=2πr 注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。 3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。【重点】   如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3 4、半圆周长=圆周长一半+直径= ×2πr+d =πr+d 三、圆的面积s 1、圆面积公式的推导 如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。 圆的半径 = 长方形的宽    圆的周长的一半 = 长方形的长     长方形面积 = 长 ×宽 所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 ×宽 = 圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）                S圆 = πr×r = πr2   2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。 【易考】 周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。 3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。【重点】   如果: r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4 则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16 4、环形面积 = 大圆面积 – 小圆面积=ΠR2  - πr 2=π（R2 - r ‎ ‎2）    扇形面积 =×πr2 （n表示扇形圆心角的度数） 5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。 注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米 一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米 6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π 7、常用数据    π=3.14   2π=6.28   3π=9.42    4π=12.56   5π=15.7 第六单元、百分数（一） 一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。   1、百分数和分数的区别和联系： （1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。 （2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。         百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。 注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。 2、小数、分数、百分数之间的互化 （1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。 （2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。 （3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。 （4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。（能化成分母是100的分数化成分数） （5）小数 化 分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。 （6）分数 化 小数：分子除以分母。 ‎ 二、百分数应用题 1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几 2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。 求甲比乙多百分之几   （甲-乙）÷乙 求乙比甲少百分之几   （甲-乙）÷甲 3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”） ×百分率 4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数   部分量÷百分率=一个数（单位“1”） 5、 折扣  折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十 折扣 成数 几分之几 百分之几 小数 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8  八五折 八成五 十分之八点五 百分之八十五 0.85  五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半价 6、 纳税   缴纳的税款叫做应纳税额。  （应纳税额）÷（总收入）=（税率） （应纳税额）=（总收入）×（税率） 7、 利率 （1）存入银行的钱叫做本金。  （2）取款时银行多支付的钱叫做利息。  （3）利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×时间 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5% 注：国债和教育储蓄的利息不纳税 8、百分数应用题型分类 （1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%  =  ×100% = 百分之几 （2）求甲比乙多(少)百分之几—— ×100% =  ×100% 例 ① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几？（50是40的百分之几？）50÷40=125% ② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几？（40是50的百分之几？）40÷50=80% ③ 乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50 ④ 甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40 ⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少？（一个数的80%是40，这个数是多少？）40÷80%=50 【求单位“1”的量，用除法】 ‎ ‎⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少？（一个数的125%是50，这个数是多少？）50÷125%=40 【求单位“1”的量，用除法】 ⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几？（50比40多百分之几？）(50-40)÷40×100%=25% ⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几？（40比50少百分之几？）(50-40)÷50×100%=20% ⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40 【对应相除】 ⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50 ⑪ 乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50 ⑫ 乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40 ⑬ 乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少？（什么数比40多25%？）40×（1+25%）=50 ⑭ 甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少？（什么数比50多25%？）50×（1-20%）=40 ⑮ 乙是40，比甲少20%，甲数是多少？（40比什么数少20%？）40÷（1-20%）=50 ⑯ 甲是50，比乙多25%，乙数是多少？（50比什么数多25%？）40÷（1+25%）=40 第七单元、扇形统计图 1、 扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。 2、 常用统计图的优点： （1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。 （2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。 （3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。‎