小学数学精讲教案7_4_2 排列之捆绑法 学生版

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小学数学精讲教案7_4_2 排列之捆绑法 学生版

‎7-4-2.排列之捆绑法 教学目标 ‎1.使学生正确理解排列的意义;‎ ‎2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;‎ ‎3.掌握排列的计算公式;‎ ‎4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;‎ 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.‎ 知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.‎ 一般地,从个不同的元素中取出()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.‎ 根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.‎ 排列的基本问题是计算排列的总个数.‎ 从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数,我们把它记做.‎ 根据排列的定义,做一个元素的排列由个步骤完成:‎ 步骤:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有种方法;‎ 步骤:从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种方法;‎ ‎……‎ 步骤:从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置,有(种)方法;‎ 由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘.‎ 二、排列数 一般地,对于的情况,排列数公式变为.‎ 表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数.这种个排列全部取出的排列,叫做个不同元素的全排列.式子右边是从开始,后面每一个因数比前一个因数小,一直乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为:,其中.‎ 例题精讲 在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.‎ 【例 1】 ‎4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有多少种排法?如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法,可以分为六步来进行,第一步,确定第一个位置的人,有6种选择;第二步,确定第二个位置的人,有5种选择;第三步,排列第三个位置的人,有4种选择,依此类推,第六步,最后一个位置只有一种选择.根据乘法原理,一共有种排法.‎ ‎⑵ 根据题意分为两步来排列.第一步,先排4个男生,一共有种不同的排法;第二步,将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法.根据乘法原理,一共有种排法.‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎4男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 分为三步:‎ 第一步:4个男得先排,一共有种不同的排法;‎ 第二步:2个女的排次序一共有2种方法;‎ 第三步:将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间,一共有5个位置可插.‎ 根据乘法原理,一共有种排法.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列,其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法?‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】2007年,台湾,第十一届,小学数学世界邀请赛 【解析】 ‎(法)七人排成一列,其中要与相邻,分两种情况进行考虑.‎ 若站在两端,有两种选择,只有一种选择,另五人的排列共有种,所以这种情况有种不同的站法.若站在中间,有五种选择,无论在中间何处,都有两种选择.另五人的排列共有种,所以这种情况共有种不同的站法.‎ 所以共有种不同的站法.‎ ‎(法)由于与必须相邻,可以把与当作一个整体来考虑,这样相当于个元素的全排列,另外注意、内部有种不同的站法,‎ 所以共有种不同的站法.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【巩固】6名小朋友站成一排,若两人必须相邻,一共有多少种不同的站法?若两人不能相邻,一共有多少种不同的站法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 若A、B两人必须站在一起,那么可以用“捆绑”的思想考虑,甲和乙两个人占据一个位置,但在这个位置上,可以甲在左乙在右,也可以甲在右乙在左.因此站法总数为=2×120=240(种)‎ A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件,因为不加任何条件的站法总数为=720(种),所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480(种).‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 某小组有12个同学,其中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同学站成一排,要求女少先队员都排一起,而男少先队员不排在一起,这样的排法有多少种? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 把个女少先队员看成一个整体,将这个整体与不是少先队员的名同学一块儿进行排列,有(种)排法.然后在七个空档中排列个男少先队员,有 (种)排法,最后个女少先队员内部进行排列,有(种)排法.由乘法原理,这样的排法一共有(种).‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问:‎ ‎(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?‎ ‎(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有3名女生,考虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为:‎ (种)‎ ‎(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为:‎ ‎(种).‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 【例 1】 书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法?‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴每种书内部任意排序,分别有,,种排法,然后再排三种类型的顺序,有种排法,整个过程分4步完成.种,一共有103680种不同排法.‎ ‎⑵方法一:首先将漫画书和童话书全排列,分别有、种排法,然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞,再和3本故事书一起全排列,一共有种排法,所以一共有种排法.‎ 方法二:首先将三种书都全排列,分别有24、120、6种排法,然后将排好了顺序的漫画书和童话书,整摞得先后插到故事书中,插漫画书时有4个地方可以插,插童话书时就有5个地方可插,所以一共有种排法.‎ ‎【答案】⑴103680 ⑵‎ 【例 2】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 要求同类型的节目连续演出,则可以应用“捆绑法”.先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列, 再分别在各类节目内部排列具体节目的次序.因此出场顺序总数为:‎ =144(种).‎ ‎【答案】144‎ 【例 3】 停车站划出一排个停车位置,今有辆不同的车需要停放,若要求剩余的个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 把个空车位看成一个整体,与辆车一块进行排列,这样相当于个元素的全排列,所以共有.‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 a,b,c,d,e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 解法一:插空法,先排,,,有种排法.‎ 在,,三个人之间有2个空,再加上两端,共有4个空,,排在这4个空的位置上,与就不相邻,有种排法.根据分步计数乘法原理,不同的排法共有(种).‎ 解法二:排除法,把,当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑与本身的顺序,有种排法.总的排法为.总的排法减去与相邻的排法即为与不相邻的排法,应为(种).‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法? ‎ ‎【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 人的环状排列与线状排列的不同之处在于:、、、…、‎ 在线状排列里是个不同的排列,而在环状排列中是相同的排列.所以,个不同的元素的环状排列数为.‎ 甲、乙两人必须相邻,可把他们看作是1人(当然,他们之间还有顺序),总排列数为.从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻(注意,这和甲、乙、丙三人相邻是不同的.如甲在乙、丙之间合于后者,但不合于前者)的情况种.所以,符合题意的排法有(种).‎ ‎【答案】‎
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